河北省张家口市第一中学2025-2026学年高三上学期11月月考数学试题

张家口市第一中学高三年级11月月考数学试卷 一、单选题（每题 5 分） 1． 已知集合A = {x log2 x ≤ 1} ， B = {xx - 2 ≤ 1} ，则 AU B = ( ) A ．(-∞, 3] B ． (3, +∞) C ． (0, +∞) D ． (0, 3] 2．在V ABC 中，若 AC = ·、 , BC = 2, B = 60。，则sin A 的值为（ ）. ( 6 3 7 )A ． B ． C ． D ．1 A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 4． 已知 = 2 ，则tan(α + ) = ( ) ( A ． - B ． - 3 C ． 3 D )1 1 3 ． 3 ( 5 ．函数 f ( x ) = 的图象大致为 ( ) )A ． B． C ． D． ( ( π ) 2 )6． 已知cos|(α - 4 , = 3 ，则sin 2α = ( ) 1 5 5 1 A ． 9 B ． 9 C ． - 9 D ． - 9 7 ．若函数f (x ) = , x ≥ 2 有最大值，则k 的最大值为 ( ) lkx, x < 2 ( A ． B ． C ． D )ln2 ln2 1 1 4 2 2e ． e2 8．设函数f(x) = sin(|( ①x + ), 在区间(0, π) 恰有三个极值点、两个零点，则 ① 的取值范围是 ( ) ( 「 5 13 ) 「 5 19 ) ( 13 8 7 ( 13 19 7 )A ． |L 3 , 6 , B ． |L3 , 6 , C ． |( 6 , 3」| D ． |( 6 , 6 」| 二、多选题（每题 6 分） 9．下列说法正确的是 ( ) A ． sin 2 cos 3 > 0 B ．终边落在直线x + y = 0 上的角的集合是{α | α = ± + kπ, k ∈ Z} C ．若圆心角为的扇形的面积为 ，则扇形的弧长为 π D ．函数y = tan(2x - ) 的定义域为{x | x ≠ + , k ∈ Z} 10． 已知函数f (x)= sin (①x + φ) ( ① > 0 ， φ < ）的图象如图所示，则下列说法错误的是 ( ) 1 A ． ① = 2 B ． f (x) 图象的一个对称中心为(|(- , 0), C ． y = f (|(x - ), 是偶函数 D ．将f (x) 图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到g(x ) = sin(|( - ,) 的图象 11．已知函数f (x)及其导数f, (x ) ，若存在x0 ∈ R ，使得f (x0 ) = f, (x0 ) ，则称x0 是f (x) 的一个“巧值 点” ，下列函数中，有“巧值点”的是 ( ) A ． f (x) = x2 + 1 B ． f (x ) = C ． f (x) = e-x D ． f (x) = cos x -1 三、填空题（每题 5 分） 12． 已知函数y = 2 tan ①x + ,) 的最小正周期为 2 ，则实数ω 的值为 ． 13． 已知集合M = {x | (x - a)(x2 - ax + a -1) = 0} 各元素之和等于 3 ，则实数a = 答案第 1页，共 2页 学科网（北京）股份有限公司 14．某公园有一个长方形地块 ABCD ，这 AB 为千米，AD 长 4 千米，地块的一角是水塘（图中阴影部分），已知边缘曲线 AC 是以A 为顶点，以 AD 所在直线为对称轴的抛物线的一部分．现要经过曲线AC 上某一点P （异于 A ，C 两点）铺设一条直线隔离带 MN，点 M，N，分别在边 AB ，BC 上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘，设点 P 到边 AD 的距离为 t（单位：千米）， △BMN 的面积为 S（单位：平方千米），则隔离出来的 △BMN 的面积 S 的最大值为 平方千米． 18（17 分）．已知函数f (x ) = 为奇函数. (1)求实数 a 的值； (2)若f (x +1) > f (3 一 2x ) ，求实数 x 的取值范围； (3)设函数g(x) = log3 . log3 + m ，若对任意的x1 ∈ [3, 27] ，总存在x2 ∈ (0, 1] ，使得g(x1 ) = f (x2 ) 成立，求实数 m 的取值范围. 19（17 分）．已知函数f (x) = mx 一 ln x, m∈R , e 为自然常数. (1)当m = 1时，求函数f (x)在x=e处的切线方程； (2)若函数f (x)在区间[1, e]上有最小值一2 ，求实数m 的值； 答案第 2页，共 2页 学科网（北京）股份有限公司 (3)在（1）的条件下，若不等式ex 一 λxf (x) ≥ 0 恒成立，求实数λ 的取值范围 四、解答题 15（ 13 分）．在钝角三角形 ABC 中，已知 sinC = sinB, a2 + b2 一 c2 = ab ． (1)求 上B ； (2)若三角形 ABC 的周长为4 + 2 ，求三角形 ABC 的面积． 16（ 15 分）．已知函数f (x ) = sinxsin (|(x + ), 一 sin2x + 1, x ∈ R . (1)求函数f (x) 的对称中心； (2)求函数f (x)在区间「|L一 , 」 (7)|上的最大值和最小值. 17（ 15 分）．设函数f (x) = 2x3 一 3ax2 + 1(a ∈ R)． (1)讨论函数f (x) 的单调性； (2)若函数f (x)有三个零点，求a 的取值范围. $ 张家口市第一中学高三年级11月月考数学参考答案 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答 案 D C A D D D C C CD ABD ABD 1． 由已知 A = {x log2x ≤ 1} = {x 0 < x ≤ 2} ， B = {x 1 ≤ x ≤ 3} ，所以 A B = {x 0 < x ≤ 3} . 2． 由正弦定理得 = ，则sin A = BCAsC (in)B = 2 × = . 3．【详解】因为x > 1，所以x -1 > 0 ，- = = x -1+ 2 + ≥ 2 + 2 · = 6 ，当且仅的x - 1 = ，即x = 3 时等号成立. 4．【详解】 由 = 2 ，得 = 2 ，解得tan α = - ，所以tan(α + π ) = tan α + tan = - + 1 = 1 4 1- tanα tan 1+ 3． 5 ．【详解】 由f (x) = ，定义域为R ， 而f (-x) = c (-)o (x)s.-inx(x2) = = f (x) ，所以函数f (x) 为偶函数， 其图象关于y 轴对称，排除 AB； 当0 < x < π 时， sinx > 0 ，cosx + 2 > 0 ，则f (x ) > 0 ，排除 C ，而 D 满足题意. 6．【详解】 cos |((2 α - ,) = 2 cos 2 |(( α - ), -1 = 2 ×|(( ,) 2-1 = - 91 ，即sin 2α = - ， 7 ．【详解】当x ≥ 2 时， f (x ) = ，则f, (x ) = ，当2≤x < e 时， f, (x) > 0 ，此时，函数f (x)单调递增，当x>e 时， f, (x) < 0 ，此时，函数f (x)单调递减， 则函数f (x)在x=e处取得极大值，且极大值为f (e) = ， 因为函数函数f (x ) = {x, 2 有最大值，则{2 (k)k≥ , 解得0 ≤ k ≤ , 因此，实数k 的最大值为 . 8．【详解】解：依题意可得 ① > 0 ，因为x ∈(0, π ) ，所以 ①x + ∈ (|( , ①π + ,) ， 要使函数在区间(0, π ) 恰有三个极值点、两个零点，又y = sin x ， x ∈ (|( , 3π ), 的图象如下所示： 则 < ①π + ≤ 3π , 解得 < ① ≤ , 即 ① ∈ , ． 9．【详解】对于 A ，: < 2 < π , :sin2 > 0 ，: < 3 < π , :cos 3<0 ， : sin 2 cos 3 < 0 ， :选项 A 错误；对于 B ，: 终边落在直线x + y = 0 上的角为 α , \ α 与角 β = - 或 β = 的终边相同， : {α | α = - + 2kπ 或 α = + 2kπ,k ∈ Z}， 整理得{α | α = - + kπ,k ∈ Z} ， :选项 B 错误； 对于 C ，设扇形的圆心角为 α , 则 α = ；设扇形的面积为S ，则有S = ；设扇形的半径为r ，扇形的弧长为l ，则有S = αr2 ， : α = ， S = ， : = × × r2 ， :r = 3 ，l = αr = × 3 = π , :选项 C 正确； 对于 D ，: y = tan(2x - ) ， : 2x - ≠ + kπ, k ∈ Z ， : x ≠ + , k ∈ Z ，则函数y = tan(2x - ) 的定义域为{x | x ≠ + , k ∈ Z} ， :选项 D 正确. 10．【详解】对于 A ，由图象可得 = - = ，故T = 6π ,可得 = 6π , 解得 ① = ，故 A 错误； 对于 B ，由已知得f (x ) = sin(|( x + φ), ，而f(|( ), = 1， 答案第 1页，共 4页 学科网（北京）股份有限公司 故 × + φ = + 2kπ , k ∈ Z ，解得φ = - + 2kπ , k ∈ Z ，而 φ < ，可得φ = - ，故f (x ) = sin (|( x - ,) ， 则f|((- ), = sin |L3 (「1) × |((- ), - = sin -π ,) = -1 ，故 B 错误； 对于 C ，由题意得fx - ), = sin |(( - - ), = -cos，由余弦函数性质得f(|(x - ), 是偶函数，故 C 正确； 对于 D ，将f (x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变），得到g(x) = sin (|( - ), 的图象，故 D 错误. 11．【详解】对于 A ，f (x0 ) = x0 (2) + 1, f, (x0 ) = 2x0 ，由x0 (2) + 1 = 2x 0 ，则x0 = 1，所以f (x) = x2 + 1 有 1 个“巧值点” ，故 A 正确； 对于 B ， f (x0 ) = , f, (x0 ) = - ，由 = - ，则x0 = -1，所以f (x ) = 有 1 个“巧值点” ，故 B 正确； 对于 C ， f (x0 ) = e-x0 , f, (x0 ) = -e-x0 ，由 e-x0 = -e-x0 得e-x0 = 0 ，而该方程无解，故 C 错误；对于 D ， f (x0 ) = cos x0 -1, f, (x0 ) = -sin x0 ，由cos x0 -1 = -sin x0 得sin x0 +cos x0 = 1， 即sin(|(x0 + ), = ，显然方程sin(|(x0 + ), = 有无数个解，所以函数f (x)= cos x -1 有无数个“巧值点” ，故 D 正确. 12． 或- 【详解】 由T = = 2 ，解得 ① = ± . 13． 2 或 【详解】 由方程(x - a)(x2 - ax + a -1) = 0，可得化为(x - a)(x -1)[x - (a -1)] = 0 ，解得x1 = a ,x2 = 1,x3 = a -1 ， 当a = 1 时，此时M = {1, 0} ，可得1+ 0 ≠ 3 ，不符合题意，舍去； 当a -1 = 1时，即a = 2 时，可得M = {2, 1} ，此时2 + 1 = 3 ，符合题意； 当a ≠ 1 且a ≠ 2 时，可得a + 1 + a -1 = 3 ，解得a = ，符合题意，所以实数a 的值为2 或 . ( 27 )14． 32 【详解】如图建立平面直角坐标系， ( 则 A ( 0 , 0 ) , B ( , 0 ) , C ( , 4 ) , D ( 0 , 4 ) ， ) ( 由题意知直线 MN 为抛物线的切线， ) 因为点 P 到边 AD 的距离为t (0 < t < 2)，所以切点 P 的坐标为(t, 2t2 ) ， 由题意设抛物线方程为y = ax2 ，代入点C( , 4) ，得4 = 2a ，解得a = 2 ，所以抛物线方程为y = 2x2 ， 由y = 2x2 ，得y, = 4x ，所以直线 MN 的斜率为4t ， 所以直线 MN 的方程为y- 2t2 = 4t (x - t) ，即y = 4tx - 2t2 ， 令y = 0 ，得x = ，所以M (|( , 0), ， 令x = ，得y = 4 t - 2t2 ，所以N( , 4 t - 2t 2 )， 所以S = MBBN = (|( - ),×(4 t - 2t2 ) = t3 - 2t2 + 4t ， 则S , = t2 - 4t + 4 = t - 2)(3t - 2)， 因为0 < t < ，所以当0 < t < 对， S, > 0, S 单调递增，当 < t < 时， S, < 0, S 单调递减，所以当t = 时， S 取得最大值 ),3 - 2× | ),2 + 4 × (|(|), = 3 平方千米． 15 ．【详解】（1） 由余弦定理可知a2 + b2 - c2 = 2abcosC ，所以2abcosC = ab ，故cosC = ，: C ∈(0, π ) ， : C = ，则sinB = sinC = ， : B ∈ 0, ,) ， :B = 或B = ． ( 当 B = 时， A = ， V ABC 不为钝角三角形，舍去， B = 时，满足要求 )π π 2π 3 2 3 ． （2） 由（1）可得A = π - B - C = ，答案第 2页，共 4页 学科网（北京）股份有限公司 由正弦定理a : b : c = sinA: sinB : sinC = 1 : :1 ，即b = a, c = a ． 周长a +b + c = (2 + )a = 4 + 2 ，所以a = 2 ． 则V ABC 的面积S = acsinB = ×2 ×2 × = ． 16．【详解】（1） 由题意f(x) = sin x((|sin x + cos x), - sin2 x + 1 = sin2 x + = - sin2 x + sin x cos x + 1 = - + sin 2x+ 1所以f(x) = sin 2x + cos 2x + = sin (|(2x + ),+ 43 ，由2x + = kπ,k ∈ Z ，得x = - + , k ∈ Z ，此时y = 所以函数f(x) 的对称中心为(|(- + , ), , k ∈ Z ； （2） 由（1）知， f(x) = sin|(( 2x +), + ，当- ≤ x ≤ 时， - ≤ 2x + ≤ , 而函数y = sin x 在「|L- , 」 (7)|上递增，在 , 」 (7)|上递减， 则当2x + = ，即x = 时， f(x)max = ， 当2x + = - ，即x = - 时， f(x)min = ， 所以函数f(x) 在区间「|L- , 」 (7)|上的最大值和最小值分别为 , . 17 ．【详解】（1） f ,(x) = 6x (x - a) ， a > 0 时， x < 0 或x > a 时， f,(x) > 0 ， 0 < x < a 时， f,(x) < 0 ， a = 0 时， f,(x) ≥ 0 ， a < 0 时， x < a 或x > 0 是， f,(x) > 0 ， a < x < 0 时， f,(x) < 0 ， 综上： a > 0 时， f(x) 在(-∞, 0) 和(a, +∞) 上为增函数，在(0, a)为减函数， sin xcos x - sin2 x + 1 a < 0 时， f(x) 在(-∞, a) 和(0, +∞) 为增函数，在(a, 0)为减函数； （2） f,(x) = 6x2 - 6ax ，令6x(x - a) = 0 → x = 0 或x = a ， 因此极值点为x = 0 和x = a ，f(0) = 1 ，f(a) = -a3 + 1 ，即x = a 为函数极小值点，即a > 0 ，当x → -∞ 时， f (x) → -∞ ；当x → +∞ 时， f (x ) → +∞ ; 为了函数有三个零点，必须满足f(0) . f(a) < 0 ，即1. (-a3 + 1)< 0 → -a3 + 1 < 0 → a3 > 1 → a > 1 ， 当a =1 时， f(a) = -1+ 1 = 0 ，此时函数在x = a 处与x 负半轴相切，只有两个零点，因此a 必须严格大于 1. 18．【详解】（1）函数f (x ) = 中， 3x + a ≠ 0 ， 由f (x) 是奇函数，得f (x) + f (-x) = 0 ，即 + = 0 ，整理得(a + 1)(3x + 3-x + 2) = 0 ，解得a = -1 ，此时f (x ) = ， 所以f (x)满足f (x ) + f (-x ) = + = + = 0 ，即函数f (x)为奇函数，符合题意，所以a = -1 . （2） 由（1）知f (x ) = = 1+ ，其定义域为(-∞, 0) (0, +∞)，显然f (x)在(-∞, 0) ，(0, +∞) 上均单调递减， 且当x ∈(-∞, 0) 时， 3x ∈ (0, 1) ，3x -1 ∈ (-1, 0) ， ∈ (-∞ , -2 ) ，所以f (x ) = 1 + ∈ (-∞ , -1) ， 同理可得当x ∈(0, +∞) 时， f (x) ∈ (1, +∞) ， 若f (x +1) > f (3 - 2x) ，可能满足以下几种情况： ( 〔 x + 1 > 0 )① { 3 - 2x > 0 解得- 1 < x < 2 ② {〔x + 1 > 0 解得x > 3 lx + 1 < 3 - 2x ， 3 ， l3 - 2x < 0 ， 2 ， 答案第3页，共 4页 学科网（北京）股份有限公司 a = 0 时， f(x) 在 R 上为增函数， ( 所以实数 m 的取值范围是 |L 4 , +∞ , . )③ {l3 (〔x) -+ 2x (1<)0 ，解得{x (x) 1 ，显然无解， 综上，实数 x 的取值范围是(|(-1, ), (|( , +∞), （3） 由（2）知， f (x ) = 1 + ， 当0 < x ≤ 1时， 0 < 3x -1≤ 2 ，故1+ ≥ 2 ，所以f (x ) = 1 + 在(0, 1] 上值域为[2, +∞) ， 又g (x ) = log3 . log3 + m = (log3 x -1)(log3 x - 2) + m = (log3 x )2 - 3log3 x + 2 + m ，x ∈[3, 27]，令log3 x = t ， t ∈[1, 3]， 则y = t2 - 3t + 2 + m = (|(t - ), 2 - + m ， 所以当t = 时， ymin = - + m ，当t = 3 时， ymax = 2 + m ，所以函数g(x)在[3, 27]上值域为「|L- + m, 2 + m ， ( 「 9 ) )因为对任意的x1 ∈ [3, 27] ，总存在x2 ∈ (0, 1] ，使得g(x1 ) = f (x2 ) 成立，则「|L- + m, 2 + m ≤ [2, +∞) ， 可得- + m ≥ 2 ，解得m ≥ . 19．【详解】（1） 由题设f (x) = x -ln x ，则f, (x ) = 1 - ，故f (e) = e -1 ， f, (e) = 1 - ， 所以函数f (x)在x =e处的切线方程为y- (e -1) = (1- )(x - e) ，整理得(e -1)x - ey = 0 ； （2） 由题设f, (x ) = m - = 且x > 0 ， 当m ≤ 0 时， f, (x) < 0 ，即f (x)在(0, +∞) 上单调递减， 此时，在区间[1, e]上有最小值f (e) = me -1= -2 ，可得m = - ； 当m > 0 时， 0 < x < 时f, (x) < 0 ， x > 时f, (x) > 0 ，所以f (x)在(0, ) 上单调递减，在( , +∞) 上单调递增， 若 ≥ e ，即0 < m ≤ 时，在区间[1, e]上有最小值f (e) = me -1= -2 ，可得m = - ，不符合； 若1< < e ，即 < m < 1 时，在区间[1, e]上有最小值f|(( ), = 1 + ln m = -2 ，可得m = ，不符合；若 ≤ 1 ，即m ≥ 1 时，在区间[1, e]上有最小值f (1) = m = -2 ，不符合； 综上， m = - ； （3） 由题设 ex - λx(x -ln x) ≥ 0 且x > 0 ， 对于y = x -ln x ，有y, = 1 - ，则0 < x < 1时y, < 0 ， x > 1 时y, > 0 ， 所以y = x -ln x 在(0,1)上单调递减，在(1, +∞) 上单调递增，则y ≥1-ln1 = 1，所以x -ln x ≥ 1 恒成立，则 λ ≤ - 在(0, +∞) 上恒成立， 令g(x) = - ，则g,(x) = ，令h(x) = x2 - xln x - 2x + ln x + 1，则h,(x) = 2x -ln x + - 3 ，令φ(x) = h,(x) ，则φ,(x) = 2 - - = ， 所以0 < x < 1时φ,(x) < 0 ， x > 1 时φ,(x) > 0 ，则φ(x) = h,(x) 在(0,1)上单调递减，在(1, +∞) 上单调递增， 故φ(x) = h,(x) ≥ h,(1) = 0 ，易知h(x) 在(0, +∞) 上单调递增，且h(1) = 0 ，所以0 < x < 1时h(x) < 0 ，即g,(x) < 0 ，x > 1 时h(x) > 0 ，即g ,(x) > 0 ， 所以g(x) 在(0,1)上单调递减，在(1, +∞) 上单调递增，故g(x) ≥ g(1) = e ，综上， λ ≤e . 答案第 4页，共 4页 学科网（北京）股份有限公司 $