精品解析：吉林省长春市养正高级中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

长春市养正高级中学2025—2026学年上学期期中考试 高一数学试卷 命题负责人：王雷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”是（ ） A. 假命题，否定“，” B. 真命题，否定为“，” C. 真命题，否定为“，” D. 假命题，否定为“，” 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知：，那么的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 5. 设集合，则下列图象能表示从集合到集合的函数关系的有（ ） A. B. C. D. 6. 已知正实数满足，则最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 7. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是（ ）． A. B. C. D. 8. 定义在上的函数满足：对任意，且，，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列不等式成立是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 的最小值是2 B. 与是同一个函数 C. 函数是奇函数且在单调递增 D. 若，则 11. 对于任意，表示不超过的最大整数，如，，.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们也称之为取整函数.取整函数在现实生活中有着广泛的应用，如停车收费，出租车收费等都是按照取整函数进行计费的.令，下列说法不正确的是（ ） A. ， B. C. 函数的值域为 D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______. 13. 已知幂函数的图象关于原点对称，则______. 14. 已知关于不等式的解集是，且关于的不等式的解集是，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集为，集合，. （1）求，； （2）已知，若，求实数的取值范围. 16. 给定函数，，. （1）在图一的直角坐标系中画出函数，的图象； （2），用表示，中的最大者，记为.在图二中画出函数的图象并写出的解析式; （3）若方程有两个不同的实根，求实数的取值范围. 17. （1）求函数（）的值域； （2）常温下，在，两杯100克的水中分别加入5克氯化钠和10克氯化钠，待氯化钠全部溶解后，显然杯中的氯化钠溶液更咸.请用数学中不等式知识将“氯化钠加的越多，溶液越咸.（假设氯化钠全部溶解）”这句话表示为一个不等式，并证明这个不等式成立.（用表示溶质质量，表示溶液质量，表示添加的溶质质量） 18. 某商家利用电商平台销售一种季节性电子产品，已知该产品的成本为每件40元，销售单价（元）与日销售量（件）的对应关系如下表所示（销售单价不低于成本且不高于100元且变量与变量成一次函数关系）： 销售单价（元） 50 60 70 日销售量（件） 100 80 60 该平台为了促进销售，决定当销售单价不超过65元时，向商家提供每件2元的物流补贴；当销售单价超过65元时，不再提供补贴.设该产品的商家日利润为（元）. （1）求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）求与之间的函数关系式： （3）当销售单价为多少元时，日利润最大？最大日利润是多少元？ 19. 已知函数， （1）求的值，并判断的奇偶性； （2）根据定义证明函数在区间上单调递增； （3）若，使不等式成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市养正高级中学2025—2026学年上学期期中考试 高一数学试卷 命题负责人：王雷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，根据并集的概念求解. 【详解】由已知，所以. 故选：C. 2. 命题“，”是（ ） A. 假命题，否定“，” B. 真命题，否定为“，” C. 真命题，否定为“，” D. 假命题，否定为“，” 【答案】A 【解析】 【分析】由配方法整理不等式，得到命题的真假，然后写出命题的否定，得到结论. 【详解】∵，当时，,∴原命题为假命题， 命题“，”的否定为“，”， 故选：A. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据具体函数的定义域的定义求出结果即可. 【详解】要使得函数有意义， 则，解得. 所以该函数的定义域为. 故选：B. 4. 已知：，那么的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件概念求解. 【详解】因为当时，推不出成立，当时，能推出成立， 所以是成立的必要不充分条件， 故选：D 5. 设集合，则下列图象能表示从集合到集合的函数关系的有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数关系的定义逐个判断即可. 【详解】A选项，集合P中的这部分在集合Q中没有元素对应，故A选项错误； B选项，，均存在唯一与其对应，故B选项正确； C选项，存在集合P中一个元素对应集合Q中的两个元素，故C选项错误； D选项，集合P中的元素2对应了集合Q中的两个元素，故D选项错误； 故选：B. 6. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 详解】正实数满足，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：D 7. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数奇偶性求解析式即可. 【详解】解析 因为当时，，为奇函数， 所以当时，， 所以，即， 故选：D． 8. 定义在上的函数满足：对任意，且，，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，判断函数的单调性，根据函数单调性解不等式，可得所求不等式的解集. 【详解】不妨设，因为，所以， 所以. 设，则， 所以在上单调递增，因为，所以， 所以的解集为， 所以的解集为. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】AB选项，利用不等式的基本性质判断，C选项，取特殊值判断，D选项，利用不等式的基本性质判断. 【详解】对于AB，因为，所以， 则，即，故A正确，B错误； 对于C，当时，满足，而，故C错误； 对于D， 因为，所以，则，所以，故D正确； 故选：AD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 的最小值是2 B. 与是同一个函数 C. 函数是奇函数且在单调递增 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式等号成立条件判断A，根据函数解析式判断B，由幂函数性质及奇函数定义判断C，求函数值判断D. 【详解】因为，当且仅当， 即时取等号，由知等号取不到，故，故A错误； 因为，，所以两个函数是同一个函数，故B正确； 由定义在上，所以函数是奇函数，由幂函数单调性知在单调递增，故C正确； 令，则，所以，故D错误. 故选：BC 11. 对于任意，表示不超过的最大整数，如，，.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们也称之为取整函数.取整函数在现实生活中有着广泛的应用，如停车收费，出租车收费等都是按照取整函数进行计费的.令，下列说法不正确的是（ ） A. ， B. C. 函数的值域为 D. 不等式的解集为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据高斯函数的定义，对函数的性质逐一分析即可. 【详解】对于A，当时，，， 故，，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，由取整函数定义可知，，则，即函数的值域为，故C正确； 对于D，由可得，故，因为，故，因此，即原不等式的解集为，故D错误. 故选：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______. 【答案】11 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，即可求得答案. 【详解】由题意知，函数，则， 故， 故答案为：11 13. 已知幂函数的图象关于原点对称，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据幂函数的知识求得的可能取值，根据图象关于原点对称求得的值即可得解. 【详解】由于是幂函数，所以，解得或. 当时，，图象关于轴对称，不符合题意. 当时，，图象关于原点对称，符合题意. 所以的值为，故 故答案为： 14. 已知关于的不等式的解集是，且关于的不等式的解集是，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由不等式解集得出，再由一元二次不等式解集为空集，利用判别式建立不等式得解. 【详解】因为不等式的解集是， 所以两根为，且， 所以，解得， 不等式，即的解集是， 所以，解得， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集为，集合，. （1）求，； （2）已知，若，求实数的取值范围. 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交并补运算，即可求得答案； （2）由确定，列出相应的不等式，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意得， 则或，而， 则，或； 【小问2详解】 由，可知， 而，， 则需满足，解得， 实数的取值范围为. 16. 给定函数，，. （1）在图一的直角坐标系中画出函数，的图象； （2），用表示，中的最大者，记为.在图二中画出函数的图象并写出的解析式; （3）若方程有两个不同的实根，求实数的取值范围. 【答案】（1）图象见解析 （2）图象见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式直接画出函数图象即可； （2）由（1）可得出函数的图象，结合图象写出函数解析式； （3）方程根的问题转化为函数图象交点问题，数形结合得解. 【小问1详解】 因为，， 所以在同一平面直角坐标系内作函数图象如图， 【小问2详解】 结合（1）可得图象，如图， 当时，解得， 所以结合图象可得. 【小问3详解】 在同一平面直角坐标系中，作出的图象，如图， 由图象可知，当时，， 所以当时，的图象有两个交点， 即方程有两个不同的实根. 17. （1）求函数（）的值域； （2）常温下，在，两杯100克的水中分别加入5克氯化钠和10克氯化钠，待氯化钠全部溶解后，显然杯中的氯化钠溶液更咸.请用数学中不等式知识将“氯化钠加的越多，溶液越咸.（假设氯化钠全部溶解）”这句话表示为一个不等式，并证明这个不等式成立.（用表示溶质质量，表示溶液质量，表示添加的溶质质量） 【答案】（1）（2）当，则；证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式求出最大值可得函数值域； （2）由题意写出不等式，利用作差法证明即可. 【详解】（1）, 当且仅当，即时等号成立， 所以函数的值域为. （2）由题意可得不等式：当，则. 证明： ， 因为，则， 所以，即. 18. 某商家利用电商平台销售一种季节性电子产品，已知该产品的成本为每件40元，销售单价（元）与日销售量（件）的对应关系如下表所示（销售单价不低于成本且不高于100元且变量与变量成一次函数关系）： 销售单价（元） 50 60 70 日销售量（件） 100 80 60 该平台为了促进销售，决定当销售单价不超过65元时，向商家提供每件2元的物流补贴；当销售单价超过65元时，不再提供补贴.设该产品的商家日利润为（元）. （1）求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）求与之间的函数关系式： （3）当销售单价为多少元时，日利润最大？最大日利润是多少元？ 【答案】（1），； （2）； （3）销售单价为元，日利润的最大值元. 【解析】 【分析】（1）设出一次函数关系，利用选定系数法求出解析式，并求出自变量的范围. （2）利用给定关系，结合（1）的结论分段求解. （3）分段求出最大值，再比较大小即得. 【小问1详解】 依题意，设，由及， 得，解得，则，显然也满足， 因此，由，得，解得， 所以所求函数关系式为，. 【小问2详解】 由（1）知，， 由，得，， 由，得，， 所以所求函数关系式为. 【小问3详解】 当时，，当且仅当时取等号； 当时，在上单调递减，则当时，， 而，因此当，即时，， 所以当销售单价为元时，日利润取得最大值元. 19. 已知函数， （1）求的值，并判断的奇偶性； （2）根据定义证明函数在区间上单调递增； （3）若，使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），奇函数； （2）证明见解析； （3）或. 【解析】 【分析】（1）将代入求得的值，再利用函数奇偶性的定义即得； （2）利用函数的单调性定义即可证明在区间上的单调性； （3）根据题意将问题转化为，利用函数的单调性求出，即得对于恒成立，结合二次函数的图象列出关于的不等式组，求解即得. 【小问1详解】 由，可得，解得，故， 因函数的定义域为，关于原点对称，且，故是奇函数； 【小问2详解】 任取，且， 因， ，，， ，即， 故函数在区间上单调递增； 【小问3详解】 ，且在区间上单调递增， 在区间上是增函数，故， ，使不等式成立， 即需使， 也即对于恒成立， 则对于恒成立， 设， 则有，解得或， 则实数的取值范围或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $