专题6.3 对数函数（八大题型精练）-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

专题6.3 对数函数 题型1 对数函数的解析式及定点问题 1．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知对数函数（且）的图象过点，则（   ） A． B． C．2 D．4 2．已知函数，若图象过点，则的值为（    ） A．－2 B．2 C． D． 3．（25-26高一上·全国·课前预习）函数（，且）恒过点（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）函数（且）的图象所过定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知则 ． 6．（25-26高三上·黑龙江·阶段练习）对，且，的图象过定点A，则点A的坐标为 ． 7．（25-26高三上·河南·开学考试）对，且的图象过定点，则点的坐标为 . 8．（25-26高二上·北京延庆·期中）函数的定义域为 ． 题型2 对数型函数的图像与性质 1．（2025高三·全国·专题练习）函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖北恩施·期末）已知函数，则函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）如图，曲线是函数的图象，曲线与曲线关于y轴对称，曲线与曲线关于直线对称，曲线与曲线关于x轴对称，则曲线，，对应的函数解析式分别是（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）若函数的大致图象如图所示，其中，（且）为常数，则函数的大致图象为（   ） A．B．C． D． 5．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知（且），若，则与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 6．函数的大致图象是（   ） A．B．C． D． 7．（24-25高一上·广东·阶段练习）在同一坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A．B．C．D． 题型3 求对数型复合函数的定义域 1．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知集合，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·北京房山·阶段练习）函数的定义域为 . 4．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数的值域为，则函数的定义域为 . 题型4 求对数型复合函数的单调性与值域 1．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）的值域为，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·上海金山·阶段练习）函数的单调增区间为 . 5．（2025·河南·三模）函数的定义域为 ，值域为 . 6．函数的值域为： . 题型5 根据对数型复合函数的单调性与值域求参数 1．已知函数（，且）在上的值域为，则实数a的值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·山西长治·阶段练习）已知函数在区间单调递减，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）若函数的值域是，则的取值范围是 ． 5．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数的值域为，则实数的值为 . 6．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域和值域都是，则 . 7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的值域为，则函数的定义域为 8．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数在上单调递增，则实数m的取值范围是 . 题型6 根据对数型复合函数的单调性比较大小 1．（25-26高二上·湖南·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·广东深圳·阶段练习）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）设，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·贵州铜仁·期末）函数，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·海南儋州·模拟预测）已知函数，设，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·山东菏泽·期中）已知为定义在上的偶函数，且当时，是单调递减函数．若，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）已知函数，设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型7 对数函数中的恒成立问题 1．（24-25高一上·安徽·阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是 4．已知函数的图象经过定点，若为正整数，那么使得不等式在区间上有解的的最大值是 . 题型8 对数函数的综合问题 1．（24-25高一上·海南·阶段练习）已知函数满足． (1)当时，解不等式； (2)设，若对，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围． 2．（23-24高一上·北京东城·期末）已知函数， (1)当时，求的定义域和单调区间； (2)若任意都有，求实数的取值范围． 3．（24-25高一上·北京·期末）已知函数. (1)当时，求的取值范围； (2)若函数在上的最大值为6，求实数的值； (3)通过软件作图发现，当时，.试利用上述结论证明：. 4．已知函数． (1)当时，求的值； (2)若函数的定义域为，求的取值范围； (3)当时，恒成立，求的取值范围． 5．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 6．已知函数且． (1)若在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若且存在，使得成立，求的最小整数值． 一、单选题 1．（24-25高二下·河北·期末）函数（且）的图象恒过的点为（    ）． A． B． C． D． 2．函数的图象大致是（   ） A．  B．  C．   D．   3．（2025高三·全国·专题练习）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数的值域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 7．（2025高二下·陕西西安·学业考试）若函数的值域为，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D．] 8．（2025·河南·模拟预测）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．若不等式对任意的x∈（-∞，0]恒成立，则a的取值范围是（    ） A．（-∞，2] B．（-∞，1] C．[1，＋∞） D．[2，＋∞） 二、填空题 10．（24-25高一上·全国·课前预习）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为 ． 11．（25-26高三上·北京海淀·期中）函数的定义域是 ． 12．函数的单调递增区间为 ． 13．（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数，若的值域为，则实数的最小值为 . 14．（25-26高三上·安徽·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是 ． 三、解答题 15．已知函数的图象经过定点. (1)设，，求（用、表示）； (2)是否存在正整数，使得不等式在区间上有解，若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由. 16．（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数． (1)求函数的最大值； (2)若关于的不等式对于任意的恒成立，求正实数的取值范围． 17．已知函数，. (1)求函数的定义域，判断并证明该函数的单调性； (2)函数，若对，都，使得成立，求实数的取值范围； (3)函数，若对，都存在，使得成立，求实数的取值范围； 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.3 对数函数 题型1 对数函数的解析式及定点问题 1．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知对数函数（且）的图象过点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、求对数函数的解析式 【分析】代入点的坐标求出的值，再根据对数的运算性质计算可得. 【详解】因为对数函数（且）的图象过点， 所以，即，所以，则. 故选：C 2．已知函数，若图象过点，则的值为（    ） A．－2 B．2 C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求对数函数的解析式、对数函数的概念判断与求值 【分析】首先代入点求函数的解析式，再求函数值. 【详解】由条件可知，，得， 所以. 故选：B 3．（25-26高一上·全国·课前预习）函数（，且）恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】利用即可求解. 【详解】令，则，解得， 则函数（，且）恒过点． 故选：C. 4．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）函数（且）的图象所过定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】令即可求得定点坐标. 【详解】令，得，此时，故定点坐标为. 故选：A 5．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知则 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求分段函数值、求对数函数的解析式 【分析】根据分段函数计算函数值即可. 【详解】因为则． 故答案为：. 6．（25-26高三上·黑龙江·阶段练习）对，且，的图象过定点A，则点A的坐标为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】指数型函数图象过定点问题、对数型函数图象过定点问题 【分析】根据，求函数图象经过的定点的坐标. 【详解】因为时，为定值． 故点A的坐标为． 故答案为： 7．（25-26高三上·河南·开学考试）对，且的图象过定点，则点的坐标为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】指数型函数图象过定点问题、对数型函数图象过定点问题 【分析】由指数函数、对数函数的定点即可求解. 【详解】由题意，当时， ， 所以图象过定点， 故答案为： 8．（25-26高二上·北京延庆·期中）函数的定义域为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、求对数型复合函数的定义域 【分析】由对数复合函数有意义即可列出不等式求解. 【详解】要使有意义， 只需：， 即：， 解得： 或 . 故答案为： 题型2 对数型函数的图像与性质 1．（2025高三·全国·专题练习）函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断对数型函数的图象形状、判断指数型函数的图象形状 【分析】应用指数函数及对数函数图象结合定点及单调性排除判定选项即可. 【详解】∵函数为减函数，且其图象必过点，∴排除A、D． ∵的图象是由的图象上移1个单位得到的， 因此为增函数，且图象必过点，∴可排除C． 故选：B． 2．（24-25高一上·湖北恩施·期末）已知函数，则函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断对数型函数的图象形状、函数图像的识别 【分析】根据特殊点的函数值来确定正确答案. 【详解】，所以AD选项错误， ，所以C选项错误. 综上所述，B选项正确. 故选：B 3．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）如图，曲线是函数的图象，曲线与曲线关于y轴对称，曲线与曲线关于直线对称，曲线与曲线关于x轴对称，则曲线，，对应的函数解析式分别是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断对数型函数的图象形状、求反函数、判断指数型函数的图象形状 【分析】结合指数函数和对数函数的图象，根据函数图象的对称变化逐一求解可得. 【详解】由图可知，曲线与曲线关于y轴对称，且曲线是函数的图象， 所以曲线对应的函数解析式为， 由曲线与曲线关于直线对称， 所以曲线对应的函数解析式为， 由曲线与曲线关于x轴对称， 所以曲线对应的函数解析式为，即. 故选：A. 4．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）若函数的大致图象如图所示，其中，（且）为常数，则函数的大致图象为（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断对数型函数的图象形状、判断指数型函数的图象形状 【分析】先根据已知对数函数图形求得，再根据指数函数的单调性及与y轴交点位置判断图象. 【详解】函数的大致图象可知函数为减函数， 所以，又，所以， 所以函数单调递减，且， 故只有B选项的图象符合题意. 故选：B. 5．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知（且），若，则与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断对数型函数的图象形状、函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状 【分析】用排除法：由排除两个选项，再由单调性排除一个，得正确选项． 【详解】因为，所以可排除BD， 当时，与同为减函数，当时，与同为增函数，排除A， 故选：C 6．函数的大致图象是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断对数型函数的图象形状、函数图像的识别 【分析】由对数函数的性质以及复合函数单调性逐项判断即可； 【详解】对于B、D，因为在其定义域上为单调增函数， 由复合函数的单调性可得在和上单调递减，故B、D错误； 对于C，由对数函数的性质，当时，，故C错误； 故选：A. 7．（24-25高一上·广东·阶段练习）在同一坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断对数型函数的图象形状、判断指数型函数的图象形状 【分析】对实数的取值范围进行分类讨论，分析两个函数的单调性，即可得出这两个函数的图象. 【详解】对于函数，，可得， 即函数的定义域为. 对于函数，当时，， 即函数的图象过定点，排除A选项； 当时，，则函数为增函数， 函数为减函数，没有选项合乎要求； 当时，，则函数为减函数， 函数为增函数，C选项合乎要求. 故选：C. 题型3 求对数型复合函数的定义域 1．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知集合，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、由对数函数的单调性解不等式、求对数型复合函数的定义域 【分析】解对数不等式求得集合，利用交集的定义求解即可. 【详解】由，可得，所以， 所以，，又， 所以. 故选：D. 2．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【分析】根据题意得到，，再解不等式即可. 【详解】由，，得. 故选：A 3．（25-26高三上·北京房山·阶段练习）函数的定义域为 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【分析】使函数式有意义，列不等式，即得答案. 【详解】要使有意义， 需， 解得：. 故答案为： 4．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数的值域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【分析】首先由的值域为求出函数的定义域，进而求得的定义域. 【详解】因为的值域为，可得，即， 所以的定义域为， 故函数应满足，即， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 题型4 求对数型复合函数的单调性与值域 1．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】对数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的定义域 【分析】根据给定条件，求出函数的定义域，再利用二次函数、对数函数单调性，结合复合函数单调性求出递减区间. 【详解】由，即，解得，则函数的定义域为， 令，函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递减，所以的单调递减区间为. 故选：B 2．（2025高三·全国·专题练习）的值域为，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的值域、根据对数函数的值域求参数值或范围 【分析】根据给定条件，利用对数函数值域确定真数取值集合，再利用二次函数求出范围. 【详解】 因为的值域为， 所以的值域包含， 所以，解得. 故选：C. 3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、求对数型复合函数的值域、求对数函数在区间上的值域、对数的运算 【分析】令，，由换元法可得，利用二次函数的单调性即可求解. 【详解】令，因为，所以， 因为 ， 所以，， 函数在区间上单调递增， 所以，， 所以函数，的值域为. 故选：. 4．（24-25高一下·上海金山·阶段练习）函数的单调增区间为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】对数型复合函数的单调性 【分析】先求函数的定义域，根据复合函数单调性分析求解. 【详解】令且，解得，可知函数的定义域为， 因为，且在内单调递增，在内单调递减，在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性知，函数在内单调递增，在内单调递减，所以函数的单调递增区间为. 故答案为： 5．（2025·河南·三模）函数的定义域为 ，值域为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求对数型复合函数的值域、求对数型复合函数的定义域 【分析】先求证恒成立，即可由得出定义域，再化简即可求出值域. 【详解】因为，所以恒成立， 由，得，则的定义域为， ，故的值域为. 故答案为：； 6．函数的值域为： . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求对数型复合函数的值域、求指数型复合函数的值域 【分析】根据指数函数和对数函数的值域求解. 【详解】因为， 所以， 所以函数的值域为. 故答案为： 题型5 根据对数型复合函数的单调性与值域求参数 1．已知函数（，且）在上的值域为，则实数a的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】研究对数函数的单调性、根据对数函数的值域求参数值或范围 【分析】分类讨论最值，当时，当时，分别求出最值解方程，即可得解. 【详解】若，则在上单调递减，则，不符合题意； 若，则在上单调递增，则， 又因为的值域为，所以，解得． 故选：A． 2．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】对数型复合函数的单调性、由对数（型）的单调性求参数 【分析】根据复合函数的单调性及对数函数的单调性和定义域求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以在上单调递减，且在上恒成立， 则，解得， 故选：B 3．（24-25高三上·山西长治·阶段练习）已知函数在区间单调递减，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由对数（型）的单调性求参数 【分析】根据复合函数单调性判断方法先判断出的单调性，然后根据二次函数的对称轴进行分析，注意定义域，由此求出结果. 【详解】因为在区间单调递减，所以在区间单调递增， 即在区间单调递增， 因为的对称轴为，所以，解得， 故选：A. 4．（2025高三·全国·专题练习）若函数的值域是，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域） 【分析】求解的值域，即可根据求解. 【详解】由于的值域是， 令，则要能取遍所有的值， ， 因此，故 故答案为： 5．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数的值域为，则实数的值为 . 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围 【分析】利用复合函数的单调性可得的最大值为4，结合二次函数的性质确定参数的值并验证即得. 【详解】因的值域为， 即，又在定义域内为增函数，故的最大值为4， 则，由，可得时，，解得， 此时的定义域为， 在上单调递增，在上单调递减， 则得，符合题意. 故答案为：1. 6．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域和值域都是，则 . 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围、求对数型复合函数的定义域 【分析】分类讨论的取值范围，得到函数的单调性，代入数据即可求解. 【详解】当时，易知函数单调递减，由定义域和值域都是， 所以解得所以. 当时，易知函数单调递增，由定义域和值域都是， 所以解得所以. 故答案为：或. 7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的值域为，则函数的定义域为 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围、由对数函数的单调性解不等式、抽象函数的定义域 【分析】首先求出函数的定义域，再利用抽象函数的定义域的求法求解 【详解】由值域为， 得，所以， 解得即的定义域为， 由得， 故的定义域为. 故答案为： 8．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数在上单调递增，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由对数（型）的单调性求参数 【分析】由对任意恒成立得出，再结合复合函数的单调性得出即可. 【详解】由题意可知，对任意恒成立， 则对任意恒成立， 因为在上单调递减，则，故， 故，即； 因为函数在上单调递增，且在上单调递减， 则在上单调递减， 则，即， 综上，实数m的取值范围是. 故答案为： 题型6 根据对数型复合函数的单调性比较大小 1．（25-26高二上·湖南·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】根据指数函数，对数函数的单调性得出范围进而比较大小. 【详解】因为，，， 所以. 故选：B. 2．（25-26高三上·广东深圳·阶段练习）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】根据指数函数的单调性和对数函数的单调性可得正确的选项. 【详解】，而，故， 又，故， 故. 故选：D 3．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】根据对数的性质以及化同底对数即可判断大小. 【详解】因为，，，，所以， 比较和，，，所以， 再比较，，，，所以， 故. 故选：C 4．（24-25高一下·贵州铜仁·期末）函数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】对数函数单调性的应用、对数的运算、比较对数式的大小 【分析】结合对数运算得，再利用对数函数单调性比较大小即可. 【详解】因为，所以， 又当时，在上单调递增， 所以，即. 故选：D 5．（2025·海南儋州·模拟预测）已知函数，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】比较对数式的大小 【分析】根据对数函数的性质及单调性即可求解. 【详解】因为当时，为上的增函数， 又， 所以，即， 故选：A 6．（24-25高二下·山东菏泽·期中）已知为定义在上的偶函数，且当时，是单调递减函数．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、函数奇偶性的定义与判断、比较函数值的大小关系、比较对数式的大小 【分析】首先判断为奇函数，即可得到在上单调递减，再根据自变量的大小关系，即可判断. 【详解】因为为定义在上的偶函数， 所以， 令，则， 所以（）为奇函数， 又当时，是单调递减函数， 所以在上单调递减， 因为，所以，即. 故选：B 7．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）已知函数，设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、比较函数值的大小关系、比较对数式的大小 【分析】先根据对数函数和指数函数的性质比较的大小，然后再根据的单调性可比较出的大小. 【详解】因为在上为增函数，且， 所以， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 因为和在上均为增函数， 所以在上为增函数， 所以， 所以. 故选：C 题型7 对数函数中的恒成立问题 1．（24-25高一上·安徽·阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断指数函数的单调性、对数函数最值与不等式的综合问题、由对数函数的单调性解不等式 【分析】分类讨论，当时， 令可判断原不等式不成立，当时，令函数，由函数的单调性可得当时，取得最大值，从而代入不等式可得解. 【详解】不等式，变形为， 当时， 令，则，此时原不等式不成立； 当时，令， 由在单调递增，在单调递减， 所以在单调递增， 故当时，取得最大值为， 由，解得， 所以. 故选：B. 2．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】对数函数最值与不等式的综合问题 【分析】由指数函数的单调性，可判断，再由对数函数的单调性，求得的单调性和最大值，解不等式可得所求范围． 【详解】解：由于，，可得，， 当时，则，在不恒成立； 故， 由在单调递增， 在单调递减， 可得在单调递增， 则的最大值为， 由题意可得， 即有， 解得， 故选：． 【点睛】本题考查函数恒成立问题解法，注意运用函数的单调性，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力． 3．若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围、对数函数最值与不等式的综合问题、由对数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】由的取值范围求出的范围，依题意利用换底公式及参变分离可得对于任意恒成立，根据对勾函数的性质求出，即可得到，再根据对数函数的性质计算可得. 【详解】解：因为不等式对于任意恒成立， 即不等式对于任意恒成立， 因为，所以， 所以不等式对于任意恒成立， 令，， 因为在上单调递减，在上单调递增，所以， 即， 所以， 所以或， 解得或，即； 故答案为： 4．已知函数的图象经过定点，若为正整数，那么使得不等式在区间上有解的的最大值是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】对数函数最值与不等式的综合问题、由对数函数的单调性解不等式、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】由可得出，由已知不等式结合参变量分离法可得出，令，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围，即可得解. 【详解】由已知可得，则，解得，故， 由得， 因为，则，可得， 令，，则函数在上单调递减， 所以，，. 因此，正整数的最大值为. 故答案为：. 题型8 对数函数的综合问题 1．（24-25高一上·海南·阶段练习）已知函数满足． (1)当时，解不等式； (2)设，若对，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】对数函数最值与不等式的综合问题、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）当时，，由的单调性，即可求解； （2），，由单调性求出在区间上的最大值与最小值，利用其差不超过1，求出关于的关系式在恒成立，转化为关于的函数最值与参数关系，即可求解. 【详解】（1）当时，， 所以， 由题意可得，所以，解得， 故不等式的解集为. （2）， 当时，，则， 所以在上单调递减， 函数在区间上的最大值与最小值分别为， 则， 所以 整理得对任意恒成立， 因为，所以函数对称轴方程为， 函数在区间上单调递增， 所以时，有最小值.由，得， 故的取值范围为. 2．（23-24高一上·北京东城·期末）已知函数， (1)当时，求的定义域和单调区间； (2)若任意都有，求实数的取值范围． 【答案】(1)定义域；单调递增区间，单调递减区间 (2) 【难度】0.65 【知识点】对数函数最值与不等式的综合问题、对数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的定义域 【分析】（1）当时，写出函数的解析式，由对数的真数大于零可求得函数的定义域，利用复合函数的单调性可求得函数的增区间和减区间； （2）分析可知，对任意的，，结合参变量分离法可得出，由可得出，解法一：由参变量分法可得出对任意的，所以恒成立，可求得的范围；解法二：令，其中，根据题意得出，可求得的范围；综合即可得解. 【详解】（1）当时，， 由可得，故函数的定义域为， 又二次函数图象的对称轴为， 该函数在单调递增，单调递减，且是单调递增函数， 由复合函数的单调性得，在单调递增，单调递减． 故的定义域为，单调递增区间为，单调递减区间为． （2）由题意可知，对，，故，所以． 又任意，恒成立 即，， 因为，所以，所以， 解法一：故恒成立．因为，所以恒成立，所以． 解法二：令，其中， 要使得在恒成立，则，故． 综上，． 3．（24-25高一上·北京·期末）已知函数. (1)当时，求的取值范围； (2)若函数在上的最大值为6，求实数的值； (3)通过软件作图发现，当时，.试利用上述结论证明：. 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、对数函数最值与不等式的综合问题、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据对数函数的单调性和定义域解对数不等式； （2）将问题转化为在上的最大值为6，进而可得； （3）利用，分别赋值，即可证. 【详解】（1）由题意函数的定义域为，的定义域为， 由得， 故，得， 又，故的取值范围为. （2） 设，因，故， 则， 当，即时，当时，取得最大值6，故，得， 当即时，当时，取得最大值6，故，得， 故实数的值为或. （3）当时，.试利用上述结论证明：， ， 当时，由可得，故， 当时，由可得故， 故. 4．已知函数． (1)当时，求的值； (2)若函数的定义域为，求的取值范围； (3)当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】已知函数的定义域求参数、对数函数最值与不等式的综合问题、对数函数的概念判断与求值、求对数型复合函数的定义域 【分析】（1）当时，代值计算可得的值； （2）由题意可得，即可求得实数的取值范围； （3）由题意可得对任意的恒成立，由参变量分离法得出，求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，． （2）若函数的定义域为，则对任意的恒成立． 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. （3）由题意可知，不等式对任意的恒成立， 所以，，可得， 因为函数、在上均为增函数，所以，函数在上为增函数， 所以，. 因此，实数的取值范围是. 5．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】对数函数最值与不等式的综合问题、由对数函数的单调性解不等式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）利用二次不等式的解法以及对数函数的单调性可得出原不等式的解集； （2）令，由题意可得出，求出函数在上的最大值，由此可得出实数的取值范围. 【详解】（1）由，可得，解得， 因此，不等式的解集为. （2）因为，令， 由可得，可得， 由对勾函数的单调性可知，函数在上为增函数， 由题意可得， 因此，实数的取值范围是. 6．已知函数且． (1)若在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若且存在，使得成立，求的最小整数值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】对数函数最值与不等式的综合问题、由对数（型）的单调性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）设，得到在上是增函数，且，即可求解； （2）由，的得到，把不等式，转化为，结合题意，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，设， 由且，可得函数在上是增函数，所以， 又由函数定义域可得，解得， 所以实数的取值范围是． （2）解：由，可得， 又由，可得， 所以，即， 因为存在，使得成立，可得， 所以实数的最小整数值是． 一、单选题 1．（24-25高二下·河北·期末）函数（且）的图象恒过的点为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】根据对数函数的定点计算求解. 【详解】在函数中，当时，恒有， 即函数的图象恒过的点为， 故选:C． 2．函数的图象大致是（   ） A．  B．  C．   D．   【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断对数型函数的图象形状 【分析】利用排除法，根据对数函数单调性分析判断即可. 【详解】由题意可知：函数在定义域内单调递增，且， 结合选项可知：ABC错误，D正确. 故选：D. 3．（2025高三·全国·专题练习）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【分析】要使函数有意义，只需真数，解不等式即可. 【详解】要使函数有意义，须满足，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 4．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】对数型复合函数的单调性 【分析】先利用对数函数的定义域得到，再结合复合函数的性质求解单调区间即可. 【详解】由，解得， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 由对数函数性质得在上单调递增， 则的单调递增区间是，故A正确. 故选：A. 5．（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的值域 【分析】利用换元法和对数函数单调性即可求得函数的值域. 【详解】函数的定义域为R， 令，则， 又在上单调递增，则， 则函数的值域为 故选：B 6．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数的值域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求对数型复合函数的值域、求对数型复合函数的定义域 【分析】首先求出函数的定义域，再利用抽象函数的定义域求解 【详解】由值域为，得， 故，即的定义域为， 令得，故的定义域为， 故选：C． 7．（2025高二下·陕西西安·学业考试）若函数的值域为，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D．] 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围 【分析】令，等价于的值域能取到内的任意实数即可， 【详解】令，等价于的值域能取到内的任意实数， 若，则，符合题意， 若，则需，解得，∴a的范围为， 故选：D． 8．（2025·河南·模拟预测）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】根据指数函数及对数函数的单调性计算判断大小. 【详解】因为单调递减，所以， 因为单调递减，所以， 则的大小关系为. 故选：A. 9．若不等式对任意的x∈（-∞，0]恒成立，则a的取值范围是（    ） A．（-∞，2] B．（-∞，1] C．[1，＋∞） D．[2，＋∞） 【答案】A 【难度】0.65 【详解】不等式， 即, 所以， 整理可得对任意的x∈（-∞，0]恒成立， 令， 则在上有最小值2， 所以， 故选：A 【点睛】本题考查不等式恒成立问题、函数单调性，考查转为思想，考查学生灵活运用知识解决问题的能力. 二、填空题 10．（24-25高一上·全国·课前预习）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求对数函数的解析式 【分析】设出函数解析式，再结合图象所过点求出参数即可. 【详解】设函数解析式为，且， 由函数的图象过点，得，即，解得， 所以该对数函数的解析式为为. 故答案为： 11．（25-26高三上·北京海淀·期中）函数的定义域是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】利用对数函数和二次根式的性质建立不等式组，求解参数即可. 【详解】由题意得，解得. 故答案为： 12．函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】对数型复合函数的单调性 【分析】根据对数函数的单调性结合同增异减可求原函数的单调递增区间． 【详解】因为，所以函数的定义域为或， 令，则， 因为在单调递减， 且在单调递减，在单调递增， 由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为． 故答案为：． 13．（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数，若的值域为，则实数的最小值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围 【分析】根据给定条件，利用对数函数的图象性质，可得二次函数值域包含正实数集，进而列式求解. 【详解】由函数的值域为，得的值域包含， 当时，显然不满足题意，故， 则函数，图象开口向上，且与轴有公共点， 于是，解得，所以实数的最小值为. 故答案为： 14．（25-26高三上·安徽·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由对数（型）的单调性求参数 【分析】根据对数型复合函数的单调性，转化为在区间上，单调递增，以及，列式求解. 【详解】由题意得，在上单调递增，且在上恒成立， 则，解得． 故答案为： 三、解答题 15．已知函数的图象经过定点. (1)设，，求（用、表示）； (2)是否存在正整数，使得不等式在区间上有解，若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【难度】0.65 【知识点】对数函数最值与不等式的综合问题、对数的运算 【分析】（1）代入坐标计算，得到，，再利用对数运算法则得到答案. （2）变换得到，确定在单调递增，计算最值得到答案. 【详解】（1）函数的图象经过定点，，解得； ，，， 故； （2）在区间上有解，即在区间上有解， 显然，即在区间上有解， 不等式两边同时除以得：在区间上有解，只需， 因为在上单调递增，且， 在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以时，取得最大值，，故， 所以存在正整数，使得不等式在区间上有解，. 16．（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数． (1)求函数的最大值； (2)若关于的不等式对于任意的恒成立，求正实数的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【难度】0.65 【知识点】求对数函数的最值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、对数函数最值与不等式的综合问题、对数的运算 【分析】（1）利用对数的运算性质化简，令，结合二次函数即可求出函数的最大值； （2）将恒成立问题转化成，借助（1）的结论，解不等式即可. 【详解】（1）因为， 令， 可得， 所以当且仅当，即时，函数取到最大值1． （2）由（1）可得：当且仅当，即时，函数取到最大值6， 所以，即，且， 解得，即， 故实数的取值范围为． 17．已知函数，. (1)求函数的定义域，判断并证明该函数的单调性； (2)函数，若对，都，使得成立，求实数的取值范围； (3)函数，若对，都存在，使得成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)定义域；单调递增，证明见解析 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围、对数函数最值与不等式的综合问题、对数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的定义域 【分析】（1）利用对数的真数大于零可求得函数的定义域，然后判断出函数在其定义域上为增函数，利用函数单调性的定义可证明结论成立； （2）求出函数在上的值域，求出函数在上的值域，根据题意可得出两个函数值域的包含关系，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围； （3）求出函数在上的值域，可得出，，令，则，可得，利用双勾函数的单调性求出函数在上的最小值，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：对于函数，有，即，解得， 所以，函数的定义域为， 函数在其定义域上为增函数，证明如下： 任取、且，即， 则 ， 因为，则，则， 且，，，， 则， 所以，，所以，， 所以，，所以，函数在其定义域上为增函数. （2）解：， 当时，，则，则， 则， 因为函数在上单调递增，且，， 故函数在上的值域为，则， 对，都，使得成立， 则，所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. （3）解：因为在上单调递增，由（2）可知，函数在上的值域为， 因为函数， 若对，都存在，使得成立，则， 即，， 令，则，可得， 由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，所以，， 所以，，解得，故实数的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $