四川省资阳市安岳中学2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试题

安岳中学高2023级月考数学试题 一、单选题 1．一支田径队有男运动员28人，女运动员20人，按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该田径队中抽取了男运动员7人，则女运动员被抽取的人数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．已知，，且，则为（    ） A． B． C． D． 3．一束光线自点发出，被平面反射后到达点被吸收，则光线所走的路程是（    ） A． B．6 C． D． 4．两条平行直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 5．2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古自治区四子王旗预定区域，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．某校以此为契机开展航天科普知识竞答，比赛共分为两轮，已知学生甲在第一轮比赛中获胜的概率是，在第二轮比赛中获胜的概率是，两轮均获胜的概率为，则甲参加两轮比赛，恰好有一轮获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的右焦点为是椭圆上任意一点，点，则的周长的最大值为（    ） A． B．14 C． D． 7．已知双曲线=1(a>0，b>0)的左､右焦点分别为F1(﹣c，0)，F2(c，0)，点P在双曲线的右支上，且满足，则该双曲线离心率的取值范围是（    ） A．(2，+∞) B．(1，2) C．(1，) D．(2，) 8．设与轴，轴的正半轴分别交于两点，点（异于）是上一点，若直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（    ） A．为定值 B．有最小值 C．为定值 D．有最大值 二、多选题 9．下图是某市6月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择6月1日至6月13日中的某一天到达该市，并停留2天.下列说法正确的有（    ） A．该市14天空气质量指数的平均值大于100 B．此人到达当日空气质量优良的概率为 C．此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为 D．每连续3天计算一次空气质量指数的方差，其中第5天到第7天的方差最大 10．在棱长为2的正方体中，为棱上的动点（含端点），则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得平面 B．对于任意点，都有平面平面 C．异面直线与所成角的余弦值的取值范围是 D．若平面，则平面截该正方体的截面图形的周长最大值为 11．已知椭圆：的左，右两焦点分别是，，其中直线l：与椭圆交于，两点．则下列说法中正确的有（    ） A．若，则的周长为 B．若 ，则椭圆的离心率的取值范围是 C．若的中点为，则 D．弦AB长的取值范围是 三、填空题 12．在一次猜谜语活动中，总共有10道谜题，甲乙两名同学独立竞猜，甲同学猜对了6道谜语，乙同学猜对了8道谜语．假设猜对每道谜语都是等可能的，任选一道谜语，则甲猜对，乙没有猜对的概率为 . 13．已知是平行六面体．设是底面的中心，是侧面的对角线上的点，且，设， ． 14．在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示.已知直线l的方程为，则到直线l的距离为 . 四、解答题 15．（1）已知直线l过点P(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程． （2）已知的顶点，AB边上的中线所在直线方程为，AC边上的高线BH所在直线方程为．求顶点C的坐标． 16．已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过右焦点且斜率大于的直线与双曲线的右支交于两点，若，求直线的方程． 17．某校高三年级举行了高校强基计划模拟考试（满分100分），将不低于50分的考生的成绩分为5组，即，并绘制频率分布直方图如图所示，其中在内的人数为2. (1)求的值，并估计不低于50分考生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (2)现把和内的所有学生的考号贴在质地、形状和大小均相同的小球上，并放在盒子内，现从盒中随机抽取2个小球，若取出的两人成绩差不小于30，则称这两人为“黄金搭档组”.现随机抽取3次，每次取出2个小球，记下考号后再放回盒内，记取出“黄金搭档组”的次数为2的概率. 18．如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，平面底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC的中点，，，. (1)求证：平面BMD； (2)求直线PB与平面BMD所成角的余弦值； (3)线段PA上是否存在一点N使得平面BMN与平面BMD所成角的余弦值为，若存在，求出线段PN的长度；若不存在，请说明理由. 19．已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C C A B D C AD AB 题号 11 答案 ABD 1．B 【详解】由题意得，女运动员被抽取的人数为. 故选：B. 2．B 【详解】因为，，且，则， 解得，则，所以， 因此，. 故选：B. 3．C 【详解】点关于平面的对称点， 一束光线自点发出，被平面反射后到达点被吸收，则光线所走的路程是. 故选：C. 4．C 【详解】因为两直线平行，所以，解得， 所以直线为，即， 所以两平行线之间的距离. 故选：C. 5．A 【详解】记事件“甲在第一轮中获胜”，“甲在第二轮中获胜”， 则，，， 故， 故恰好有一轮获胜的概率． 故选：A. 6．B 【详解】由椭圆方程得，，. 设椭圆的左焦点为，   , ， 则的周长为 , 当且仅当三点共线，且在的延长线上时取等号. 的周长最大值为. 故选:B. 7．D 【详解】， ， ，， ， 解得， . 故选：D 8．C 【详解】由题得，，    ①当直线斜率不存在时，，是原点，与重合， 则，，所以； ②当直线斜率存在时，设，直线的方程为， 令，解得，则，同理可得， 所以， 又在上，所以， 代入上式得， 综合可得为定值． 故选：C 9．AD 【详解】A.，故正确； B.在6月1日至6月13日这13天中，1日，2日，3日，7日，12日，13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率为，故不正确； C.6月1日至6月14日连续两天包含的基本事件有13个，此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的基本事件是，，，共4个，所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率是，故不正确； D.空气质量指数趋势图可以看出，从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大，故正确. 故选：AD. 10．AB 【详解】在棱长为2的正方体中，为棱上的动点（含端点）， 对于A，当点与重合时，由，得，有， 而平面，平面，因此平面，即平面，A正确； 对于B，由平面，平面，得，又， 平面，则平面， 而平面，因此平面平面，B正确； 对于C，由平面，平面，得，因为， 显然是锐角，则是异面直线与所成的角，而， ，C错误； 对于D，当点与重合时，与选项B同理得平面，当平面为平面时， 平面截正方体所得截面图形为矩形，其周长为，D错误. 故选：AB 11．ABD 【详解】对于A，由椭圆定义知，，则的周长为： ，A正确； 对于B，设，，则， 即，因此，解得，即，B正确； 对于C，由选项B知，，则， 于是得，而直线OM的斜率，因此，C不正确； 对于D，因过椭圆焦点的最短弦为椭圆的通径，其长为，过椭圆焦点的最长弦为椭圆的长轴，其长为， 而弦AB不垂直于椭圆x轴，所以弦AB长的取值范围是. 故选：ABD 12．/0.12 【详解】甲猜对的概率为，乙猜对的概率为， 则甲猜对，乙没有猜对的概率为． 故答案为：. 13． 【详解】∵，， ∴ ， 又， ∴，，，故. 故答案为：. 14． 【详解】直线l的方程标准化：， 直线l过点，方向向量为. ，，， M到直线l的距离. 故答案为： 15．(1)或；（2）定点． 【详解】试题分析：(1)先设的方程为（）．再求得与两坐标的交点，可得围成的三角形面积为或的方程为或； （2）由垂直关系可得直线的方程为定点． 试题解析： (1)显然，直线与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，设的斜率为，则，则的方程为． 令，得； 令，得. 于是直线与两坐标轴围成的三角形面积为，即解得或. 的方程为或． 即或. （2）因为，， 则直线的方程为，整理得 由，得，所以定点的坐标为． 16．(1) (2) 【详解】（1） 因为点在上，所以①， 又为的右焦点，轴，则， 故②，联立①②可得，， 故的方程为． （2） 设直线的方程为，，， 因为斜率大于的直线与的右支交于两点， 所以，即，则， 联立消去整理得， ， 则，， 则， 解得，则（负值舍去）， 故直线的方程为 17．(1)；分 (2) 【详解】（1）由题意，得，解得， 不低于50分考生的平均成绩估计为（分）； （2）在上的频率为，由条件得总人数为， 所以在内的人数为， 记内的所有学生的考号所在小球分别为，内的所有学生的考号所在小球分别为， 则从这6个球中抽取2个球的结果有：，，，共15种， 其中为“黄金搭档组”有，，， 共8种， 所以抽取出‘黄金搭档组”的概率. 记取出“黄金搭档组”的次数为2为事件A，事件表示第次取出“黄金搭档组”， 所以 ， 故取出“黄金搭档组”的次数为2的概率为. 18．(1)证明见解析； (2)； (3)或． 【详解】（1）连接交于，再连接， 由已知与平行且相等，是平行四边形，因此与互相平分，是中点，又是中点，则， 平面，平面，所以平面； （2），则是矩形，， ，是中点，则， 平面平面，平面平面，平面， 所以平面， ， 分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，因此， ，，， 设平面的一个法向量是， 则，令，则，，即， 设直线PB与平面BMD所成角为，则， ； （3）假设存在满足题意的点，设（），，， 设平面的一个法向量是， 则，取，则，， 即， ，，， 由题意，解得或， 又 ， 所以或． 所以存在满足题意的点且或． 19．(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）面积的最大值为. 【详解】（1）由题意可得椭圆焦点在x轴上，且， 所以椭圆的方程为. （2）（i）证明：由题意可知直线斜率存在， 当直线斜率为0时，显然，所以； 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立， 则， 设，则， 所以， 因为， 所以. 综上，为定值0. （ii）由（i）可得， 所以， 所以，当且仅当即时等号成立， 所以面积的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $