第12章 因式分解 练习 2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学上册

沪教版七年级数学上册第12章练习卷（一） （考查范围：第12章因式分解） 1．对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（   ） A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解 2.已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 3.当n为自然数时，（n+1）2﹣（n﹣3）2一定能（　　） A．被5整除 B．被6整除 C．被7整除 D．被8整除 4.把分解因式，正确的分组为（　　） A． B． C． D． 5.下列各式中，不能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 6．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘，积为，乙与丙相乘，积为，那么甲与丙相加的结果是（ ） A． B． C． D． 二．填空题 7．分解因式： ____________． 8.若关于的二次三项式能分解成两个整系数的一次多项式的积，则有 个可能的取值。 9.甲乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则2a+b＝_____． 10.因式分解18axy﹣3ax2﹣27ay2= 11.如果100x2+kxy+49y2能分解为（10x﹣7y）2，那么k＝　　． 12.若关于x的多项式x2﹣px﹣6含有因式x﹣2，则实数p的值为 13.如果是一个完全平方式，则的关系是___________． 14.已知，则． 15.△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，则△ABC的形状是 16.已知：若，则的值为________． 17.如果已知，，则的值为________． 18.已知两个正方形的周长差是96cm，面积差是960，则这两个正方形的边长分别是________________cm． 3． 解答题 19.因式分解 (1)； (2)． (3) (4) (5)； (6)． 20. 十九世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”． 通过以上“热门定理”的概述请同学们解决下列问题 1.根据以上方法，把下列各式因式分解： (1)； (2)． 2.添项，拆项还可以进行分解多项式可以用如下方法分解因式： ①； 又比如多项式可以这样分解： ②； 仿照以上方法，分解多项式 3.由此可见，拆项是因式分解中一种技巧较强的方法，它通常是把多项式中的某一项拆成几项，再分组分解，因而有时需要多次实验才能成功，例如把分解因式，这是一个三项式，最高次项是三次项，一次项系数为零，本题既没有公因式可提取，又不能直接应用公式，因而考虑制造分组分解的条件，把常数项拆成1和3，原式就变成，再利用立方和与平方差先分解，解法如下： 原式 备注：立方和和立方差公式： ， 根据上述论法和解法，请你完成下列题目 （1） 因式分解： （2） 因式分解： （3）因式分解：． 21.定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”. （1）若，，直接写出，的“如意数”； （3） 如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数” ； （3）已知，且，的“如意数”为，请用含的式子表示. 沪教版七年级数学上册第12章练习卷（一）参考答案 （考查范围：第12章因式分解） 1．对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ C  ） A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解 解：①，从左到右的变形是因式分解； ，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解； 所以①是因式分解，②是乘法运算． 故选：C． 2.已知，则的值为（ A   ） A． B． C． D． 解：∵， ∴， ∴，， ，，故A正确． 3.当n为自然数时，（n+1）2﹣（n﹣3）2一定能（　D　） A．被5整除 B．被6整除 C．被7整除 D．被8整除 解：（n+1）2﹣（n﹣3）2＝n2+2n+1﹣n2+6n﹣9＝8n﹣8＝8（n﹣1）， ∴能被8整除， 故选：D． 4.把分解因式，正确的分组为（　A　） A． B． C． D． 把后三项为一组，利用完全平方公式计算，再利用平方差公式继续分解因式即可． 解： ． 故选：A． 5.下列各式中，不能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 解：选项，是平方差公式因式分解，不符合题意； 选项，是完全平方因式分解，不符合题意； 选项，不可以用公式法因式分解，符合题意； 选项，是平方差公式因式分解，不符合题意． 故选：． 6．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘，积为，乙与丙相乘，积为，则甲与丙相加的结果是（ A ） A． B． C． D． 首先将两个代数式进行因式分解，从而得出甲、乙、丙三个代数式，进而得出答案． 解：∵ ∴甲为：x+7，乙为：x－7，丙为：x-2， ∴甲+丙=（x+7）+（x-2）=2x+5，  故选A． 7．分解因式： ____________． 解：， 故答案为：． 8.若关于的二次三项式能分解成两个整系数的一次多项式的积，则有 个可能的取值 解析：，，有6个可能的取值. 9.甲乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则2a+b＝_____． 根据题意：分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，但是a正确，分解结果为（x+2）（x+4），a为6；乙看错了a，但是b正确，分解结果为（x+1）（x+9），b为9．代入2a+b即可． ∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）， ∴a＝6， 乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9）， ∴b＝9， ∴2a+b＝12+9＝21． 故答案为：21． 10.18axy﹣3ax2﹣27ay2 解：（1）18axy﹣3ax2﹣27ay2 ＝﹣3a（﹣6xy+x2+9y2） ＝﹣3a（x﹣3y）2； 11.如果100x2+kxy+49y2能分解为（10x﹣7y）2，那么k＝　﹣140　． 【分析】根据完全平方公式展开，再根据对应项系数相等即可求解． 解：∵（10x﹣7y）2， ＝100x2﹣140xy+49y2， ＝100x2+kxy+49y2， ∴k＝﹣140． 故应填﹣140． 12.若关于x的多项式x2﹣px﹣6含有因式x﹣2，则实数p的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1 设x2﹣px﹣6＝（x﹣2）（x﹣a），右边利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件即可求出p的值． 解：根据题意设x2﹣px﹣6＝（x﹣2）（x﹣a）＝x2﹣（a+2）x+2a， ∴﹣p＝﹣a﹣2，2a＝﹣6， 解得：a＝﹣3，p＝﹣1． 13.如果是一个完全平方式，则的关系是___________． 解． 14.已知，则． 解：因为，所以． 即，所以． 15.△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状． 先把a2﹣ab﹣ac+bc＝0因式分解，得出（a﹣b）（a﹣c）＝0，由此得出a＝b，或a＝c，或a＝b＝c，从而判断出△ABC是等腰三角形或等边三角形． 解：∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0， ∴（a2﹣ab）+（﹣ac+bc）＝0， a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0， （a﹣b）（a﹣c）＝0， ∴a﹣b＝0或a﹣c＝0，a＝b且a＝c， 即a＝b，或a＝c，或a＝b＝c， ∴△ABC是等腰三角形或等边三角形． 16.已知：若，则的值为________． 解∵， ∴． ∴a = 4b或a = -b，∴的值为4或-1． 17.如果已知，，则的值为________． 解 18.已知两个正方形的周长差是96cm，面积差是960，则这两个正方形的边长分别是________________cm． 解:设较大的边长为，较小的边长为，由两个正方形的周长差是96cm，面积差是960，可得；由此变形可得，∴． 三．解答题 因式分解． (1)； (2)． （1）运用整式乘法展开，根据完全平方公式因式分解； （2）分步分解，先提公因式，再运用平方差公式分解． （1）解： ； （2）解：原式 ． (3) (4) （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可得； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． (5)； (6)． （1）先提公因式，再用平方差公式分解； （2）提公因式后化简； （3）运用完全平方公式进行分解计算． 解（1）原式 （2）原式 （3）原式 20.十九世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”．通过以上“热门定理”的概述请同学们解决下列问题 （1）根据苏菲·热门的做法，将原式配上后，根据完全平方公式和平方差公式即可进行因式分解； （2）先分组，再利用提公因式法因式分解． 解 1.（1）原式 ； （2）原式 . 2.添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式可以用如下方法分解因式： ①； 又比如多项式可以这样分解： ②； 仿照以上方法，分解多项式的结果是 ． 直接根据添项、拆项的方法进行因式分解即可． 解： ， 故答案为： 3.项法是因式分解中一种技巧较强的方法，它通常是把多项式中的某一项拆成几项，再分组分解，因而有时需要多次实验才能成功，例如把分解因式，这是一个三项式，最高次项是三次项，一次项系数为零，本题既没有公因式可提取，又不能直接应用公式，因而考虑制造分组分解的条件，把常数项拆成1和3，原式就变成，再利用立方和与平方差先分解，解法如下： 原式 公式：， 根据上述论法和解法， （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）因式分解：． （1）将原式拆成，然后分别利用立方差和平方差公式因式分解后再提起公因式x-1即可； （2）将原式拆成，然后前两项利用立方差公式因式分解，后两项提取公因式即可确定答案； （3）将原式拆成，然后利用平方差公式因式分解即可． 解：（1） （2） （3） 定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”. （1）若，，直接写出，的“如意数”； （2）如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数” ； （3）已知，且，的“如意数”为，请用含的式子表示. 解：（1）根据题意，； （2）根据题意，， ∵， ∴即； （3）∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 1 学科网（北京）股份有限公司 $