专题06 函数的奇偶性，对称性和周期性综合题型（压轴专题训练）-2025-2026学年高一数学高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）

专题06 函数的奇偶性，对称性和周期性综合题型 【题型1：奇偶性与周期性】 【题型2：奇偶性与对称性】 【题型3：奇偶性，周期性和对称性】 【题型1：奇偶性与周期性】 1．设为定义在上的奇函数，且满足，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由题意可得函数周期性，再结合奇函数性质与周期函数性质计算即可得解. 【详解】由为定义在上的奇函数，则， 则，， 由，则， 即有，则有， 故以为周期，故， 则. 故选：A. 2．已知定义在上的函数满足为奇函数，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先根据题设得到函数为周期函数，4是该函数的一个周期，进而利用赋值法求解即可. 【详解】由，则， 所以，则函数为周期函数，4是该函数的一个周期， 又为奇函数，所以，则， 令，得，即，则， 由， 令，得， 令，得， 所以. 故选：D 3．已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由条件结合奇函数性质可得，结合周期函数性质可得，故，再利用条件求可得结论. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以，所以， 因为函数是定义在上且周期为的函数， 所以，所以， 所以， 因为当时，， 所以， 所以， 故选：A. 4．已知函数的定义域为为偶函数，且，则（   ） A．47 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据题意可得函数是周期函数，用赋值法可求得，利用周期函数的性质即可得到结果. 【详解】因为函数的定义域为,且所以，且，即. 因为函数为偶函数，所以. 所以，所以函数是周期为4的周期函数. 所以. 故 故选：C. 5．已知函数是周期为2的奇函数，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】先由题意求得，再由奇函数性质即可求解. 【详解】由题函数是周期为2的奇函数，且， 所以. 故选：A 6．已知定义在上的函数满足，，当时，，则等于（   ）． A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据已知可得得，结合奇函数性质得，即可得. 【详解】由已知可得，函数为R上的奇函数，且周期. 则，又， 所以，则. 故选：A. 7．已知是偶函数，且，当时，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用偶函数、周期函数的性质得，再代入已知解析式求函数值. 【详解】由题设. 故选：B 8．设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用题设条件推出是函数的一个周期，结合求出，再利用函数的周期性即可求得的值. 【详解】因为奇函数，则，又因为偶函数，则， 则有，故得，即得， 故是函数的一个周期. 又为上的奇函数，故，解得， 则. 故选：C. 9．已知函数满足对任意实数都有，且当时，则（    ） A． B． C．-1 D．1 【答案】A 【分析】利用双对称函数可推导出周期性，然后即可赋值求解. 【详解】由可得：， 又因为，所以， 则有，即函数的周期为2， 则， 故选：A. 10．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则 ； . 【答案】 【分析】由奇函数定义在上，结合奇函数性质，则代入可得；结合可推得周期为，根据奇函数、周期性以及的解析式求解即可. 【详解】由于是定义在上的奇函数，则， 代入得，得； 由于，得，代入得， 由，得， 则， 则， 故； 故答案为：①0；②. 11．设函数是上的奇函数，且关于直线对称，，则 ；的值为 . 【答案】 0 1 【分析】根据题干求出函数的周期，然后根据周期函数的性质即可求解. 【详解】因为是上的奇函数，所以，①， 又因为关于对称，所以②， 联立①②可得，即，用替换得，， 所以，所以是周期为4的周期函数. ，，，所以， 故，. 故答案为：0；1 12．已知是定义域为的奇函数，若为偶函数，，则的值为 . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性，即可求得函数的周期，利用函数的周期性，即可求得函数值． 【详解】∵为偶函数，∴， 又是定义域为的奇函数，∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是一个周期为20的周期函数， ∴， ， ∴． 故答案为：． 【题型2：奇偶性与对称性】 1．已知函数的定义域为，且在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对称性及单调性求解函数不等式. 【详解】由函数的定义域为，得函数的图象关于直线对称， 又函数在上单调递减，则不等式， 即，解得，所以所求不等式的解集为. 故选：D 2．定义在上的函数图象关于直线对称，在单调递减，若且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，再结合在区间上单调递增，即可求解. 【详解】由，则得， 因为，所以， 又函数图象关于直线对称，在单调递减，所以在区间上单调递增， 所以，故B正确. 故选：B. 3．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知关于对称，，再由在上单调递增可判断大小关系. 【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，所以对，， 所以关于直线对称，所以， 又因为在上单调递增，所以. 故选：B 4．已知函数满足为奇函数，为偶函数，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，分析函数的性质，再逐项判断. 【详解】函数的定义域为， 由是偶函数，得， 即，得函数的图象关于对称 由为奇函数，得， 得函数的图象关于点对称，所以， 由，令，得，故A项正确； 由函数的图象关于点对称，得，但无法判断，故B，C两项错误； 由，令，得， 由，令，得，得，则也无法判断，故D项错误． 故选：A 5．已知函数的定义域为，且满足为偶函数，当时，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过分析得的周期为4，的图象关于点对称，当时，，结合即可求解. 【详解】因为，所以①， 则函数的图象关于点对称． 因为为偶函数，所以②， 则函数的图象关于直线对称． 由①②得，则，故的周期为4， 所以． 由，令，得，即③． 已知，由函数的图象关于直线对称，得． 又函数的图象关于点对称，得， 所以，即，所以④． 联立③④解得，故当时，． 由的图象关于点对称， 可得． 故选：A． 6．多选题已知函数和的定义域均为R，为奇函数，为偶函数，，则（   ） A． B． C． D．的图象关于直线对称 【答案】BCD 【分析】由为奇函数，令，可判断B，由，令可判断A，由是偶函数，通过方程组法可判断C，由对称性的概念可判断D. 【详解】由为奇函数，得， 令，得，B正确． 对于， 令，得，A错误． 因为是偶函数，所以， 对于，以代替x得①， 则②，所以，C正确． ①与②相减得， 即，则的图象关于直线对称，D正确． 故选：BCD 7．多选题已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用对称性将自变量变换到区间内，再根据单调性比较大小即可得解. 【详解】因为的图象关于直线对称， 所以， ， 又因为在区间上单调递增，且， 所以， 所以， 所以和正确； 故选：BD 【题型3：奇偶性，周期性和对称性】 1．是定义在上的奇函数，且关于直线对称，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据函数是定义在上的奇函数且关于直线对称可证明出是周期为的周期函数，然后利用函数的周期性和奇偶性即可求出. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以①， 又关于直线对称，所以②， 联立①②可得，即③， 把用替换可得④， 联立③④可得，所以是周期为的周期函数， 所以. 故选：C 2．已知函数的定义域为，函数是偶函数，函数的图象关于直线对称，若当时，，则（ ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用为偶函数和的图象关于直线对称得依次得到和，进而求出函数是周期为6的周期函数，根据周期性即可分析求解. 【详解】因为为偶函数，所以，即， 故的图象关于直线对称， 由的图象关于直线对称得 ， 即对任意恒成立，则， 所以图象关于点对称， 又，所以，即， 所以，所以是周期为6的周期函数， 又当时，的图象关于直线对称， 所以当时，， 所以，， 所以， 所以 ． 故选：C 3．多选题若函数是定义域为的奇函数，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的图象关于点中心对称 D．的图象关于直线对称 【答案】ACD 【分析】令，代入计算，可判断A的正误；根据是定义域为的奇函数，可得，对x赋值2和4，计算即可判断B的正误；由条件，分析化简，根据对称性的性质，即可判断C、D的正误；即可得答案. 【详解】选项A：因为，， 令，则，故A正确； 选项B：因为是定义域为的奇函数， 所以，令，得， 令，得， 所以，故B错误； 选项C：因为， 所以， 所以的图象关于点中心对称，故C正确； 选项D：因为，即， 所以的图象关于直线对称，故D正确. 故选：ACD 4．多选题已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数奇偶性以及表达式，可得，则的图象关于点对称，故A错误；化简可得，故B正确；又，，可得，故C错误；利用赋值法可求得，故D正确． 【详解】对于A，由题意，，且， 又，即①， 用替换中的，得②， 由①+②得，所以的图象关于点对称，故A错误； 对于B，由，可得， 即， 所以， 所以是以8为周期的周期函数，故B正确； 对于C，由①可得，且， 则， 所以，故C错误； 对于D，因为，为偶函数，所以， 令，则有， 令，则有， 令，则有， ， 令，则有， 所以 ，故D正确． 故选：BD． 5．多选题已知是定义在上的奇函数，图象关于对称，且当时，单调递减，则下列说法正确的有（ ） A． B． C．在区间上单调递减 D． 【答案】ABD 【分析】由题意可得，，进而求解判断AB；结合周期和对称性可判断出单调区间，即可判断CD. 【详解】由知是定义在上的奇函数，则，且， 又的图象关于对称，则， 令，则，故A正确； 由，得， 则，故B正确； 由为奇函数，且时，单调递减，则其在单调递减， 又图象关于对称，则在区间上的单调性与在区间的单调性相反，即在区间上单调递增，故C错误； 由，则， 故的周期为4，则在上的单调性与在上的单调性相同， 即在的单调递减，而，且， 则，故D正确. 故选：ABD 6．多选题已知函数的定义域为（不恒为0），为偶函数，则（    ） A．为偶函数 B．的图象关于点对称 C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】对A，根据条件可得，，即可求解；对B，利用A中结果，得，即可求解；对C，利用的周期性，即可求解；对D，结合条件，利用和的周期性，得，进而可得，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，所以， 两式相减，得，所以的一个周期为4， 因为为偶函数，所以，得到， 所以，因为，所以，所以为偶函数，故A正确； 对于选项B，因为， 所以的图象关于点对称，故B错误； 对于选项C，由选项A知的一个周期为4，所以， 又由，令，得到，所以，则，故C正确； 对于选项D，因为，所以，即， 则， 所以，又，所以， 又所以，故D正确． 故选：ACD． 7．已知函数是定义域为上的奇函数，满足，若，则 ． 【答案】0 【分析】利用函数的奇偶性和对称性可推出函数具有周期性，再利用恒等式进行赋值，即可计算结果. 【详解】由函数是定义域为上的奇函数，可得，， 再由可得：， 赋值可得， 由上两式可得: ，赋值可得， 再用代替得：， 由上两式可得：， 即是一个周期为的函数，因为， 所以 ， 故答案为：0 8．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数．若，则的值为 ． 【答案】4046 【分析】根据为奇函数推出，得出的图象关于点（2，2）对称；根据为偶函数，推出，得出的图象关于直线对称，综合推出为周期是4的周期函数.根据周期函数的性质，计算一个周期的函数值，从而得出结论. 【详解】由为奇函数，得， 即， 所以，即的图象关于点（2，2）对称． 由为偶函数，得， 即， 所以，所以的图象关于直线对称． 综上，， 所以为周期是4的周期函数. 因此对于,， ， ， . 所以 ． 故答案为：4046. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 函数的奇偶性，对称性和周期性综合题型 【题型1：奇偶性与周期性】 【题型2：奇偶性与对称性】 【题型3：奇偶性，周期性和对称性】 【题型1：奇偶性与周期性】 1．设为定义在上的奇函数，且满足，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．已知定义在上的函数满足为奇函数，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 3．已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D． 4．已知函数的定义域为为偶函数，且，则（   ） A．47 B． C．1 D．2 5．已知函数是周期为2的奇函数，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 6．已知定义在上的函数满足，，当时，，则等于（   ）． A．0 B．1 C．2 D． 7．已知是偶函数，且，当时，，则等于（    ） A． B． C． D． 8．设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 9．已知函数满足对任意实数都有，且当时，则（    ） A． B． C．-1 D．1 10．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则 ； . 11．设函数是上的奇函数，且关于直线对称，，则 ；的值为 . 12．已知是定义域为的奇函数，若为偶函数，，则的值为 . 【题型2：奇偶性与对称性】 1．已知函数的定义域为，且在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．定义在上的函数图象关于直线对称，在单调递减，若且，则（   ） A． B． C． D． 3．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数满足为奇函数，为偶函数，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的定义域为，且满足为偶函数，当时，，若，则（   ） A． B． C． D． 6．多选题已知函数和的定义域均为R，为奇函数，为偶函数，，则（   ） A． B． C． D．的图象关于直线对称 7．多选题已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【题型3：奇偶性，周期性和对称性】 1．是定义在上的奇函数，且关于直线对称，当时，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为，函数是偶函数，函数的图象关于直线对称，若当时，，则（ ） A．－1 B．0 C．1 D．2 3．多选题若函数是定义域为的奇函数，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的图象关于点中心对称 D．的图象关于直线对称 4．多选题已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 5．多选题已知是定义在上的奇函数，图象关于对称，且当时，单调递减，则下列说法正确的有（ ） A． B． C．在区间上单调递减 D． 6．多选题已知函数的定义域为（不恒为0），为偶函数，则（    ） A．为偶函数 B．的图象关于点对称 C． D．若，则 7．已知函数是定义域为上的奇函数，满足，若，则 ． 8．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数．若，则的值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $