精品解析：浙江省湖州市安吉县2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

安吉县2025学年第一学期期中学情监测 九年级数学学科试题卷 考生须知： 1．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号等个人信息用黑色签字笔准确填写在答题卡和试卷指定位置． 2．选择题答案用2B铅笔在答题卡上对应题号位置填涂，修改时用橡皮擦净． 3．非选择题必须使用黑色签字笔在答题卡每题指定的答题区域内作答，超出区域或在试卷、草稿纸上作答均无效． 4．作图题可先用2B铅笔绘出，确认后再用黑色签字笔描黑． 5．保持答题卡清洁完整，禁止使用涂改液、修正带．严禁在答题卡上做任何标记． 一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义及一般形式是解题的关键．二次函数的一般式是，其中． 根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A，是二次函数，故本项符合题意；     B，不是二次函数，故本项不符合题意；     C，不是二次函数，故本项不符合题意；     D，不是二次函数，故本项不符合题意； 故选：A． 2. 下列各事件中，是必然事件的是（ ） A. 是实数，则 B. 掷一枚硬币时，正面朝上 C. 三角形内角和是 D. 任意买一张电影票，座位号是单号 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，绝对值的非负性，三角形内角和定理，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点逐一判断即可解答． 【详解】解：、是实数，则，是不可能事件，故不符合题意； 、掷一枚硬币时，正面朝上，是随机事件，故不符合题意； 、三角形内角和是，是必然事件，故符合题意； 、任意买一张电影票，座位号是单号，是随机事件，故不符合题意； 故选：C． 3. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据二次函数的顶点式写出顶点坐标即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ， ∴ 其顶点坐标为(3，1)， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数顶点式的性质，正确理解知识点是解题的关键． 4. 已知的半径为，点到圆心的距离为，若点在圆外，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系判定规则：若点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外；已知的半径，所以当点在圆外时，． 【详解】解：∵点在外，的半径为， ∴ 故选C． 5. 将抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位得到抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线平移的法则：左加右减，上加下减即可得到答案． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位， 得到抛物线的解析式为， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，根据函数图象的平移法则：左加右减，上加下减进行平移，是解题的关键． 6. 如图，四边形内接于，为的直径，点为的中点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理得到，，根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：连接， 四边形内接于， ， ， ， 点为的中点， ， 是直径， ， ， 故选：D． 7. 为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：），则该铁球的直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，连接、相交于点D，根据垂径定理求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接、相交于点D， 由题意得，，则， 设圆的半径为，则， 在中，， 即， 解得：， 则该铁球的直径为， 故选：D． 8. 如图，将绕点顺时针旋转角，得到，若点恰好在的延长线上，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质（对应角相等、对应边相等、旋转角相等）和四边形内角和定理，运用转化思想，将的求解转化为四边形内角和的计算，解题关键是利用旋转性质得到角的等量关系，易错点是对旋转后角的位置关系理解不清；解题思路：先由旋转性质得角的等量关系，再结合平角、四边形内角和推导的度数． 【详解】解：由题意得，， ，旋转角，且；（旋转的性质）； ∵ ∴是等腰三角形，， 又∵点恰好在的延长线上， ∴（平角定义） ∵， ∴， 在四边形中，； 又∵，且； 则 解得 故选：D． 9. 如图，菱形中，与交于点，，以为圆心为半径作弧，再以为圆心，为半径作弧分别交于点，于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、扇形的面积公式、等边三角形的判定及性质，根据菱形的性质得出，，， ，求出和的长，再求出扇形的面积和的面积，即可求出答案．理解阴影部分的面积为是解题的关键． 【详解】解：四边形是菱形，， ，，， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 是等边三角形， ， ， 阴影部分的面积， 故选：A． 10. 定义：如果代数式（，，，是常数）与（，，，是常数），满足，，，则称这两个代数式与互为“同构式”，下列四个结论：①代数式的“同构式”为；②若代数式与互为 “同构式”，则；③若、互为“同构式”，且方程有两个不相等的实数根，则；④若、互为“同构式”，，函数的图象与直线有个交点，则．其中，正确的结论有（ ）个． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了新定义、根的判别式和二次函数的性质，正确理解新的定义是解题关键； 根据定义以及一元二次方程根的判别式、二次函数的性质分别判断即可； 【详解】解：①代数式的“同构式”为，故①正确； ②若代数式与互为“同构式”， 则， 解得：，， ，故②不正确； ③若、互为“同构式”，且方程有两个不相等的实数根， ， ， ，故③不正确； ④若、互为“同构式”，，则， 函数， ， 顶点为， 函数函数的图象与直线有个交点，则，故④不正确． 故选：D 二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分） 11. 函数的最小值是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】该题考查了二次函数的性质，该函数为二次函数，通过观察其顶点形式可直接确定最小值． 【详解】解：函数中，， 故当时，函数的值最小， 此时， 故函数的最小值为2． 故答案为：2． 12. 若直角三角形两直角边的长分别为5和12，则此三角形的外接圆半径是______ 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理解得直角三角形的斜边长为13，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半及三角形外接圆的性质解题． 【详解】解：由题意得，该直角三角形的斜边长为=13， 直角三角形的外接圆的半径是13÷2=， 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形的性质、勾股定理、三角形外接圆的性质，掌握直角三角形外接圆半径等于斜边的一半是解题关键． 13. 在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，分式方程的应用． 根据概率公式列方程计算即可． 【详解】∵在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为， ∴， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 故答案为：． 14. 若正边形的每一个内角为，则_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了多边的内角和定理，理解多边的内角和定理是解答关键． 根据正多边形的内角和定理列出方程求解． 【详解】解：正边形的每一个内角为， 则正边形的内角和为， ， 整理得， 解得． 故答案为：10． 15. 已知：二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示，那么方程（，，，为常数）的根是________． … -1 0 1 2 3 … 0 3 4 3 0 【答案】， 【解析】 【分析】根据表格可知：点，，在二次函数图象上，则可得二次函数的对称轴为直线即，进而可根据函数的对称性可求解． 【详解】解：根据表格可知： 点，，在二次函数图象上， ∴二次函数的对称轴为即， ∴点关于对称轴的对称点为， ∴方程的根为，； 故答案为，． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 16. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=2，P是CD边上一动点，以DP为直径作⊙O于点Q，连接BQ，点P从点D出发，沿DC方向运动，当点P到达点C时，点P停止运动．在整个运动过程中，线段BQ的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，取的中点，连接，根据圆周角定理可知，则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，利用三角形三边关系即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，取的中点，连接， ∵是的直径， ∴， 由此可知，在以点为圆心，为半径的圆上运动，如图所示， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中， ， ∵， ∴当点，，三点共线时，最小，且， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，结合动点的运动与圆，三角形的性质求线段的最小值，解题的关键是利用矩形、圆、三角形的性质将点共线． 三、解答题（本题共有8小题，17-21题每小题8分，22-23题每小题10分，24题12分） 17. 已知抛物线上（是常数）经过点． （1）求二次函数解析式； （2）判断点是否在这个二次函数图象上，并说明理由． 【答案】（1） （2）不在，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法是解题的关键． （1）将点坐标代入抛物线解析式即可解决问题． （2）将点代入（1）中所求函数解析式进行验证即可． 【小问1详解】 解：将点坐标代入得， ， 解得， 所以二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：不在，理由如下： 将代入得， ， 所以点不在这个二次函数图象上． 18. 某校开展以“我和我的祖国”为主题的大合唱活动，九年级准备从小明、小东、小聪三名男生和小红、小慧两名女生中随机抽选学生担任领唱． （1）若只选一名学生担任领唱，则选中女生的概率是________． （2）若随机选出两名学生担任领唱，请用树状图或列表法求选中一男一女的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中一男一女的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：（1）只选一名学生担任领唱，则选中女生的概率是， 故答案为：； （2）画树状图得： ∵共有20种等可能的结果，选中一男一女的有12种情况， ∴选中一男一女的概率为． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，注意概率＝所求情况数与总情况数之比． 19. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，与轴的交点为，与轴的一个交点为． （1）求这个二次函数的解析式； （2）观察图象，当时，直接写出自变量的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法的应用，二次函数的顶点式，二次函数与不等式的关系等知识，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）由对称轴为直线，可设抛物线解析式为，再利用待定系数法求解； （2）利用抛物线的对称性可得抛物线与x轴的两个交点坐标，然后结合函数图象求解即可． 【小问1详解】 解：二次函数图象对称轴是直线， 设解析式为， 把点，代入解析式可得， 解得， 二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为， 由对称性可知，与轴的另一个交点为， 由图可知，当时，自变量的取值范围是． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，，把绕着点A按逆时针方向旋转得到，点B的对应点为E，点C的对应点为F． （1）在图中画出； （2）点E的坐标为 ； （3）求点C的运动路径长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查作图—旋转变换，轨迹以及弧长公式等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质和弧长公式． （1）利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点E，F即可； （2）根据点的位置确定坐标； （3）利用弧长公式求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 由（1）可得． 故答案为：． 【小问3详解】 ， 点C的运动路径的长． 21. 某食品经销商购进一种食品若干千克，成本价为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得低于成本价，且不得高于成本价的2倍．经市场调研发现，日销售量（千克）与销售单价（元）符合一次函数关系，如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）在销售过程中，当销售单价为多少元时，该经销商每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价为50元时，该经销商每天获得的利润最大，最大利润是800元 【解析】 【分析】本题考查待定系数法，二次函数解决实际问题，二次函数的性质． （1）运用待定系数法求解即可； （2）由题意，设利润为元，，根据利润单利润销售量列函数关系式，配方得顶点式求最值解题即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 该函数的图象过，， ，解得， 与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：设利润为元， 则， ，且 当时，有最大值，最大值为， 当销售单价为50元时，该经销商每天获得的利润最大，最大利润是800元． 22. 如图1，是的外角的角平分线，与的外接圆交于点． （1）若， ①求所对圆心角的度数； ②连结，，求证：是等边三角形． （2）如图2，若，，求的面积． 【答案】（1）①，②见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①利用邻补角的意义和角平分线的定义解答即可； ②利用圆周角定理，圆的内接四边形的性质和等边三角形的判定定理解答即可； （2）连接并延长交于点，连接，，利用圆周角定理，同圆的半径相等的性质得到为等腰直角三角形，可求；利用等腰三角形的判定定理以及垂径定理得到，利用等腰直角三角形的性质求得，再利用三角形的面积公式解答即可． 【小问1详解】 ①解：， ． 所对圆心角的度数； ②证明：是的外角的角平分线， ． ， ， 为圆内接四边形的外角， ， ， ， 是等边三角形； 【小问2详解】 解：连接并延长交于点，连接，，如图， 则， ， 为等腰直角三角形， ， ． 是的外角的角平分线， ， 为圆内接四边形的外角， ． ， ， ， ． ． ， ， ． ∴的面积为． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的内接四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键． 23. 已知二次函数， （1）若，求函数的对称轴和顶点坐标； （2）若函数图像向下平移1个单位，恰好与轴只有一个交点，求的值； （3）若抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，若点，是这条抛物线上不同的两点，求证：． 【答案】（1）对称轴为直线 ，顶点坐标为 （2） （3）见详解 【解析】 【分析】本题考查二次函数的对称轴、顶点坐标、平移、与 轴交点及不等式证明，运用代数运算与转化思想；关键是熟练二次函数性质及代数变形，易错点是平移后解析式错误、判别式应用不当或完全平方展开出错． （1）用对称轴公式和代入法求顶点； （2）平移后用判别式求； （3）先由条件得对称轴求，再代入点坐标整理式子，利用完全平方非负性证明． 【小问1详解】 解：当时，二次函数为， 对称轴公式为，此时，，所以； 将代入函数得； 所以顶点坐标为； 【小问2详解】 解：函数图像向下平移个单位后，解析式为 因为平移后与轴只有一个交点，所以判别式 解得； 【小问3详解】 解：的对称轴为，解得； 此时函数解析式为 ∵点，在抛物线上， ∴， 则 ∵ ∴ 又∵是不同的两点 ∴，即 ∴ 24. 如图，在中，是直径，弦，垂足为，点在上，且，连接，，． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）的长为1 【解析】 【分析】题目主要考查垂径定理，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，解一元二次方程，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据垂径定理得出，再由弧、弦之间的关系求解即可； （2）连接，根据圆周角定理，平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，再由其性质即可证明； （3）设，则，再由中位线的性质及平行四边形的性质，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：是的直径，， ． ， ， ， ． 【小问2详解】 证明：如图，连接． ． ， ∴． 是的直径， ． 是的直径，， ， ∴， 四边形为平行四边形， ， ． 【小问3详解】 解：设，则． ， 为的中位线， ． 四边形为平行四边形， ， ． ， ． 在Rt中，由勾股定理得， 即，整理得， 解得（不合题意，舍去）， 即的长为1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安吉县2025学年第一学期期中学情监测 九年级数学学科试题卷 考生须知： 1．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号等个人信息用黑色签字笔准确填写在答题卡和试卷指定位置． 2．选择题答案用2B铅笔在答题卡上对应题号位置填涂，修改时用橡皮擦净． 3．非选择题必须使用黑色签字笔在答题卡每题指定的答题区域内作答，超出区域或在试卷、草稿纸上作答均无效． 4．作图题可先用2B铅笔绘出，确认后再用黑色签字笔描黑． 5．保持答题卡清洁完整，禁止使用涂改液、修正带．严禁在答题卡上做任何标记． 一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（    ） A. B. C. D. 2. 下列各事件中，是必然事件的是（ ） A. 是实数，则 B. 掷一枚硬币时，正面朝上 C. 三角形内角和是 D. 任意买一张电影票，座位号是单号 3. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知的半径为，点到圆心的距离为，若点在圆外，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位得到抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，四边形内接于，为的直径，点为的中点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：），则该铁球的直径为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点顺时针旋转角，得到，若点恰好在的延长线上，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形中，与交于点，，以为圆心为半径作弧，再以为圆心，为半径作弧分别交于点，于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 定义：如果代数式（，，，是常数）与（，，，是常数），满足，，，则称这两个代数式与互为“同构式”，下列四个结论：①代数式的“同构式”为；②若代数式与互为 “同构式”，则；③若、互为“同构式”，且方程有两个不相等的实数根，则；④若、互为“同构式”，，函数的图象与直线有个交点，则．其中，正确的结论有（ ）个． A. B. C. D. 二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分） 11. 函数的最小值是_____． 12. 若直角三角形两直角边的长分别为5和12，则此三角形的外接圆半径是______ 13. 在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为，则_____． 14. 若正边形的每一个内角为，则_______． 15. 已知：二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示，那么方程（，，，为常数）的根是________． … -1 0 1 2 3 … 0 3 4 3 0 16. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=2，P是CD边上一动点，以DP为直径作⊙O于点Q，连接BQ，点P从点D出发，沿DC方向运动，当点P到达点C时，点P停止运动．在整个运动过程中，线段BQ的最小值为________． 三、解答题（本题共有8小题，17-21题每小题8分，22-23题每小题10分，24题12分） 17. 已知抛物线上（是常数）经过点． （1）求二次函数解析式； （2）判断点是否在这个二次函数图象上，并说明理由． 18. 某校开展以“我和我的祖国”为主题的大合唱活动，九年级准备从小明、小东、小聪三名男生和小红、小慧两名女生中随机抽选学生担任领唱． （1）若只选一名学生担任领唱，则选中女生的概率是________． （2）若随机选出两名学生担任领唱，请用树状图或列表法求选中一男一女的概率． 19. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，与轴的交点为，与轴的一个交点为． （1）求这个二次函数的解析式； （2）观察图象，当时，直接写出自变量的取值范围． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，，把绕着点A按逆时针方向旋转得到，点B的对应点为E，点C的对应点为F． （1）在图中画出； （2）点E的坐标为 ； （3）求点C的运动路径长． 21. 某食品经销商购进一种食品若干千克，成本价为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得低于成本价，且不得高于成本价的2倍．经市场调研发现，日销售量（千克）与销售单价（元）符合一次函数关系，如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）在销售过程中，当销售单价为多少元时，该经销商每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 22. 如图1，是的外角的角平分线，与的外接圆交于点． （1）若， ①求所对圆心角的度数； ②连结，，求证：是等边三角形． （2）如图2，若，，求的面积． 23. 已知二次函数， （1）若，求函数的对称轴和顶点坐标； （2）若函数图像向下平移1个单位，恰好与轴只有一个交点，求的值； （3）若抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，若点，是这条抛物线上不同的两点，求证：． 24. 如图，在中，是直径，弦，垂足为，点在上，且，连接，，． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $