鸽巢问题（例2）（教学设计）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

该小学数学教学设计聚焦“鸽巢原理”一般形式，通过复习例1中“铅笔数比笔筒数多1”的情况，引导学生提出“数量变化时结果是否改变”的问题，搭建前后知识联系的学习支架，自然过渡到新课探究。 以“7本书放进3个抽屉”等任务驱动自主探究，学生从枚举、分解到算式抽象，总结“至少数=商+1（有余数）或商（无余数）”模型，结合“同学出生月份”“扑克牌花色”实例培养抽象能力与模型意识，分层作业兼顾差异，助力教师高效教学，提升学生逻辑推理与应用能力。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 六年级 学期 春季 课题 7个放进3个里（例2） 教材分析 “鸽巢问题”中包含着一个重要而又基础的数学问题，应用其中的原理可以解决很多问题。本节课教材通过直观的例子，借助实际操作，使学生在理解“鸽巢问题”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，应用“鸽巢问题”加以解决。例2在例1的基础上说明只要物品数比抽屉数多，总有一个抽屉里至少放进（商+1）个物品，使学生对这一类的“鸽巢问题”达到一般的理性认识。 学情分析 “鸽巢原理”是一类较为抽象和艰涩的数学问题，对全体学生而言都具有一定的挑战性。其实“鸽巢问题”的理论本身并不复杂，甚至可以说是显而易见的，学生在现实生活中已有一定的感性经验。教学时可以充分利用学生的生活经验，放手让学生自主思考，使学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题。同时，“鸽巢问题”具有“模型化”特征，在教学中还应培养学生“模型”思想，从现实素材中找出最本质的特征，将具体问题“数学化”。 学习目标 1. 进一步了解“鸽巢原理”的形式，会用“鸽巢原理”解决简单的实际问题。 2.经历从直观到抽象的探究过程，建立“鸽巢原理”的数学模型，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。 3.通过“鸽巢原理”的学习，增强对逻辑推理、模型思想的体验，提高学习数学的兴趣和应用意识。 教学重点、难点 教学重点：掌握“鸽巢原理”的一般形式，会运用除法算式来解决实际问题。 教学难点：会用“鸽巢原理”解决简单的实际问题，建立“鸽巢原理”的数学模型。 学习活动与支持 一、复习旧知，揭示课题 上节课，我们根据最不利原则，利用枚举法和假设法初步认识了鸽巢问题，发现了其中的数学规律：把（n＋1）支铅笔放进n个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。同学们还有什么问题吗？ 生：上节课我们研究的都是铅笔数比笔筒数多1的情况，如果数量发生变化，结果还是这样吗？ 这个问题非常有价值。这节课就让我们继续更深入的共同探讨。 [设计意图：通过复习，帮助学生回忆例1学习的有关知识，并直接揭示课题，为新课学习作准备。] 二、自主探究，建立模型 （一）活动任务一：把7本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉里至少3本书。为什么？ 活动要求： 1.想：先独立思考，并尝试解决。 2.画：请在学习单上用喜欢的方式表示。 3.说：和同伴说说你的想法。 评价量规： 1.能独立思考，正确解答。（☆☆） 2.能在学习单上表示自己想法。（☆☆） 3.能清晰的说出自己的想法。（☆☆） 学生动手操作探究，教师组内巡视指导。学生汇报交流，师生补充、质疑、评价。 生1：我随便放放看，一个抽屉1本，一个抽屉2本，一个抽屉4本。可以证明总有一个抽屉里至少放进3本书。 生2：我用的是分解法。把7本书放进3个抽屉，就是把7分解成3个数，共有8种情况，在任何一种情况中，总有一个数不小于3。 生3：上节课我们学习了“最不利原则”，可以将7本书尽可能的平均分配，这样就能保证放书最多的抽屉里书的数量是最少的。如果每个抽屉最多放2本，那么3个抽屉最多放6本，最后的1本书一定会放到3个抽屉中的任何一个，可以证明总有一个抽屉里至少放进3本。 生4：我用算式来证明：7÷3＝2（本）……1（本），2＋1＝3（本）。 7÷3表示把7本书平均放进3个抽屉，商2表示每个抽屉最多放2本书，余数1表示还剩下1本书。无论余下的这本书放进哪个抽屉，都会出现：总有一个抽屉里至少放进3本书。 小结：其实用有余数的除法算式来证明的方法，就是假设出现最坏情况，也就是最不利情况，是按照平均分的思路来分析证明的。这种表达方式非常简洁、清晰！ （二）如果把8本书放到抽屉里会怎样呢？你是怎么想的呢？ 生1：8÷3＝2（本）……2（本），2＋2＝4（本），如果把8本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放4本书。 生2：8÷3＝2（本）……2（本），2＋1＝3（本），如果把8本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放3本书。 生3：我同意小韩的观点。余下的2本书有可能放进同一个抽屉，也有可能是分开放的。但我们研究的是不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书，要求的是“至少数”，根据最不利原则，把8本书平均放进3个抽屉，每个抽屉里放2本，还剩2本。剩下的2本再平均分，所以总有1个抽屉里至少放进3本书。 （三）活动任务二；请同学们自己设定书本数和抽屉数，看看又能得出怎样的结论？ 把（ ）本书放进（ ）个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有（ ）本书。 活动要求： 1.想：先独立思考，将你的想法写下来。 2.画：请在学习单上用喜欢的方式表示。 3.说：和同伴说一说你的想法。 评价量规： 1.能独立思考，用简洁的方法正确解答。（☆☆） 2.能列式计算，并理解算式含义。（☆☆） 3.能清晰的说出自己的想法。（☆☆） 学生动手操作探究，教师组内巡视指导。学生汇报交流，师生补充、质疑、评价。 生1：把（9）本书放进（3）个抽屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放（3）本书。9÷3＝3（本）， 生2：，把（10）本书放进（3）个抽屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放（4）本书。10÷3＝3（本）……1（本），3＋1＝4（本）。 生3：把（29）本书放进（6）个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有（5）本书。29÷6=4（本）……5（本），4+1=5（本）。 生4：把（57）本书放进（11）个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有（6）本书。57÷11=5（本）……2（本）,5+1=6（本）。 （四）概括规律，建立模型 老师整理了同学们的想法，通过探究，你发现了什么规律？ 书本数量 至少数 列式 7本 3本 7÷3=2（本）……1（本），2+1=3（本） 8本 3本 8÷3 =2（本）…… 2（本），2+1=3（本） 9本 3本 9÷3=3（本） 10本 3本 10÷3=3（本）……1（本），3+1=4（本） 29本 6本 29÷6=4（本）……5（本），4+1=5（本） 57本 11本 57÷11=5（本）……2（本），5+1=6（本） 生1：我发现用书本数÷抽屉数＝商……余数。把书本放进抽屉，如果平均分后有剩余，那么总有1个抽屉里至少放“商+1”本书。如果没有剩余，总有一个抽屉里至少有"商"本书。 生2：我还发现当余数等于1时,至少数为“商+1”；当余数大于1时，至少数仍为“商+1”，因为余数比除数小，把余数分到各个抽屉，每个抽屉最多分到1本，所以只能“+1”。 小结：假设有a只鸽子平均飞进n个鸽巢中，每个鸽巢都有b只鸽子，还剩c只，c可以是从1到（n-1）的任何一个自然数，可以用a÷n=b……c(a、n、c≠0,c<n)来表示。经过同学们一步一步的探究，找到了求至少数的方法。在“鸽巢问题”中，我们用平均分的方法计算，得到的结论就是至少有一个抽屉要比商多1，或等于商。 [设计意图：经过上一节课的学习，学生已经发现“最不利原则”，这一环节中让学生深入理解平均分，再通过自主探究规律的过程，强化学生对新知的深刻认识，并建立正确的计算模式，进一步建立“鸽巢原理”的模型，教师适时提出针对性问题进行交流、讨论，使学生从本质上理解“鸽巢原理”。] 3、 巩固应用，拓展提升 1.在生活中我们常常用到“鸽巢原理”，也叫“抽屉原理”，你会判断并解决它们吗？ （1）我们班有41名同学，至少有多少个同学是在同一个月出生？为什么？ （2）小明表演扑克牌"魔术"。一副扑克牌，取出大小王，还剩52张牌，9人每人随意抽1张，至少有多少张牌是相同的花色？为什么？ 让学生先独立思考，教师巡视指导。 学生汇报交流，师生补充、质疑、评价。 生1：41名同学相当于鸽子，12个月相当于鸽巢，根据最不利原则，41÷12=3（人）……5（人）,3+1=4（人），所以至少有4个同学是在同一个月出生的。 生2：一副扑克牌有四种花色，相当于4个鸽巢，9人抽的9张牌就好比9只鸽子，根据最不利原则，9÷4=2（张）……1（张），2+1=3（张），至少有4张牌是相同的花色。 小结：解决这类问题的关键就是要找对谁是鸽子数，谁是鸽巢数，虽然问题的情境变了，但我们通过类比和迁移，用解决我们熟悉的鸽巢问题的方法解决新的问题，这也是我们学习数学的一种非常重要的思想。 [设计意图：通过“鸽巢原理”的灵活应用，进一步巩固所学知识，更重要的是让学生知道生活中处处都有数学，运用数学知识解释生活现象，在解决实际问题的过程中发展逻辑推理能力。] 四、归纳梳理，畅谈收获 通过这节课的学习，你有什么收获吗？ [设计意图：课后总结是在帮助学生进行反思和实现知识迁移，学会用数学的思维方式进行思考。] 五、分层作业，强化应用 1.复习巩固类作业 数学书第68页第1题。 2.拓展提高类作业 数学书第70页第1、2题。 板书设计 7个放进3个里 7÷3＝2（本）……1（本），2＋1＝3（本） 8÷3 =2（本）…… 2（本），2+1=3（本） 9÷3=3（本） 10÷3=3（本）……1（本），3+1=4（本） 29÷6=4（本）……5（本），4+1=5（本） 57÷11=5（本）……2（本），5+1=6（本） 书本数÷抽屉数=商……余数，至少数=商+1 a ÷ n=b……c (a、n、c≠0,c<n)，至少数=b+1 本课教学设计特色 本节课，从学生身边熟悉的事物入手，调动学生已有的知识经验，运用不同的方法，将鸽巢原理演绎到各种生活现象和问题情境中，让学生在解决问题的过程中感悟到即使情景变了，但问题的实质没有变，解决这一类问题的方法和策略也不变，从而自主完成“鸽巢问题”模型的构建与内化，数学核心素养也在建模中建立起来。 学科网（北京）股份有限公司 $