第02讲 一元一次方程及其解法（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版新教材）

第02讲 一元一次方程及其解法 知识点1：解一元一次方程 解一元一次方程的步骤： 1. 去分母 两边同乘最简公分母 2.去括号 （1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号 （2）乘法分配律应满足分配到每一项 注意 ：特别是去掉括号，符合变化 3.移项 （1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边； （2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ． 4. 合并同类项 （1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax b ”的形式（ a  0 ）； （2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变． 5. 系数化为 1 （1）定义： 方程两边同除以未知数的系数 a ，得 ； （2）注意：分子、分母不能颠倒 【题型一 解一元一次方程】 【典例1】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）移项，合并同类项，的系数化为，即可得到答案； （2）去括号，移项，合并同类项，的系数化为，即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题的关键是掌握去括号、移项、合并同类项、系数化为1的常规步骤，确保每一步变形符合等式的基本性质． （1）先将含未知数的项移到左边、常数项移到右边，再合并同类项，最后将未知数系数化为1； （2）先移项使含未知数的项集中在左边、常数项在右边，再合并同类项，最后系数化为1； （3）先去括号消除括号结构，再按移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解． 【详解】（1）解： 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 （2）解： 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 （3）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 【变式2】解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤并灵活运用是解题的关键． （1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 【详解】（1）解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得； （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式3】解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程． （1）根据去分母， 移项，合并同类项， 系数化为1即可求解． （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项， 系数化为1即可求解． （3）根据去分母，去括号，移项，合并同类项， 系数化为1即可求解． （4）根据去分母，去括号，移项，合并同类项， 系数化为1即可求解． 【详解】（1）解： 去分母得：， 移项，合并同类项：， 系数化为1：． （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1：． （3）解：     去分母得： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1：． （4）解：， 去分母得： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1：． 【题型二 一元一次方程的整数解问题】 【典例2】已知关于的一元一次方程，其中为整数 (1)当时，求方程的解 (2)若该方程有整数解，求的值 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）将代入关于的一元一次方程，得到，解得； （2）当时，解关于的一元一次方程得到，根据该方程有整数解，，当取及时才能满足题意，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：关于的一元一次方程， 当时，， 即， 解得； （2）解：关于的一元一次方程有整数解， 当时，， 当取、时才能使该方程有整数解为整数， 或或或． 【点睛】本题考查一元一次方程综合，涉及一元一次方程的解、一元一次方程的定义及解一元一次方程，正确掌握解一元一次方程的方法步骤、掌握由一元一次方程的整数解求参数是解决问题的关键． 【变式1】k是一个正整数，关于的一元一次方程有正整数解，则 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了根据一元一次方程的解的情况求字母的值，先求出一元一次方程的解，然后根据一元一次方程有正整数解确定的取值即可，正确求出一元一次方程的解是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程有正整数解， ∴， ∴， ∴或或， ∴或或， 故答案为：或或． 【变式2】关于的一元一次方程，其中是正整数．若方程有正整数解，求的值． 【答案】 【分析】把看成常数，解方程，再根据方程有正整数解，求出即可． 【详解】解：解方程， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 两边同除以3，得． ∵是正整数，方程有正整数解， ∴． 【点睛】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键． 【变式3】关于的一元一次方程，其中是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求的值． 【答案】(1)； (2)1或4 【分析】此题考查解一元一次方程，一元一次方程的特殊值的解法，（2）是难点，根据m的所有可能值代入计算可得到答案． （1）将m的值代入计算求解即可； （2）解方程得，根据m是正整数，得是3的倍数，根据方程有正整数解确定m的可能值． 【详解】（1）将代入方程， 得， ∴， ∴， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∵m是正整数，且是3的倍数，方程有正整数解， ∴或． 【题型三 根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】 【典例3】已知关于x的方程的解比的解小5，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． 分别求出两个方程的解，然后根据两个方程解的关系得到关于m的方程，由此求解即可． 【详解】解：方程， 去括号得， 移项合并同类项得， 解得：， ∵关于x的方程的解比的解小5， 因此方程的解为， 将代入，得， 解得：． 【变式1】如果关于的方程的解与方程的解相同，那么的值为 ． 【答案】 【分析】先根据等式的性质求出方程的解，再把代入方程，即可求出． 【详解】解： 的解与方程的解相同 把代入得： . 故答案为：. 【点睛】本题考查了同解方程以及一元一次方程的解法，解题关键是先求出已知方程的解，再利用 “同解” 的条件代入含参数的方程求解参数. 【变式2】关于x的方程与的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次方程，相反数的定义，根据题意得出关于的一元一次方程的是解题关键．先解关于x的方程，再根据两个方程的解互为相反数，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：解方程得：， 与的解互为相反数， ， 解得． 【变式3】若是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若该方程与关于x的方程的解互为倒数，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义、一元一次方程的解的定义，解一元一次方程． （1）依据一元一次方程的定义可得到，且，然后求解即可； （2）由（1）可得方程为，即可求出它的解，将该解的倒数代入方程即可解答． 【详解】（1）解： 是关于x的一元一次方程 ∴， 解得：， ； （2）解：由（1）得，方程为：， 解得：， 该方程与关于x的方程的解互为倒数， 则是方程的解， ， 解得：． 【题型四 错解一元一次方程的问题】 【典例4】在解关于的方程时，小华同学在去分母时忘记方程右边的也要乘12，从而得到该方程的解是（小华同学其它过程都正确）．你能得到该方程的正确解吗？请写出你的解答过程． 【答案】，过程见解析 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解与一元一次方程的关系是解题的关键．先根据题意求出k的值，再代入，利用去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1的过程求解即可． 【详解】解：小华同学在去分母时忘记方程右边的也要乘12， 则原方程变为， 该方程的解是， ， 解得：， 关于的方程， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：． 【变式1】小艺在解关于x的方程时，误将看作，得出方程的解为． (1)请帮小艺求出c的值． (2)请帮小艺求出方程正确的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查方程的解． （1）把代入错误方程中计算即可求出c的值； （2）把c的值代入方程，求出解即可． 【详解】（1）解：把代入看错的方程中， 得， 解得； （2）解：把代入原方程，得． 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得． 【变式2】关于的一元一次方程．小明在去分母时，没有将方程右边的项“”乘以，因而求得解为． (1)试求的值； (2)求出原方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，解题的关键是掌握相关知识． （1）按小明的错误解法将代入求解即可求出的值； （2）由（1）可知原方程为，根据去分母、去括号、合并同类项、化系数为1，求解即可．． 【详解】（1）解：根据题意是方程的解， 将代入得： ； （2）由（1）知， 原方程为， ． 【变式3】小李同学在解关于x的一元一次方程去分母时，方程右边的1漏乘了3，因而求得方程的解为，请你帮助小李同学求出a的值，并求出原方程正确的解． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元一次方程及一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 先根据错误的方法解得的值，将的值代入原方程得，再根据解一元一次方程的一般步骤即可求解， 【详解】解：根据错误的去分母得：， 将代入得：， 解得：， 则原方程为：， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：． ∴方程正确的解为． 【题型五 一元一次方程的解在新定义中运用】 【典例5】现定义一种新运算“☆”：对于任意有理数a，b，有．例如：．求 (1)的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查含乘方有理数的混合运算、新定义，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键． （1）根据，可以计算出所求式子的值； （2）先根据，表达出，最后可以计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：根据题意得， ； （2）解：∵ ， 又∵， ∴， 解得． 【变式1】定义一种新运算“”：．例如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，解一元一次方程等知识点，读懂题意，根据题中定义的新运算正确列出算式或方程是解题的关键． （1）依题意得，，然后按照含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可——先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减； （2）由可得，整理得，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：依题意得： ； （2）解：， ， 整理，得：， 解得：， 的值为． 【变式2】定义一种新运算“”：，例如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解． （1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）已知等式利用题中的新定义计算，求出解即可得到的值． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 【变式3】用“”定义一种新运算，规则如下：． (1)计算：______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，有理数混合运算及新定义，解题的关键是理解新定义． （1）根据新定义可得，据此计算求解即可； （2）根据新定义可得，解方程即可得求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． 故答案为：． （2）解： 解得：． 一、单选题 1．下列方程中，属于一元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的定义，理解掌握定义是解答的关键． 根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程，逐一判断各选项即可． 【详解】解： A：含有两个未知数x和y，故选项不符合题意； B：方程中含分式，不是整式方程，故选项不符合题意； C：只含未知数x，且x的次数为1，等式两边均为整式，符合定义，故选项符合题意； D：未知数x的最高次数为2，故选项不符合题意． 故选：C． 2．若代数式与的值相等，则x的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 根据题意得： ，根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：∵代数式与的值相等， ∴ ， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 故选：D． 3．解方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，方程两边乘以6去分母得到结果，即可作出判断． 【详解】解： 方程左右两边同时乘以6，得：， 故选D. 4．方程的解是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了方程的求解，将方程移项、求解未知数即可. 【详解】解：移项得，， 解得， 故选：B． 5.某书中有一个方程，■处在印刷时被墨盖住了．若已知书后的答案为，则■处的数字应是（   ） A．7 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，把代入原方程，得到关于■的一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：∵是方程的解， ∴ ∴ ∴， 解得： ， 故选B. 6．代数式与的值互为相反数，则m的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数，解一元一次方程等知识，根据相反数的定义列出关于m的一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：， 去分母得： 去括号得： 移项，合并同类项得：， 化系数为1：， 故选B． 二、填空题 7．若关于的方程有正整数解，则整数的值为 ． 【答案】1或3 【分析】本题考查的是一元一次方程的正整数解，先解方程可得，再根据正整数解的含义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 当时， ∴． ∵原方程有正整数解，且为整数， ∴或3． 故答案为：1或3 8．关于的一元一次方程的解是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键．将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解是， ∴， 解得， 故答案为：． 9．若与互为相反数，则 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数的定义，解一元一次方程，熟练掌握相反数定义，是解题的关键．根据相反数定义列出方程，解方程即可． 【详解】解：因为与互为相反数，所以， 即， 解得：． 故答案为：． 10．方程的解为 【答案】5 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可得到答案． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 故答案为：5． 11．若代数式和1互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数． 根据相反数相加等于0列方程求解即可． 【详解】解：∵代数式和1互为相反数， ∴， 解得：． 故答案为：． 12．已知，，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查绝对值方程的求解．根据绝对值的定义求出x可能的值，再根据y的值和确定x的取值，代入即可求解． 【详解】解：，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 13．若关于x的方程的解是，则a的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，解题的关键是能得出关于的一元一次方程． 把代入方程，即可得出一个关于的一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：把代入方程， 得． 去分母，得． 移项、合并同类项，得． 故答案为：． 14．定义，如果，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题中所给新定义运算列出方程，然后进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：； 故答案为：2． 三、解答题 15．方程与解的关系 关于的方程与的解互为相反数． (1)求的值； (2)求这两个方程的解． 【答案】(1)1 (2)第一个方程解为，第二个方程解为 【分析】本题考查了一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． （1）先分别解关于x的一次方程得到和，再利用相反数的定义得到，然后解关于m的方程即可； （2）把m的值分别代入和中得到两方程的解． 【详解】（1）解：解第一个方程得：， 解第二个方程：， 因为两方程的解互为相反数，则有：， 解得； （2）解：第一个方程解为：， 第二个方程解为：． 16．已知数轴上A、B两点表示的数分别为和3，点P为数轴上一动点，其表示的数为x． (1)A、B两点之间的距离是多少？ (2)若点P到A、B两点的距离相等，求x的值． (3)当点P到A点的距离为6时，求点P到B点的距离． 【答案】(1) (2) (3)14或2 【分析】该题成立两点之间的距离，一元一次方程等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可． （2）根据点P到A、B两点的距离相等，列方程求解即可． （3）分为①当点P在A左侧时，②当点P在A右侧时，分别求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：， 解得：． （3）解：①当点P在A左侧时，， 点P到B点的距离为：； ②当点P在A右侧时，， 点P到B点的距离为：， 综上所述：当点P到A点的距离为6时，点P到B点的距离为14或2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 一元一次方程及其解法 知识点1：解一元一次方程 解一元一次方程的步骤： 1. 去分母 两边同乘最简公分母 2.去括号 （1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号 （2）乘法分配律应满足分配到每一项 注意 ：特别是去掉括号，符合变化 3.移项 （1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边； （2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ． 4. 合并同类项 （1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax b ”的形式（ a  0 ）； （2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变． 5. 系数化为 1 （1）定义： 方程两边同除以未知数的系数 a ，得 ； （2）注意：分子、分母不能颠倒 【题型一 解一元一次方程】 【典例1】解方程： (1)； (2)． 【变式1】解下列方程： (1) ； (2)； (3)． 【变式2】解方程： (1) (2) 【变式3】解下列方程： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【题型二 一元一次方程的整数解问题】 【典例2】已知关于的一元一次方程，其中为整数 (1)当时，求方程的解 (2)若该方程有整数解，求的值 【变式1】k是一个正整数，关于的一元一次方程有正整数解，则 ． 【变式2】关于的一元一次方程，其中是正整数．若方程有正整数解，求的值． 【变式3】关于的一元一次方程，其中是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求的值． 【题型三 根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】 【典例3】已知关于x的方程的解比的解小5，求m的值． 【变式1】如果关于的方程的解与方程的解相同，那么的值为 ． 【变式2】关于x的方程与的解互为相反数，求的值． 【变式3】若是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若该方程与关于x的方程的解互为倒数，求k的值． 【题型四 错解一元一次方程的问题】 【典例4】在解关于的方程时，小华同学在去分母时忘记方程右边的也要乘12，从而得到该方程的解是（小华同学其它过程都正确）．你能得到该方程的正确解吗？请写出你的解答过程． 【变式1】小艺在解关于x的方程时，误将看作，得出方程的解为． (1)请帮小艺求出c的值． (2)请帮小艺求出方程正确的解． 【变式2】关于的一元一次方程．小明在去分母时，没有将方程右边的项“”乘以，因而求得解为． (1)试求的值； (2)求出原方程的解． 【变式3】小李同学在解关于x的一元一次方程去分母时，方程右边的1漏乘了3，因而求得方程的解为，请你帮助小李同学求出a的值，并求出原方程正确的解． 【题型五 一元一次方程的解在新定义中运用】 【典例5】现定义一种新运算“☆”：对于任意有理数a，b，有．例如：．求 (1)的值； (2)若，求x的值． 【变式1】定义一种新运算“”：．例如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【变式2】定义一种新运算“”：，例如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【变式3】用“”定义一种新运算，规则如下：． (1)计算：______； (2)若，求的值． 一、单选题 1．下列方程中，属于一元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．若代数式与的值相等，则x的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 3．解方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 4．方程的解是(   ) A． B． C． D． 5.某书中有一个方程，■处在印刷时被墨盖住了．若已知书后的答案为，则■处的数字应是（   ） A．7 B．5 C． D． 6．代数式与的值互为相反数，则m的值为（   ） A． B． C． D．1 二、填空题 7．若关于的方程有正整数解，则整数的值为 ． 8．关于的一元一次方程的解是，则的值为 ． 9．若与互为相反数，则 10．方程的解为 11．若代数式和1互为相反数，则 ． 12．已知，，，则 ． 13．若关于x的方程的解是，则a的值为 ． 14．定义，如果，则 ． 三、解答题 15．方程与解的关系 关于的方程与的解互为相反数． (1)求的值； (2)求这两个方程的解． 16．已知数轴上A、B两点表示的数分别为和3，点P为数轴上一动点，其表示的数为x． (1)A、B两点之间的距离是多少？ (2)若点P到A、B两点的距离相等，求x的值． (3)当点P到A点的距离为6时，求点P到B点的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $