专题6.2 指数函数（八大题型精练）-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

专题6.2 指数函数 题型1 指数函数的解析式及定点问题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·青海海东·阶段练习）已知函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东济宁·期末）函数（且）的图象过定点（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）已知关于x的函数（，且）的图象恒过定点A，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·福建泉州·期末）若指数函数的图象经过点，则的值为 . 6．（23-24高一上·云南红河·期末）函数且的图象经过点，则 . 7．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数（且）的图象一定过点，则点的坐标是 ． 8．（2025·贵州毕节·二模）已知函数且的图象过定点，则点的坐标是 . 题型2 指数型函数的图像与性质 1．（2024高二下·湖南·学业考试）函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 2．如图所示，函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（23-24高一下·全国·课后作业）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 4．函数的图象大致是（     ） A．B． C． D． 5．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）（多选题）当时，函数和的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·云南昆明·期中）（多选题）已知，则函数的图象可能是（    ） A．     B．   C．   D．   7．（23-24高三上·山西晋中·阶段练习）（多选题）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A．   B．     C．   D．   8．（23-24高三上·河北衡水·开学考试）（多选题）已知，则函数的图象可能是（    ） A．   B．     C．     D．     题型3 求指数型复合函数的定义域 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．函数y＝的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围为(　　) A．a＞0 B．a＜1 C．0＜a＜1 D．a≠1 3．设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．函数的定义域为 A． B． C． D． 7．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的定义域为 ． 8．函数的定义域为 ． 题型4 求指数型复合函数的单调性与值域 1．（25-26高一上·云南·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·重庆·开学考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·四川广安·开学考试）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·福建福州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·广东·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）函数的单调递增区间是 ． 7．函数的严格增区间是 . 8．（25-26高一上·全国·课前预习）若，其中，则的值域为 ． 9．（24-25高一下·浙江·期中）已知函数，则它的值域是 ． 题型5 根据指数型复合函数的单调性与值域求参数 1．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知函数的值域为，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如果函数 且在区间上的最大值是，则的值为（   ） A．3 B． C． D．3或 3．（2025高三·全国·专题练习）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·贵州毕节·二模）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江西九江·期末）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）若关于的不等式在上有解，则实数的最小值为 ． 8．已知函数．当时，的值域为 ；若的最大值为16，则a的值为 ． 9．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 10．（25-26高一上·全国·期中）设函数在区间上单调递减，则a的取值范围是 ． 题型6 根据指数型复合函数的单调性比较大小 1．（25-26高一上·河南·阶段练习）设，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·广东·阶段练习）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·湖北恩施·期中）若，其中m，n均为实数，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025高三上·四川·学业考试）已知函数，则满足不等式的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·北京·阶段练习）“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2025·天津北辰·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·湖北·模拟预测）已知正数满足，则与的关系不可能是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·广东汕头·期末）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 题型7 指数函数中的恒成立问题 1．（25-26高一上·云南昆明·期中）若函数在上恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．定义在上的运算：，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，若对任意恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，若对于任意的，都有成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江苏南通·期中）对任意正数x，y，不等式x（x+y）≤a（x2+y2）恒成立，则实数a的最小值为（　　） A． B．﹣1 C．+1 D． 6．若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·浙江宁波·一模）已知不等式，若对任意及，该不等式恒成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 题型8 指数函数的综合问题 1．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数． (1)设，判断并证明函数的奇偶性； (2)判断是否为定值，并求关于x的不等式的解集． 2．（2024高二上·辽宁·学业考试）已知函数. (1)若，求实数的值； (2)当时，的最小值为，求函数的解析式； (3)若对任意实数均成立，求实数的取值范围. 3．（24-25高一上·上海闵行·期中）已知函数，其中且. (1)若，求的最小值； (2)若在区间上的最大值为，求的值； (3)若，且对任意恒成立，求实数的取值范围. 4．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知函数． (1)若函数是定义在上的奇函数，求函数的解析式； (2)在（1）的前提下，函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值． 5．（23-24高一上·广东广州·期中）已知定义在上的函数． (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为函数的局部对称点．若是的局部对称点，求实数的取值范围． 6．已知函数，． (1)若，解关于的不等式； (2)若函数的最小值为-4，求m的值． 7．已知函数. (1)当时，若，求的值； (2)若，恒成立，求的取值范围. 8．（24-25高一下·福建福州·期末）已知函数，． (1)若对于任意的，恒成立，求实数k的取值范围； (2)若，且的最小值为，求实数k的值． 9．（2024·上海虹口·二模）已知函数是定义域为的奇函数. (1)求实数的值，并证明在上单调递增； (2)已知且，若对于任意的、，都有恒成立，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.2 指数函数 题型1 指数函数的解析式及定点问题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求指数函数解析式 【分析】设，（且），代入点运算求解即可. 【详解】设，（且）， 因为函数的图象过点，则，解得， 所以. 故选：B. 2．（23-24高一下·青海海东·阶段练习）已知函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求指数函数解析式、指数函数的判定与求值 【分析】根据函数的图象过点，求出a的值，即可求得答案. 【详解】由题意可知， 所以， 故选：C. 3．（24-25高一上·山东济宁·期末）函数（且）的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】直接由指数式的指数为0求得与的值，则答案可求． 【详解】由，得，则， 所以函数（且）的图象过定点， 故选：B 4．（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）已知关于x的函数（，且）的图象恒过定点A，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据指数函数的性质判断. 【详解】令，则，所以函数图象恒过定点. 故选：D. 5．（24-25高二下·福建泉州·期末）若指数函数的图象经过点，则的值为 . 【答案】3 【难度】0.94 【知识点】求指数函数解析式 【分析】将点代入函数解析式计算即可求解. 【详解】因为指数函数的图象经过点， 所以，解得. 故答案为：3 6．（23-24高一上·云南红河·期末）函数且的图象经过点，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求指数函数解析式 【分析】将点坐标代入函数求参数，即可得解析式. 【详解】因为函数且的图象经过点， 所以，解得，所以. 故答案为： 7．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数（且）的图象一定过点，则点的坐标是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据指数函数的图象过定点求解. 【详解】当，即时，恒成立， 所以函数恒过点． 故答案为： 8．（2025·贵州毕节·二模）已知函数且的图象过定点，则点的坐标是 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】利用可得的坐标. 【详解】由函数解析式可得：当且仅当时，的值与无关， 故定点的横坐标为，故纵坐标为，故. 故答案为：. 题型2 指数型函数的图像与性质 1．（2024高二下·湖南·学业考试）函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断指数型函数的图象形状、函数图像的识别 【分析】根据指数函数的单调性及定点即可判断. 【详解】函数单调递增，且过点，B选项满足条件. 故选：B 2．如图所示，函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断指数型函数的图象形状 【分析】将原函数变形为分段函数，根据及时的函数值即可得解. 【详解】∵， ∴时，， 当时，函数为上的单调递增函数，且， 当时，函数为上的单调递减函数，且， 故选：B 3．（23-24高一下·全国·课后作业）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断指数型函数的图象形状 【分析】根据函数奇偶性以及指数函数性质，利用排除法即可得出结论． 【详解】易知函数定义域为， 且满足，可得其为偶函数，图象关于轴对称； 又当时，，因此排除A， 又， 利用指数函数图象性质可知其在上单调递增，且增长速度越来越快，即排除CD， 故选：B. 4．函数的图象大致是（     ） A．B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断指数型函数的图象形状、函数图像的识别 【分析】将函数改写成分段函数，再根据指数函数的性质判断即可. 【详解】解：函数， 当时，是增函数，当时，的减函数， 且时，，即图象过点； 符合条件的图象是． 故选：A． 5．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）（多选题）当时，函数和的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】判断指数型函数的图象形状 【分析】根据一次函数的图象确定、的取值范围，再结合指数函数的单调性进行检验即可. 【详解】对于A选项，由一次函数的图象知，，， 由指数函数的图象知，函数为减函数，则， 若，则，满足题意； 对于B选项，由一次函数的图象可知，，， 由指数函数的图象知，函数为减函数，则， 若，则，矛盾； 对于C选项，由一次函数的图象可知，，， 由指数函数的图象知，函数为增函数，则， 若，则，矛盾； 对于D选项，由一次函数的图象可知，，， 由指数函数的图象知，函数为减函数，则， 若，则，矛盾. 故选：BCD. 6．（23-24高一上·云南昆明·期中）（多选题）已知，则函数的图象可能是（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】判断指数型函数的图象形状 【分析】利用指数函数图象性质，对底数进行分类讨论逐一判断选项即可求得结果. 【详解】根据题意，由指数函数性质可知 当时，函数单调递减，且， 若，则函数图象过坐标原点，此时图象为D； 当时，函数，图象可能是C； 当时，函数单调递增，且， 此时交轴正半轴，函数图象可以为B； 故选：BCD 7．（23-24高三上·山西晋中·阶段练习）（多选题）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A．   B．     C．   D．   【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】判断指数型函数的图象形状、二次函数的图象分析与判断 【分析】根据二次函数的图象与指数函数的图象判断，注意分类讨论． 【详解】当时，对应的图象可能为选项A；当时，对应的图象可能为选项C. 故选：AC. 8．（23-24高三上·河北衡水·开学考试）（多选题）已知，则函数的图象可能是（    ） A．   B．     C．     D．     【答案】AD 【难度】0.94 【知识点】判断指数型函数的图象形状、函数图像的识别 【分析】通过特值法，排除错误选项，通过的取值，判断函数的图象的形状，推出结果即可. 【详解】由于当时，，排除B，C， 当时，，此时函数图象对应的图形可能为A， 当时，，此时函数图象对应的图形可能为D. 故选：AD. 题型3 求指数型复合函数的定义域 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、求指数（型)函数的定义域 【分析】根据题意要使函数有意义，则，解之即可. 【详解】要使函数有意义，则， ，， 故函数的定义域为： 故选：C 2．函数y＝的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围为(　　) A．a＞0 B．a＜1 C．0＜a＜1 D．a≠1 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、求指数（型)函数的定义域 【分析】由题意可得，对讨论，分,运用指数函数的单调性，列不等式即可得到的范围. 【详解】要使函数且有意义, 则, 即, 当时，； 当时，， 因为的定义域为 所以可得符合题意， 的取值范围为，故选C. 【点睛】本题考查函数的定义域以及指数函数的单调性，注意运用偶次根式被开方式非负，意在考查分类讨论思想与运算能力，属于中档题. 3．设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求指数（型)函数的定义域 【分析】求出的定义域后可求的定义域， 【详解】因为，所以，故， 故的定义域为， 令，则，故的定义域为. 故选：D. 4．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、求指数（型)函数的定义域 【分析】根据函数的定义域定义求解即可. 【详解】要使得函数有意义， 则，，，解得. 故函数的定义域为. 故选：D. 5．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、具体函数的定义域、求指数（型)函数的定义域 【分析】利用偶次根式被开方数非负得出，然后利用指数函数的单调性可解出该不等式，即可得出函数的定义域. 【详解】由题意可得，即，. 因此，函数的定义域为. 故选：B. 【点睛】本题考查函数定义域的求解，同时也考查了指数不等式的计算，考查计算能力，属于基础题. 6．函数的定义域为 A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求指数（型)函数的定义域 【详解】试题分析：由已知可得，故选C. 考点：函数的定义域. 7．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的定义域为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求指数（型)函数的定义域 【分析】函数的定义域满足，解得答案. 【详解】函数的定义域满足：，解得且. 故答案为： 8．函数的定义域为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求指数（型)函数的定义域 【分析】解指数不等式得出定义域. 【详解】， 即定义域为. 故答案为： 题型4 求指数型复合函数的单调性与值域 1．（25-26高一上·云南·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、判断指数函数的单调性、判断指数型复合函数的单调性 【分析】根据二次函数、指数函数的性质，结合复合函数的单调性判断确定单调递增区间. 【详解】由在上单调递减，在上单调递增， 而在定义域上单调递减，则的单调递增区间为. 故选：D 2．（25-26高三上·重庆·开学考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求二次函数的值域或最值、求指数型复合函数的值域 【分析】令，求出，继而结合指数函数的单调性，即可求得答案. 【详解】令，则，当时取等号， 又为R上的单调递增函数，故，即， 故函数的值域为， 故选：D 3．（25-26高三上·四川广安·开学考试）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求指数型复合函数的值域 【分析】由指数函数单调性得到值域. 【详解】，又在R上单调递减， 故，又，故值域为. 故选：A 4．（24-25高一上·福建福州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求二次函数的值域或最值、求指数型复合函数的值域 【分析】利用指数函数单调性，结合二次函数值域求出值域. 【详解】依题意，，当且仅当时取等号，而函数在R上单调递减， 则，所以函数的值域为. 故选：B 5．（24-25高一上·广东·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求指数型复合函数的值域 【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得. 【详解】令，因为，所以， 则， 令，， 所以当时取得最小值，且，又，， 所以，即函数的值域是. 故选：C 6．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】判断指数函数的单调性 【分析】根据指数函数的单调性即可得解. 【详解】， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为：. 7．函数的严格增区间是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、判断指数函数的单调性、判断指数型复合函数的单调性 【分析】由指数函数、二次函数单调性结合复合函数单调性单调性即可求解. 【详解】因为关于单调递减，若函数关于单调递增， 则由复合函数单调性可知只需单调递减即可， 而的单调递减区间为， 所以函数的严格增区间是. 故答案为：. 8．（25-26高一上·全国·课前预习）若，其中，则的值域为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求指数型复合函数的值域 【分析】先根据求出的值域，再求出的值域即可. 【详解】因，且在上单调递增，则， 因在上单调递增，则， 故的值域为. 故答案为： 9．（24-25高一下·浙江·期中）已知函数，则它的值域是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求指数型复合函数的值域 【分析】应用二次函数、指数函数的性质求复合函数的值域即可. 【详解】由，则， 所以函数的值域为. 故答案为： 题型5 根据指数型复合函数的单调性与值域求参数 1．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知函数的值域为，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域） 【分析】利用指数函数的性质建立方程得到，再结合得到，最后再求解目标式的值即可. 【详解】因为，所以，则， 因为函数的值域为，所以， 此时，因为，所以，解得， 则，故C正确. 故选：C 2．如果函数 且在区间上的最大值是，则的值为（   ） A．3 B． C． D．3或 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】利用换元法，令，转化为二次函数，根据单调性及在区间上的最大值是，求出的值即可. 【详解】令，则． 当时，因为，所以， 又因为函数在上单调递增， 所以，解得（舍去）． 当时，因为，所以， 又函数在上单调递增， 则， 解得（舍去）． 综上知或． 故选：D. 3．（2025高三·全国·专题练习）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由指数（型）的单调性求参数 【分析】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围． 【详解】设，则在上单调递增. 因为在区间内单调递减， 所以函数在区间内单调递减， 结合二次函数的图象和性质，可得：，解得． 故选：A． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值、由指数（型）的单调性求参数 【分析】根据指数函数、二次函数以及复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数， 且函数在上单调， 根据复合函数的单调性，可得，即， 所以的取值范围是. 故选：A. 5．（2025·贵州毕节·二模）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由指数（型）的单调性求参数 【分析】令，利用复合函数的单调性可得出，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】令， 则函数的减区间为，增区间为， 又因为函数在区间上单调递增，且外层函数在上为增函数， 所以，，可得，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 6．（24-25高一上·江西九江·期末）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由指数（型）的单调性求参数 【分析】由指数复合函数的区间单调性有，即可求参数范围. 【详解】函数在上单调递减，且在区间上单调递减， 函数在区间上单调递增， ，即， 的取值范围是. 故选：A 7．（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）若关于的不等式在上有解，则实数的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、函数不等式能成立（有解）问题、求指数函数在区间内的值域 【分析】参变分离得到关于的不等式在上有解，利用对勾函数的性质求出，即可求出的取值范围. 【详解】因为关于的不等式在上有解， 所以关于的不等式在上有解， 所以，， 因为，所以，令，则， ， 令，， 因为对勾函数在上单调递减，则， 所以，当且仅当时取等号， 所以，则，即实数的最小值为. 故答案为： 8．已知函数．当时，的值域为 ；若的最大值为16，则a的值为 ． 【答案】 / -2 【难度】0.85 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、求指数型复合函数的值域 【分析】首先求函数的值域，再根据指数函数的单调性，求函数的值域；根据函数有最大值16，得函数有最大值4，根据二次函数的性质，列式求实数的值. 【详解】当时，， 设，则，因为在R上是增函数，所以，即，所以函数的值域是 ； 要使函数的最大值为16，则的最大值为4，故，解得． 故答案为：； 9．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、由指数（型）的单调性求参数 【分析】利用二次函数、指数函数的单调性，结合复合函数单调性判断确定的递增区间，结合已知求参数范围. 【详解】令，在上单调递增，在上单调递减， 又在定义域内单调递增，所以在上单调递增， 因为函数在上单调递增，所以，即， 故实数的取值范围是. 故答案为： 10．（25-26高一上·全国·期中）设函数在区间上单调递减，则a的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】根据函数的单调性求参数值、由指数（型）的单调性求参数 【分析】利用指数函数的性质及复合函数求同增异减求单调性的方法可解 【详解】∵函数在R上单调递减，且在区间上单调递减，∴函数在区间上单调递增，∴，即，∴a的取值范围是． 故答案为：． 题型6 根据指数型复合函数的单调性比较大小 1．（25-26高一上·河南·阶段练习）设，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较指数幂的大小 【分析】根据指数函数和幂函数单调性进行判断即可. 【详解】，，，，； 在上单调递增，，； 综上所述：. 故选：D. 2．（25-26高三上·广东·阶段练习）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】根据函数、的单调性即可. 【详解】因函数为上的递增函数，则，即，则； 因函数为上的递增函数，则，即，则， 则. 故选： 3．（24-25高一上·湖北恩施·期中）若，其中m，n均为实数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】构造函数，可得函数为增函数，借助单调性即可得出结果. 【详解】由变形，可得：， 设函数， 因为指数函数在上是增函数，在上是减函数， 所以在上是增函数， 所以在上是增函数. 由可得，即. 故选：C 4．（2025高三上·四川·学业考试）已知函数，则满足不等式的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性、比较指数幂的大小 【分析】根据指数函数的单调性，结合函数单调性的判定方法，求得为单调递增函数，再由不等式转化为，进而求得实数的取值范围. 【详解】由函数，可得其定义域为， 设，且， 则， 由指数函数为单调递增函数，所以， 又因为，所以， 即，所以函数为单调递增函数， 又由，即，所以， 即，解得，即实数的取值范围为. 故选：C. 5．（25-26高三上·北京·阶段练习）“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较指数幂的大小、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据幂函数与指数函数的单调性可判断. 【详解】充分性：令，易知在上单调递增， 由，可得到；再令，易知为R上的减函数， 由，可得到，即. 故“”是“”的充分条件. 必要性：不妨令，此时成立，不成立（偶次方根的底数非负）. 故“”不是“”的必要条件. 故选：A 6．（2025·天津北辰·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较指数幂的大小 【分析】首先根据指数函数性质得到最大，再利用幂函数的单调性比较出大小关系即可. 【详解】因为，则，， ，即， ， 接下来比较和的大小关系，因为，而， 则，根据幂函数在上单调递增得， 即. 故. 故选：D. 7．（2025·湖北·模拟预测）已知正数满足，则与的关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较指数幂的大小、比较函数值的大小关系 【分析】由指数式与对数式的互化与幂函数，指数函数的单调性判断即可. 【详解】设，则，即， 当时，在上为减函数，而函数在上为增函数， 则，即，故AB可能成立； 当时，则，即； 当时，在上为增函数， 则，即，故C可能成立，D不可能成立. 故选：D. 8．（24-25高一上·广东汕头·期末）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较指数幂的大小 【分析】根据给定条件，利用指数函数、幂函数的单调性比较大小. 【详解】依题意，函数在上单调递增，函数在R上单调递减， 则，所以的大小关系为. 故选：D. 题型7 指数函数中的恒成立问题 1．（25-26高一上·云南昆明·期中）若函数在上恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、求指数函数在区间内的值域 【分析】利用换元法将函数转化为，再利用二次函数求最值即可求解. 【详解】令，，， 可转化为， 又开口向上，且对称轴为， 在上单调递增，， 函数在上恒成立，即在上恒成立， 也就是，，解得. 实数的取值范围为. 故选：C. 2．定义在上的运算：，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】由新定义把不等式转化为，然后由不等式恒成立求得的范围． 【详解】由题意，即对恒成立， 当时，，∴，解得或． 故选：A 【点睛】本题考查新定义，考查不等式恒成立问题，解题关键是利用新定义把“新不等式”转化为我们熟悉的不等式，然后转化为求函数的最值并解不等式得参数范围． 3．已知函数，若对任意恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题 【分析】先判断出在单调递增，求出，即可求出实数m的范围. 【详解】因为在单调递增，在单调递增， 所以在单调递增. 所以. 因为对任意恒成立，所以. 故选：D 4．已知函数，若对于任意的，都有成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】根据二次函数图象以及在某段区间上小于零，得到对应的不等式组，求解出的范围. 【详解】 因为对任意的，都有成立，所以只需要满足： ，即，解得：， 故选B. 【点睛】本题考查根据二次函数在给定区间上的恒成立求解参数的问题，难度一般.除了可以利用图象直接进行分析，还可以根据二次函数对称轴进行分析，利用对称轴分析时注意分类. 5．（24-25高一上·江苏南通·期中）对任意正数x，y，不等式x（x+y）≤a（x2+y2）恒成立，则实数a的最小值为（　　） A． B．﹣1 C．+1 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】将已知不等式转化为（a﹣1）﹣+a≥0对于一切正数x，y恒成立，令t＝，f（t）＝（a﹣1）t2﹣t+a，由二次函数的图象与性质可得关于a的不等式组，解之即可得答案. 【详解】∵x＞0，y＞0， ∴x（x+y）≤a（x2+y2）⇔xy≤（a﹣1）x2+ay2⇔， 令，f（t）＝（a﹣1）t2﹣t+a， 依题意，，即，解得a≥. ∴实数a的最小值为. 故选：D. 6．若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题 【分析】先变量分离，再求对应函数最值，即得结果. 【详解】由题得， 因为， 所以当时，函数取到最小值 故答案为：A 【点睛】本题考查不等式恒成立问题、变量分离法求参数取值范围，考查基本分析求解能力，属中档题. 7．（2024·浙江宁波·一模）已知不等式，若对任意及，该不等式恒成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【解析】利用换元法令，将不等式问题转化为一元二次函数的恒成立问题，即可得答案； 【详解】由题意可知：不等式对于，恒成立， 即：，对于，恒成立， 令，则，∴在上恒成立， ∵，∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查换元法及一元二次函数恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意新元的取值范围的确定. 题型8 指数函数的综合问题 1．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数． (1)设，判断并证明函数的奇偶性； (2)判断是否为定值，并求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)是定值，关于x的不等式的解集为 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、指数函数最值与不等式的综合问题 【分析】（1）先求得的解析式，然后根据函数奇偶性的定义来进行判断. （2）是定值，由此化简不等式，从而求得不等式的解集. 【详解】（1） ， 是奇函数，证明如下： 的定义域是，， 所以是奇函数. （2）为定值. 所以， 即， 即①， 在上单调递增， ， ，即②， 由①②得，而， 所以关于x的不等式的解集为. 2．（2024高二上·辽宁·学业考试）已知函数. (1)若，求实数的值； (2)当时，的最小值为，求函数的解析式； (3)若对任意实数均成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题、含参指数函数的最值、指数幂的化简、求值 【分析】（1）把代入，结合指数幂的运算直接求解即得. （2）令，则，将问题转化为求解最小值问题，根据和两种情况分类讨论求解即可. （3）利用换元法将恒成立问题转化为恒成立，令，则，然后利用函数的单调性求解最值即可求解. 【详解】（1）因为函数且，所以，即，解得； （2）令，因为，所以，则转化为， 此抛物线开口向上，且对称轴， 当，即时，在上单调递增，则； 当，即时，在上单调的递减，在上单调递增， 则. 综上，； （3）由，得， 令，则， ，令， 则由得，当且仅当时等号成立， 所以， 由题意知恒成立，令，则， 显然在上单调递增，所以， 所以，即实数的取值范围为. 3．（24-25高一上·上海闵行·期中）已知函数，其中且. (1)若，求的最小值； (2)若在区间上的最大值为，求的值； (3)若，且对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求已知指数型函数的最值、指数函数最值与不等式的综合问题、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）由题知，进而结合二次函数求解即可； （2）令，将函数转化为求的最大值问题，再分和讨论求解即可； （3）结合题意，将问题转化为，对任意恒成立，再结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）当时，函数， 所以当时，函数有最小值. （2）令，则函数， 当时，由有， 由于函数在上单调递减，在区间上的最大值为， 所以，当时，有最大值， 解得或，均不满足，舍去； 当时，由有， 由于函数在上单调递增，在区间上的最大值为， 所以，当时，有最大值， 解得或，其中不满足，舍去； 综上，. （3）因为当时，对任意恒成立 所以，对任意恒成立 所以，对任意恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，恒成立，即， 所以，实数的取值范围为. 4．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知函数． (1)若函数是定义在上的奇函数，求函数的解析式； (2)在（1）的前提下，函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、指数函数最值与不等式的综合问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据奇函数的性质得到，再解方程即可. （2）首先根据题意得到，从而得到，再利用换元法和基本不等式的性质求解即可. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数， 所以，即恒成立. 所以，，解得，或. 当时，，无意义，不满足定义域为，舍去. 当时，，满足题意. 故. （2），所以. 所以， 因为任意且，不等式恒成立， ，当且仅当时，等号成立. 令，得到恒成立，即恒成立. 因为，当且仅当时，等号成立，故， 所以的最大值为. 5．（23-24高一上·广东广州·期中）已知定义在上的函数． (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为函数的局部对称点．若是的局部对称点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题、由指数（型）的单调性求参数 【分析】（1）利用换元法，对的取值范围进行分类讨论，结合一次函数、二次函数的单调性可求得实数的取值范围； （2）由分离参数，利用换元法，结合二次函数的基本性质可求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：当时，令，则， 因为内层函数在上为增函数，且函数在上为增函数， 故函数在上为增函数， 当时，则函数在上为减函数，不合乎题意， 当时，要使得函数在上为增函数， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. （2）解：根据局部对称函数的定义可知，， 即， 即， 所以，， 令， 当且仅当时，即当时，等号成立， 则 ， 所以，， 则， 因为函数、在上为增函数， 故函数在上为增函数， 则，故. 因此，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 6．已知函数，． (1)若，解关于的不等式； (2)若函数的最小值为-4，求m的值． 【答案】(1) (2)-3 【难度】0.85 【知识点】根据指数函数的最值求参数、指数函数最值与不等式的综合问题、基本不等式求和的最小值、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）因式分解得到，结合，得到，求出解集； （2）变形得到，，结合函数对称轴，分两种情况，由函数最小值列出方程，求出m的值. 【详解】（1）时，由得， ，， 因为，所以，解得， 所以原不等式的解集为． （2）因为， 令，因为， 所以，（当且仅当时取得等号） 则，， ①当，即时，在上单调递增， 当，即时，， 所以，解得，符合题意； ②当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 当，， 所以，解得，不合题意，舍去． 综上，的值为-3． 7．已知函数. (1)当时，若，求的值； (2)若，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据指数函数的最值求参数、指数函数最值与不等式的综合问题、指数函数的判定与求值 【分析】（1）直接解方程即可求得；（2）把题意转化为，令，求出，解不等式即可求得. 【详解】（1）当时，， ∴，即， ∴ （2） ， 由于，∴且， ∴， 设，. 因为为增函数，为减函数，所以在上单增. ∴， ∴， 解得或， ∴的取值范围是 【点睛】“恒（能）成立”问题的解决方法： （1）函数性质法 对于一次函数，只须两端满足条件即可；对于二次函数，就要考虑参数和的取值范围. （2）分离变量法 思路：将参数移到不等式的一侧，将自变量x都移到不等式的另一侧. （3）变换主元法 特点：题目中已经告诉了我们参数的取值范围，最后要我们求自变量的取值范围. 思路：把自变量看作“参数”，把参数看作“自变量”，然后再利用函数的性质法，求解. （4）数形结合法 特点：看到有根号的函数，就要想到两边平方，这样就与圆联系起来；这样求函数恒成立问题就可以转化为求“谁的函数图像一直在上面”，这样会更加直观，方便求解. 8．（24-25高一下·福建福州·期末）已知函数，． (1)若对于任意的，恒成立，求实数k的取值范围； (2)若，且的最小值为，求实数k的值． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】根据指数函数的最值求参数、指数函数最值与不等式的综合问题、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）问题转化为对于任意的，恒成立，然后利用基本不等式求出的最大值即可得答案， （2）化简变形函数得，令，则，然后分，和求其最小值，从而可求出实数k的值． 【详解】（1）由，得恒成立， 所以对于任意的，恒成立， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以， 即实数k的取值范围为 （2）， 令，当且仅当，即时取等号， 则， 当时，为减函数，则无最小值，舍去， 当时，最小值不是，舍去， 当时，为增函数，则，最小值为，解得， 综上， 9．（2024·上海虹口·二模）已知函数是定义域为的奇函数. (1)求实数的值，并证明在上单调递增； (2)已知且，若对于任意的、，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数、指数函数最值与不等式的综合问题、定义法判断或证明函数的单调性、判断指数型复合函数的单调性 【分析】（1）由奇函数的性质可得出，求出，利用函数奇偶性的定义可验证函数为奇函数，再利用函数单调性的定义可证得结论成立； （2）由题意可得，可得出，求得，分、，根据已知条件可得出关于的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为函数是定义域为的奇函数， 则，解得，此时， 对任意的，，即函数的定义域为， ，即函数为奇函数，合乎题意， 任取、且，则， 所以，，则， 所以，函数在上单调递增. （2）解：由（1）可知，函数在上为增函数， 对于任意的、，都有，则， ， 因为，则. 当时，则有，解得； 当时，则有，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $