精品解析：浙江省台州市临海市东塍镇中学2025-2026学年九年级上学期11月月考数学试题

2025学年九年级上数学期中测试题 （时间120分钟，总分120分） 一、单选题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程有实数根，则满足（　　） A. B. C. ，且 D. ，且 5. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到（A、B分别与、对应），则的度数为（ ） A. 如 B. C. D. 6. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝115°，则∠BOD的度数为（ 　） A 110° B. 120° C. 130° D. 140° 7. 若二次函数的图象经过点，，，则y1，y2，y3的大小关系正确的为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数图象上部分点的坐标的对应值如表所示： … 0 6 … … 0.39 039 … 则方程的解是（ ） A. 0或6 B. 或 C. 或6 D. 无实数解 9. 如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（　　） A. 3α+β＝180° B. 2α+β＝180° C. 3α﹣β＝90° D. 2α﹣β＝90° 10. 如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)，顶点坐标为(1,n),与y轴的交点在(0,2),(0,3)之间（包含端点).有下列结论:①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中正确的是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①③④ 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若是一元二次方程的解，则m的值_________. 12. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是___________． 13. 若函数的图象与坐标轴有两个不同的交点，则m的值为____． 14. 一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为____________cm． 15. 如图，将绕点逆时针方向旋转到，连接，若，，则图中阴影部分面积为__________． 16. 一块含角的直角三角板和一块量角器如图摆放（三角板顶点与量角器0刻度处重合），量角器与三角板交于点，经测量知，点为中点，点为弧上一动点，则的最小值为__． 三、解答题（第17至21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，如图所示，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 19. 如图是小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度直尺在给定网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图1，将绕点O逆时针旋转得，画出； （2）如图2，请画出的角平分线，交于点D． 20. 下表是二次函数自变量x与函数y的部分对应值： x … 0 3 … y … 0 3 0 … 根据上表的数值，解答下列问题： （1）求二次函数的表达式并求出被墨水涂黑那格的数据． （2）当时，直接写出函数y的最大值和最小值． 21. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时；可全部租出：若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元，同时尽可能让利居民？ 22. 如图，将矩形绕点A顺时针旋转（），得到矩形． （1）如图①，若，当点F落在延长线上时，求的长； （2）如图②，当点E在上时，连接，求证：四边形是平行四边形； 23. 已知y关于x二次函数，点P为抛物线顶点． （1）若抛物线与y轴的交点坐标为点，求该二次函数的表达式； （2）当P点的纵坐标取最大值时，______，此时P点坐标为______； （3）在（2）的条件下，当，函数有最小值9，求n的值． 24. 定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏等三角形． （1）如图1，点C是的中点，是所对的圆周角，，连结，试说明与是偏等三角形． （2）如图2，与是偏等三角形，其中，则　 　.请填写结论，并说明理由． （3）如图3，内接于，，若点D在上，且与是偏等三角形，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年九年级上数学期中测试题 （时间120分钟，总分120分） 一、单选题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，中心对称图形的识别，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据轴对称图形的意义，中心对称图形的意义，对四个图形逐一分析，再作判断． 【详解】解：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合； 不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合； 既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合； 不轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合， 故选：C． 2. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程定义逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、，不是整式方程，故此方程不是一元二次方程，不符合题意； B、，含有两个未知数，并且未知数的最高次数不是二次，故此方程不是一元二次方程，不符合题意； C、，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，还是整式方程，故此方程是一元二次方程，符合题意； D、，未知数的最高次数不是2次，故此方程不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，化简后，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程，熟练掌握此定义是解此题的关键． 3. 抛物线的顶点坐标是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数顶点式中的顶点坐标是解题的关键． 利用顶点式可直接得到抛物线的顶点坐标． 【详解】解：抛物线解析式为， 即， 顶点坐标为． 故选：A． 4. 关于x的一元二次方程有实数根，则满足（　　） A. B. C. ，且 D. ，且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义及根的判别式可得且，解不等式即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由题意得，且， 解得且， 故选：． 5. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到（A、B分别与、对应），则的度数为（ ） A. 如 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质可得，再由角的和差关系即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∵， ∴， 故选：D． 6. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝115°，则∠BOD的度数为（ 　） A. 110° B. 120° C. 130° D. 140° 【答案】C 【解析】 【分析】由∠A=115°，根据圆的内接四边四边形的性质求得∠BCD的度数，又由同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半继而求得∠BOD的度数． 【详解】解：∵ ∠A=115° ∴ ∠BCD=180°-∠A=65°， ∴∠BOD=2∠BCD=130°． 故选C． 【点睛】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半与圆内接四边形的对角互补定理的应用． 7. 若二次函数的图象经过点，，，则y1，y2，y3的大小关系正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把，，代入二次函数中，比较，，即可． 【详解】∵点，，经过 ∴当时，； 当时，； 当时，； ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握点在函数图象上的点． 8. 已知二次函数图象上部分点的坐标的对应值如表所示： … 0 6 … … 0.39 0.39 … 则方程的解是（ ） A. 0或6 B. 或 C. 或6 D. 无实数解 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，能够将二次函数图象与x轴的交点问题转化为解一元二次方程问题是解题的关键．先根据二次函数的图象和性质得出和其对称轴，再表示出抛物线经过点和，再将可变形为，求解即可． 【详解】由表得，图象过可得， ∵抛物线经过，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线经过点， ∴抛物线经过点， ∴可变形为， ∴方程的解是或， 故选：B． 9. 如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（　　） A. 3α+β＝180° B. 2α+β＝180° C. 3α﹣β＝90° D. 2α﹣β＝90° 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余性质，用α表示∠CBD，进而由圆心角与圆周角关系，用α表示∠COD，最后由角的和差关系得结果． 【详解】解：∵OA⊥BC， ∴∠AOB＝∠AOC＝90°， ∴∠DBC＝90°﹣∠BEO ＝90°﹣∠AED ＝90°﹣α， ∴∠COD＝2∠DBC ＝180°﹣2α， ∵∠AOD+∠COD＝90°， ∴β+180°﹣2α＝90°， ∴2α﹣β＝90°， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的两个锐角互余的关系，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键． 10. 如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)，顶点坐标为(1,n),与y轴的交点在(0,2),(0,3)之间（包含端点).有下列结论:①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中正确的是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），对称轴直线是x=1， ∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）， ∴根据图示知，当x＞3时，y＜0． 故①正确； ②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0． ∵对称轴x=−=1， ∴b=-2a， ∴3a+b=3a-2a=a＜0，即3a+b＜0． 故②错误； ③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（-1，0），（3，0）， ∴-1×3=-3， =-3，则a=−． ∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）， ∴2≤c≤3， ∴-1≤−≤−，即-1≤a≤−． 故③正确； ④根据题意知，a=−，−=1， ∴b=-2a=c， ∴n=a+b+c=c． ∵2≤c≤3， ≤c≤4，≤n≤4． 故④正确． 综上所述，正确的说法有①③④． 故选D． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若是一元二次方程的解，则m的值_________. 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 把代入方程即可求解． 【详解】解：将代入得，， 解得， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两个点，横、纵坐标互为相反数，进行解答即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的两个点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握关于原点对称的两个点，横、纵坐标互为相反数． 13. 若函数的图象与坐标轴有两个不同的交点，则m的值为____． 【答案】-2或-1或0或1 【解析】 【分析】由题意函数与坐标轴有两个交点，要分两种情况：①函数为一次函数时；②函数为二次函数，分两种情况进行讨论，即当抛物线经过原点时，此时抛物线与x轴还有一个除原点以外的交点；若抛物线不经过原点，则抛物线必与x轴有一个交点，此时Δ=0，求出m的值即可． 【详解】解：∵函数的图象与坐标轴有两个不同的交点， ①当函数为一次函数时，则m+1=0 即m=-1， 此时y=-2x-，与坐标轴有两个交点； ②当函数为二次函数时m+1≠0，即m≠-1，分两种情况： 当抛物线经过原点时，y==0，即m=0， 此时=x(x-2)， 则一个交点在原点，与x轴的另一个交点为(2，0)； 当抛物线不经过原点时，△=（-2）2-4×(m+1)×m=0， 解得：m=-2或1． 综上，m=-1或0或-2或1时，函数与坐标轴有两个交点， 故答案为：-2或-1或0或1． 【点睛】此题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，若方程无根说明函数与x轴无交点，其图象在x轴上方或下方，两者互相转化，要充分运用这一点来解题． 14. 一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为____________cm． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，由垂径定理求出的长，设，由勾股定理得到，求出x的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，，过圆心O，连接， ∴ ∵， ∴， ∴，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴纸杯的直径为． 故答案为：5． 15. 如图，将绕点逆时针方向旋转到，连接，若，，则图中阴影部分面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，延长交于点E，求出，证明是等边三角形． 垂直平分，得，，由，得，即得． 【详解】解：如图，连接，延长交于点E， ∵，． ∴． 由旋转知，，， ∴是等边三角形． ∴． ∴点在的垂直平分线上． ∵， ∴点C在的垂直平分线上， ∴垂直平分． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形旋转．熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，三角形面积公式，添加辅助线，是解题的关键． 16. 一块含角的直角三角板和一块量角器如图摆放（三角板顶点与量角器0刻度处重合），量角器与三角板交于点，经测量知，点为中点，点为弧上一动点，则的最小值为__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点到圆上的最值问题，等腰三角形的判定与性质，勾股定理及垂径定理，设量角器刻度处为点G，为半圆的直径，设的中点为O，则点O为圆心，连接，证明为等腰直角三角形，当点O，E，F在一条直线上时，取得最小值，即可解答． 【详解】解：设量角器刻度处为点G，则为半圆的直径，设的中点为O，则点O为圆心，连接，如图， 点为中点，， ，， ，， 为等腰直角三角形， ， ， 点为弧上一动点， 当点O，E，F在一条直线上时，取得最小值，最小值为． 故答案为：． 三、解答题（第17至21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解法主要包括：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 配方，得，即， 开方得， 解得； 【小问2详解】 解：， 移项，得， 因式分解，得， 于是得， 解得． 18. 如图，如图所示，是一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理以及垂径定理和勾股定理； （1）根据垂径定理得到，然后利用圆周角定理得到； （2）根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，又， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，即． 19. 如图是小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度直尺在给定网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图1，将绕点O逆时针旋转得，画出； （2）如图2，请画出的角平分线，交于点D． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查了作图—旋转变换，角平分线的性质，圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先连接、、，再将、、分别旋转得到、、，最后依次连接、、，即可求解； （2）先过O点作，交于D点，作射线，则射线即为的角平分线． 【小问1详解】 解：如图1，即为所作； 【小问2详解】 解：如图，射线即为所作. 20. 下表是二次函数自变量x与函数y的部分对应值： x … 0 3 … y … 0 3 0 … 根据上表的数值，解答下列问题： （1）求二次函数的表达式并求出被墨水涂黑那格的数据． （2）当时，直接写出函数y的最大值和最小值． 【答案】（1），表中被墨水涂黑的那格数据为 （2）最小值：，最大值：4 【解析】 【分析】本题主要考查了通过列表求二次函数的解析式，通过解析式求函数值，解题的关键是利用特殊值和待定系数法求解析式． （1）利用特殊值假设出二次函数的两点式，再利用待定系数法求解析式，最后通过函数解析式求函数值即可； （2）将解析式化为顶点式，进而计算即可． 【小问1详解】 解：由表观察可知：当或时，； 当时，， ∴设， 把代入得，，解得：， ∴； ∴把代入得． ∴表中被墨水涂黑的那格数据为； 【小问2详解】 解：， 可知当时，有最大值4， 当时，， 当时，， 即最小值：，最大值：4． 21. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时；可全部租出：若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元，同时尽可能让利居民？ 【答案】（1）道路的宽为米； （2）每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元． 【解析】 【分析】（）由题意知，道路的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程，解答并检验即可； （）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，根据“月租金每个车位的月租金车位数”，列出方程并解答即可； 本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据道路的宽为米， 根据题意得，， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米； 【小问2详解】 解：设月租金上涨元，停车场月租金收入为元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵尽可能让利居民， ∴， 答：每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元． 22. 如图，将矩形绕点A顺时针旋转（），得到矩形． （1）如图①，若，当点F落在的延长线上时，求的长； （2）如图②，当点E在上时，连接，求证：四边形是平行四边形； 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定、旋转的性质、勾股定理及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题关键， （1）先求出，，根据勾股定理得出，进而求出结论； （2）连接，先证明，再证明，进而证明四边形是平行四边形即可． 【小问1详解】 解：将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形， ，，， ， ； 【小问2详解】 证明：连接，如图， 四边形是矩形， ， 根据旋转可得， ， 将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 23. 已知y关于x的二次函数，点P为抛物线顶点． （1）若抛物线与y轴的交点坐标为点，求该二次函数的表达式； （2）当P点的纵坐标取最大值时，______，此时P点坐标为______； （3）在（2）的条件下，当，函数有最小值9，求n的值． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）将一般式转化为顶点式，再利用配方法求纵坐标的最值即可得解； （3），函数有最小值9，判断与对称轴的位置关系，再根据二次函数的图象和性质，进行求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线与y轴的交点坐标为点， 则：，解得：， ∴； 【小问2详解】 解：； ∴ ∵， ∴时， P点的纵坐标取最大值：5， ∴； 故答案为：，； 【小问3详解】 解：∵， ∴； ∵，对称轴为， ∴抛物线开口向上，在对称轴的左侧，随值的增大而减小，在对称轴的右侧，随值的增大而增大， ∵当，函数有最小值9，， ∴在对称轴的同侧； ①在对称轴的左侧，即：时， 当时，函数有最小值：， 解得：或（舍）； ②在对称轴的右侧，即：，时， 当时，函数有最小值：， 解得：或（舍）； 综上：当或时，函数有最小值9． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 24. 定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏等三角形． （1）如图1，点C是的中点，是所对的圆周角，，连结，试说明与是偏等三角形． （2）如图2，与是偏等三角形，其中，则　 　.请填写结论，并说明理由． （3）如图3，内接于，，若点D在上，且与是偏等三角形，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3）的值为4或 【解析】 【分析】（1）由题意得，从而得到结论； （2）在上截取，连接，证明，由全等三角形的性质得到，，证出，则可得出结论； （3）分两种情况：①当时，求出；②当时，过点D作于点E，由直角三角形的性质可得出答案． 【小问1详解】 ∵点C是的中点， ∴， 又∵， ∴与是偏等三角形． 【小问2详解】 ，理由如下： 如图，在上截取，连接， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 【小问3详解】 分类讨论：①当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴符合题意， ∴； ②当时，如图， 过点D作于点E， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∴符合题意， 设，则， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 综上，的值为4或． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，学会添加常用的辅助线，构造全等三角形解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $