期中检测02（能力卷） -2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

期中检测02（能力卷） 检测范围：选择性必修一全册 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高二上·湖北·期末）已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高二·全国·专题练习）已知直线的方程为，若直线不经过第二象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·河北·期中）已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 5．（2024·广东佛山·模拟预测）已知点在圆上运动，点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·全国·单元测试）对于空间任一点和不共线的三点，有，则“”是“四点共面”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·广西河池·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数（）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，，动点满足，若点的轨迹与圆：（）有且仅有三条公切线，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（25-26高二上·全国·单元测试）已知，，，，则（    ） A．直线的单位方向向量是 B．平面的一个法向量是 C．四点共面 D．点到直线的距离为 10．（24-25高二上·江西鹰潭·开学考试）已知圆及点，则下列说法正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．若点在圆上，则直线的斜率为 C．点在圆外 D．若是圆上任一点，则的取值范围为． 11．（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在上，且点到直线的距离为，则 . 13．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）如图，中，，，为中点，则的取值范围为 .    14．（2024·辽宁·一模）如图，四边形是正方形，平面，且，是线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知圆O： (1)过圆外一点引圆的切线，求切线方程； (2)设点P是直线上的一点，过点P作圆的切线，切点是M，求的面积最小值以及此时点P的坐标． 16. (15分) （2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知椭圆C的离心率为，左、右焦点分别为， (1)求C的方程； (2)已知点，证明：线段的垂直平分线与C恰有一个公共点； (3)设M是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程． 17. (15分) （23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点．    (1)证明：平面； (2)若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18. (17分) （2023·全国甲卷·高考真题）已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 19. (17分) （24-25高三上·河北邢台·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，是线段上的点.    (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长； (3)若平面，为垂足，直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的长. 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中检测02（能力卷） 检测范围：选择性必修一全册 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高二上·湖北·期末）已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点在椭圆上得出定义表达式，运用余弦定理，联立求得的值，再运用三角形面积公式即得. 【详解】 如图，不妨设，由点在椭圆上可得：①， 由余弦定理可得：，化简得：②， 由①式两边平方再减去②式，得：， 于是的面积为. 故选：D. 2．（2025高二·全国·专题练习）已知直线的方程为，若直线不经过第二象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法一：方程化为斜截式：，再依据题意分斜率是否为零即可求解；法二: 方程化为点斜式为，得到不论为何值直线都过定点，再数形结合即可求解. 【详解】法一：方程化为斜截式：，斜率存在，且直线与轴的交点为， 当时，直线的方程为，满足题意； 当时，直线不经过第二象限，点需在轴非正半轴上， 且斜率，即，解得． 综上可得，的取值范围为． 故选：C 法二：方程化为点斜式为， 所以不论为何值，直线都过定点， 作直线经过定点且平行于轴，直线经过定点和，如图所示， 因为直线不经过第二象限，所以和是符合条件的临界位置，即， 所以的取值范围为． 故选：C 3．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数量积的运算律以及模长公式，结合夹角公式即可代入求解. 【详解】由，的夹角为，且，得， ， 设与的夹角为，则， 由于，故 故选：A 4．（24-25高三上·河北·期中）已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】设双曲线方程为，然后代点计算即可求得，从而求解. 【详解】设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：A. 5．（2024·广东佛山·模拟预测）已知点在圆上运动，点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用，计算可得结论. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 又，所以， 所以， 因为，所以. 故选：A. 6．（25-26高二上·全国·单元测试）对于空间任一点和不共线的三点，有，则“”是“四点共面”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合空间四点共面的等价条件进行判断即可． 【详解】空间任意一点和不共线的三点， 令， 若，则，， ，， 所以四点共面， 所以充分性成立； 若四点共面， 当与四个点中的一个（比如点）重合时， ，可取任意值，不一定有， 即不一定有， 所以不能得到， 故必要性不成立， 所以“”是“四点共面”的充分不必要条件， 故选：B. 7．（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值； 方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出； 方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出． 【详解】方法一：设，所以， 由，解得：， 由椭圆方程可知，， 所以，，解得：， 即，因此． 故选：B． 方法二：因为①，， 即②，联立①②， 解得：， 而，所以， 即． 故选：B． 方法三：因为①，， 即②，联立①②，解得：， 由中线定理可知，，易知，解得：． 故选：B． 【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大． 8．（2024·广西河池·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数（）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，，动点满足，若点的轨迹与圆：（）有且仅有三条公切线，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由题意计算可得点的轨迹为圆，由公切线条数可知两圆外切，借助两圆外切的性质计算即可得解. 【详解】由题意可得，化简得， 即，即动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 由：（），可得， 故圆以为圆心，为半径，由两圆有且仅有三条公切线， 故两圆外切，即有，即. 故选：D. 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（25-26高二上·全国·单元测试）已知，，，，则（    ） A．直线的单位方向向量是 B．平面的一个法向量是 C．四点共面 D．点到直线的距离为 【答案】BC 【分析】对于A：利用直线的单位方向向量为，可判断；对于B：设平面的法向量是，利用，可得；对于C：利用向量共面定理与向量的坐标运算可判断；对于D：利用空间向量点到线的距离公式可判断. 【详解】对于A：因为，，所以直线的单位方向向量是或 （注意直线的单位方向向量有2个，是相反向量），故A错误； 对于B：设平面的法向量是，因为，， 所以则.令，可得，故B正确； 对于C：由题意得，则，所以，四点共面，故C正确; 对于D：，，， 则点到直线的距离为，故D错误. 故选：BC 10．（24-25高二上·江西鹰潭·开学考试）已知圆及点，则下列说法正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．若点在圆上，则直线的斜率为 C．点在圆外 D．若是圆上任一点，则的取值范围为． 【答案】ACD 【分析】根据题意转化为圆的标准方程，由圆心坐标可判断A选项，通过点代入圆的方程求得的值，进而由斜率公式可求的斜率并可判断B选项，点与圆的位置关系可判断C选项，利用圆心到的距离可得的取值范围并可判断D选项； 【详解】将把转化为标准方程, 则，如图所示： 对于A：圆心C的坐标为，故A正确； 对于B：当点在圆上，则有， 化简得，解得. 即，所以直线的斜率为，故B错误； 对于C：因为，所以点在圆外，故C正确； 对于D：因为， ， 所以，即，故D正确. 故选：ACD. 11．（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 【答案】ACD 【分析】由平行四边形的性质判断A；由且结合在渐近线上可求的坐标，从而可判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得，计算后可判断C的正误，或者利用并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面积后可判断D的正误. 【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限， 对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故， 故A正确； 对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且， 设，则，故，故， 由A得，故即，故B错误； 方法二：因为，因为双曲线中，， 则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则， 则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则， 方法三：在利用余弦定理知，， 即，则， 则为直角三角形，且，则，故B错误； 对于C，方法一：因为，故， 由B可知， 故即， 故离心率，故C正确； 方法二：因为，则，则，故C正确； 对于D，当时，由C可知，故， 故，故四边形为， 故D正确， 故选：ACD. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在上，且点到直线的距离为，则 . 【答案】5 【分析】由条件求点到抛物线的准线的距离，结合抛物线定义可得结论. 【详解】抛物线的准线方程为， 设点的坐标为，则， 因为点到直线的距离为， 所以点到准线的距离为， 由抛物线定义可得. 故答案为：. 13．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）如图，中，，，为中点，则的取值范围为 .    【答案】 【分析】以为坐标原点，所在的直线为轴，的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，结合题中条件确定的范围即可. 【详解】    以为坐标原点，所在的直线为轴，的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 设，又，则在第一象限或者第四象限，结合对称性，不妨设在第一象限， 则，整理得且， 又，结合图象知，， 则， 当时，取最大值为， 则，即的取值范围为， 故答案为：. 14．（2024·辽宁·一模）如图，四边形是正方形，平面，且，是线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为 . 【答案】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】 因为平面，则，，又四边形是正方形， 则，以为坐标原点，分别为轴的正半轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，且，则， ，，又是线段的中点，则， 则，，则， 设异面直线与所成角为，即， 则，所以， 即异面直线与所成角的正切值为. 故答案为： 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知圆O： (1)过圆外一点引圆的切线，求切线方程； (2)设点P是直线上的一点，过点P作圆的切线，切点是M，求的面积最小值以及此时点P的坐标． 【答案】(1)和 (2)点P 的坐标为，面积最小值为 【分析】（1）设过点的切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，求出切线方程，注意直线斜率不存在的情况． （2）由圆的几何性质可知，当的面积最小时，，求出OP的方程后即可得到点P的坐标，进一步可求的最小面积． 【详解】（1） 当切线斜率存在时，设切线的方程为，即， 圆心到切线的距离是2， ，解得， 切线方程为，即 当切线斜率不存在时，易知与圆也相切， 故所求切线方程为和 （2）由圆的几何性质可知，当时，的面积最小值． 又因为， 所以直线OP的方程为 由解得 即点P 的坐标为 此时的面积最小值为 16. (15分) （2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知椭圆C的离心率为，左、右焦点分别为， (1)求C的方程； (2)已知点，证明：线段的垂直平分线与C恰有一个公共点； (3)设M是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)点的轨迹是圆，该圆的方程为 【分析】(1)根据椭圆焦点坐标得，离心率为，得，从而求出，得出椭圆方程； (2)写出中垂线方程，联立椭圆方程，判别式等于零，即可证明恰一个公共点； (3)解法一：利用设直线方程联立椭圆方程的方法，根据判别式等于0，即可求解. 解法二：利用椭圆定义和线段垂直平分线的性质结合光学性质，得到 ，从而得到点的轨迹和轨迹方程. 【详解】（1）因为椭圆左、右焦点分别为，，所以，又因为椭圆C的离心率为， 得，所以椭圆方程为. （2）由，得直线斜率为，中点坐标为， 所以线段的垂直平分线方程为， 联立垂直平分线方程和椭圆方程 得，， ，所以直线与椭圆相切， 线段的垂直平分线与C恰有一个公共点； （3）解法一：设， 当时，的垂直平分线方程为， 此时或； 当时，的垂直平分线方程为， 联立， 得， 即 因为线段的垂直平分线与C恰有一个公共点， 故， 即， 则， 即， ， 即， ， 而，也满足该式， 故点的轨迹是圆，该圆的方程为，即. 解法二：设线段的垂直平分线与C恰有一个公共点为P， 则当点P不在长轴时，线段的垂直平分线即为点P处的切线， 也为的角平分线，      作的角平分线，根据椭圆的光学性质得， ，则， 故， 所以三点共线，所以， 所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆， 当P在椭圆长轴上时，M点为或也满足， 故点的轨迹是圆，该圆的方程为. 【点睛】方法点睛：判断直线与椭圆公共点的个数问题的方法是： (1)首先根据题意得到直线和椭圆方程； (2)联立直线和椭圆方程，消元得到一元二次方程； (3)计算，根据，判断直线与椭圆公共点的个数. 17. (15分) （23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点．    (1)证明：平面； (2)若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）存在， 【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，可得，即可证明； （2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求解；（ii）利用点到面距离的向量法求解即可. 【详解】（1）取的中点N，连接，如图所示：为棱的中点，   ， ， ∴四边形是平行四边形，， 又平面平面平面．             （2）， ∵平面平面，平面平面平面， 平面， 又平面，而，          ∴以点D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图：则， 为棱的中点，                         （i）， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 平面的一个法向量为，            ， 根据图形得二面角为钝角，则二面角的余弦值为            （ii）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设， 则，       由（2）知平面的一个法向量为， ， ∴点Q到平面的距离是 ，         ． 18. (17分) （2023·全国甲卷·高考真题）已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出； （2）设直线：，利用，找到的关系，以及的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值． 【详解】（1）设， 由可得，，所以， 所以， 即，因为，解得：． （2）因为，显然直线的斜率不可能为零， 设直线：，， 由可得，，所以，， ， 因为，所以， 即， 亦即， 将代入得， ，， 所以，且，解得或． 设点到直线的距离为，所以， ， 所以的面积， 而或，所以， 当时，的面积． 【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值. 19. (17分) （24-25高三上·河北邢台·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，是线段上的点.    (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长； (3)若平面，为垂足，直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取的中点，连接、，推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量可得出关于的方程，解出的值，即可求得的长； （3）设，设，根据空间向量的坐标运算求出点的坐标，将三棱锥的体积表示为关于的函数关系式， 利用基本不等式求出三棱锥体积的最大值，利用等号成立的条件求出的值，可得出点、的坐标，求出平面的法向量， 设，求出的坐标，根据求出的值，即可得解. 【详解】（1）取的中点，连接、， 因为，，则，   所以，所以，所以， 又因为，所以，则， 又因为，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、，所以，， 因为为棱上的点，设，其中， 所以，，且， 设平面的法向量为， 则， 不妨取，可得， 因为线与平面所成角的正弦值为， 所以， 则，化简可得：， 解得：或（舍去）. 所以. （3）设，因为，其中， 所以，，可得，即点， 因为平面，则点，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当点为线段的中点时，三棱锥的体积取最大值， 此时，点，    由（2）可知，此时，平面的一个法向量为， 设，其中， 则， 因为平面，则， 所以，，解得， 所以，， 所以.即的长为. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 学科网（北京）股份有限公司 $