2.4 单摆 导学案-2025-2026学年高二上学期物理人教版选择性必修第一册

第4节 单摆 【知识梳理】 一、单摆的回复力 1．单摆：由细线和小球组成，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略。忽略摆动过程中所受阻力的作用，单摆是实际摆的理想化模型。 2．单摆的回复力 （1）回复力的提供：摆球的重力沿圆弧切线的分力 （2）回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力和它偏离平衡位置的位移大小成正比，方向总是指向平衡位置，即F＝－x。 （3）运动规律：如图所示，摆球受重力G＝mg和绳子的拉力F两个力作用，将重力mg按切线方向和径向正交分解，则绳子的拉力F与重力的径向分力的合力充当了以悬点为圆心的圆周运动的向心力，而重力的切向分力G1提供了使摆球振动的回复力。当单摆运动到摆线与竖直方向夹角为θ的位置时，摆球受到的回复力为G1＝mgsinθ。 设单摆的摆长为l，在摆角θ＜5°的条件下，若将θ用弧度值来表示，就存在如下近似关系：sin θ≈θ。 上式中弧OP所对的弦OP就是摆角为θ时摆球对平衡位置的位移x，所以sin θ≈。 摆球在摆角θ很小的条件下受到的回复力近似表示为： G1＝－·x，令k＝，则G1＝－kx。 对一个确定的单摆来说，k是一个不随振动变化的定值，这表明摆球所受的回复力的大小跟摆球振动的位移成正比，负号则正好反映了摆球所受回复力的方向与摆球位移的方向相反（即回复力方向始终指向平衡位置）。由此可见，单摆在摆角θ＜5°的条件下的振动是简谐运动。 二、单摆的周期 1．实验研究：单摆的振幅、质量、摆长对周期各有什么影响？ 控制条件：实验主要是为研究属于简谐运动的单摆振动的周期，所以摆角不要超过5°。 步骤1：把摆长相同的两个摆球从不同高度释放，观察现象：摆球同步振动，说明单摆振动的周期与振幅无关。 步骤2：将摆长相同、质量不同的摆球拉到同一高度释放，观察现象：两摆球同步振动，即说明单摆的周期与摆球质量无关，不受其影响。 步骤3：取摆长不同，两个相同的摆球从某一高度同时释放，观察现象：两摆球振动不同步，而且摆长越长，振动就越慢。这说明单摆振动跟摆长有关。 实验表明：单摆的振动周期与摆球的质量无关；在振幅较小时，与振幅无关；但是与摆长有关，摆长越长，周期越长。 步骤4：定量研究周期跟摆长的关系：测量不同摆长下的单摆的振动周期，实验需要精确地测量两个物理量，它们是摆长和周期。 ①摆长的测量：用带毫米刻度的米尺测量摆线的长度，用游标卡尺测量摆球的直径。摆长等于摆线长度与摆球半径之和。 ②周期的测量：用停表测出单摆30～50次全振动的时间t，周期为：T＝。 2．周期公式：荷兰物理学家惠更斯研究了单摆的振动，在大量可靠的实验基础上，经过一系列的理论推导和证明得到：单摆的周期和摆长l的平方根成正比，和重力加速度g的平方根成反比，而与振幅、摆球的质量无关。 惠更斯确定了单摆振动的周期公式：T＝2π。 【典型例题】 例1：关于单摆，下列说法中正确的是： A．摆球受到的回复力的方向总是指向平衡位置 B．摆球受到的回复力是它的合力 C．摆球经过平衡位置时，所受的合力为零 D．摆角很小时，摆球受到的合力的大小跟摆球离开平衡位置的位移大小成正比 例2：（多选）下列情况下会使单摆的周期变大的是： A．将摆的振幅减为原来的一半 B．将摆从高山上移到平地上 C．将摆从北极移到赤道 D．用一个装满沙子的漏斗（漏斗质量很小）和一根较长的细线做成一个单摆，摆动中沙慢慢从漏斗中漏出 例3：一单摆由甲地移到乙地后,发现走时变快了,其变快的原因及调整的方法是： A．g甲>g乙，将摆长缩短 B．g甲<g乙，将摆长放长 C．g甲<g乙，将摆长缩短 D．g甲>g乙，将摆长放长 例4：如图所示，两段光滑圆弧轨道半径分别为和，圆心分别为和，所对应的圆心角均小于，在最低点O平滑连接。现将一小球从M点释放，小球最远滚到右侧的N点，然后在之间来回滚动，下列判断正确的是： A．由于两轨道弯曲程度不同，所以M、N高度也不同，N点要低于M点 B．增大小球的质量，小球滚动的会更快 C．小球滚动周期 D．小球滚动周期 例5：在同一地点，甲、乙两单摆的摆球相对平衡位置的水平位移随时间变化的图像如图所示，则： A．甲的振幅小 B．乙的摆长短 C．时刻甲的摆角大 D．时刻两摆球速度相同 例6：如图甲所示，细线下悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器内装上墨汁。当注射器在竖直面内摆动时，沿着垂直于摆动方向匀速拖动一张硬纸板，注射器流出的墨水在硬纸板上形成了如图乙所示的曲线。关于图乙所示的图像，正确的是： A．轴表示拖动硬纸板的速度，轴表示注射器振动的位移 B．拖动硬纸板的速度越大，注射器振动的周期越短 C．拖动硬纸板的速度越大，注射器振动的周期越长 D．匀速拖动硬纸板移动距离的时间等于注射器振动的周期2倍 【课后作业】 （ ）1．一个充满水的塑料桶用绳子悬挂在固定点上摆动若桶是漏的，则随着水的流失，其周期将 A．总是变大 B．总是变小 C．先变小再变大 D．先变大再变小 （ ）2．单摆在摆动过程中，下列说法正确的是 A．回复力由重力和细线拉力的合力提供 B．摆动到最低点时回复力为零 C．动能变化的周期等于振动周期 D．小球质量越大，周期越长 （ ）3．将秒摆的周期变为4 s，下面哪些措施是正确的 A．只将摆球质量变为原来的1/4 B．只将振幅变为原来的2倍 C．只将摆长变为原来的4倍 D．只将摆长变为原来的16倍 （ ）4．（多选）有一个单摆，原来的周期是。在下列情况下，对周期变化的判断正确的是 A．摆长减为原来的，周期也减为原来的 B．摆球的质量减为原来的，周期 C．振幅减为原来的，周期不变 D．重力加速度减为原来的，周期变为原来的4倍 （ ）5．宇航员将一个单摆带到某一星球上去，发现该单摆在这颗星球表面的振动周期是它在地球上振动周期的2倍，以g0表示地球表面的重力加速度，以g表示这颗星球表面的重力加速度，则 A． B． C． D． （ ）6．下列说法中不正确的是 A．将单摆从地球赤道移到南（北）极，振动频率将变大 B．将单摆从地面移至距地面高度为地球半径高度，则其振动周期将变到原来的2倍 C．将单摆移至绕地球运转的人造卫星中，其振动频率将不变 D．在摆角很小的情况下，将单摆的振幅增大或减小，单摆的振动周期保持不变 （ ）7．（多选）如图所示，有一个摆长为l的单摆，现将摆球A拉离平衡位置一个很小的角度，然后由静止释放，A摆至平衡位置P时，恰与静止在P处的B球发生碰撞，碰后A继续向右摆动，B球以速度v沿光滑水平面向右运动，与右侧的墙壁碰撞后以原速率返回，当B球重新回到位置P时能与A再次相遇，则位置P与墙壁间的距离d可能为 A． B． C． D． （ ）8．（多选）如图所示是甲，乙两个单摆做简谐运动的图像，则下列说法中正确的是 A．甲、乙两摆的振幅之比为2∶1 B．s时，甲摆的重力势能最小，乙摆的动能为零 C．甲、乙两摆的摆长之比为4∶1 D．甲摆的机械能比乙摆的大 （ ）9．某实验小组在研究单摆时改进了实验方案，将一力传感器连接到计算机上。图1中O点为单摆的固定悬点，现将摆球（可视为质点）拉至A点，此时细线处于张紧状态。由A位置静止释放摆球，则摆球将在竖直平面内的之间来回摆动，其中B点为最低位置，小于5°且大小未知，同时由计算机得到了摆线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，如图2所示（图中所标字母均为已知量），且图中时刻为摆球从A点开始运动的时刻。已知摆长为l，重力加速度为g。根据题中（包括图中）所给的信息，下列说法正确的是。 A．该单摆的周期为 B．摆球的质量为 C．若增加摆球的质量，则测得单摆的周期变小 D．若在地球的两极做该实验，则测得单摆的周期最大 E．摆球在最低点B时的速度大小为 10．如图所示，光滑圆槽的半径R远大于小球运动的弧长。甲、乙、丙三个小球（均可视为质点）同时由静止释放，开始时，甲球比乙球离槽最低点O远些，丙球在槽的圆心处。请比较它们第一次到达点O的先后顺序，并说明理由。 11．如图甲，置于水平长木板上的滑块用细绳跨过定滑轮与钩码相连，拖动固定其后的纸带一起做匀加速直线运动，一盛有有色液体的小漏斗（可视为质点），用较长的细线系于纸带正上方的O点，当滑块运动的同时，漏斗在垂直于滑块运动方向的竖直平面内做摆角很小（小于5°）的摆动。漏斗中漏出的有色液体在纸带上留下如图乙所示的痕迹。测得漏斗摆动时细线中拉力的大小F随时间t的变化图像如图丙所示，重力加速度为g， （1）试证明此漏斗做简谐运动； （2）根据图丙求漏斗振动的周期T及摆长l； （3）图乙中测得A、C两点间距离为，A、E两点间距离为。求滑块加速度的大小及液体滴在D点时滑块速度的大小。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4节 单摆 【知识梳理】 一、单摆的回复力 1．单摆：由细线和小球组成，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略。忽略摆动过程中所受阻力的作用，单摆是实际摆的理想化模型。 2．单摆的回复力 （1）回复力的提供：摆球的重力沿圆弧切线的分力 （2）回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力和它偏离平衡位置的位移大小成正比，方向总是指向平衡位置，即F＝－x。 （3）运动规律：如图所示，摆球受重力G＝mg和绳子的拉力F两个力作用，将重力mg按切线方向和径向正交分解，则绳子的拉力F与重力的径向分力的合力充当了以悬点为圆心的圆周运动的向心力，而重力的切向分力G1提供了使摆球振动的回复力。当单摆运动到摆线与竖直方向夹角为θ的位置时，摆球受到的回复力为G1＝mgsinθ。 设单摆的摆长为l，在摆角θ＜5°的条件下，若将θ用弧度值来表示，就存在如下近似关系：sin θ≈θ。 上式中弧OP所对的弦OP就是摆角为θ时摆球对平衡位置的位移x，所以sin θ≈。 摆球在摆角θ很小的条件下受到的回复力近似表示为： G1＝－·x，令k＝，则G1＝－kx。 对一个确定的单摆来说，k是一个不随振动变化的定值，这表明摆球所受的回复力的大小跟摆球振动的位移成正比，负号则正好反映了摆球所受回复力的方向与摆球位移的方向相反（即回复力方向始终指向平衡位置）。由此可见，单摆在摆角θ＜5°的条件下的振动是简谐运动。 二、单摆的周期 1．实验研究：单摆的振幅、质量、摆长对周期各有什么影响？ 控制条件：实验主要是为研究属于简谐运动的单摆振动的周期，所以摆角不要超过5°。 步骤1：把摆长相同的两个摆球从不同高度释放，观察现象：摆球同步振动，说明单摆振动的周期与振幅无关。 步骤2：将摆长相同、质量不同的摆球拉到同一高度释放，观察现象：两摆球同步振动，即说明单摆的周期与摆球质量无关，不受其影响。 步骤3：取摆长不同，两个相同的摆球从某一高度同时释放，观察现象：两摆球振动不同步，而且摆长越长，振动就越慢。这说明单摆振动跟摆长有关。 实验表明：单摆的振动周期与摆球的质量无关；在振幅较小时，与振幅无关；但是与摆长有关，摆长越长，周期越长。 步骤4：定量研究周期跟摆长的关系：测量不同摆长下的单摆的振动周期，实验需要精确地测量两个物理量，它们是摆长和周期。 ①摆长的测量：用带毫米刻度的米尺测量摆线的长度，用游标卡尺测量摆球的直径。摆长等于摆线长度与摆球半径之和。 ②周期的测量：用停表测出单摆30～50次全振动的时间t，周期为：T＝。 2．周期公式：荷兰物理学家惠更斯研究了单摆的振动，在大量可靠的实验基础上，经过一系列的理论推导和证明得到：单摆的周期和摆长l的平方根成正比，和重力加速度g的平方根成反比，而与振幅、摆球的质量无关。 惠更斯确定了单摆振动的周期公式：T＝2π。 【典型例题】 例1：关于单摆，下列说法中正确的是： A A．摆球受到的回复力的方向总是指向平衡位置 B．摆球受到的回复力是它的合力 C．摆球经过平衡位置时，所受的合力为零 D．摆角很小时，摆球受到的合力的大小跟摆球离开平衡位置的位移大小成正比 例2：（多选）下列情况下会使单摆的周期变大的是： CD A．将摆的振幅减为原来的一半 B．将摆从高山上移到平地上 C．将摆从北极移到赤道 D．用一个装满沙子的漏斗（漏斗质量很小）和一根较长的细线做成一个单摆，摆动中沙慢慢从漏斗中漏出 例3：一单摆由甲地移到乙地后,发现走时变快了,其变快的原因及调整的方法是： B A．g甲>g乙，将摆长缩短 B．g甲<g乙，将摆长放长 C．g甲<g乙，将摆长缩短 D．g甲>g乙，将摆长放长 例4：如图所示，两段光滑圆弧轨道半径分别为和，圆心分别为和，所对应的圆心角均小于，在最低点O平滑连接。现将一小球从M点释放，小球最远滚到右侧的N点，然后在之间来回滚动，下列判断正确的是： C A．由于两轨道弯曲程度不同，所以M、N高度也不同，N点要低于M点 B．增大小球的质量，小球滚动的会更快 C．小球滚动周期 D．小球滚动周期 例5：在同一地点，甲、乙两单摆的摆球相对平衡位置的水平位移随时间变化的图像如图所示，则： C A．甲的振幅小 B．乙的摆长短 C．时刻甲的摆角大 D．时刻两摆球速度相同 例6：如图甲所示，细线下悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器内装上墨汁。当注射器在竖直面内摆动时，沿着垂直于摆动方向匀速拖动一张硬纸板，注射器流出的墨水在硬纸板上形成了如图乙所示的曲线。关于图乙所示的图像，正确的是： D A．轴表示拖动硬纸板的速度，轴表示注射器振动的位移 B．拖动硬纸板的速度越大，注射器振动的周期越短 C．拖动硬纸板的速度越大，注射器振动的周期越长 D．匀速拖动硬纸板移动距离的时间等于注射器振动的周期2倍 【课后作业】 （ ）1．一个充满水的塑料桶用绳子悬挂在固定点上摆动若桶是漏的，则随着水的流失，其周期将D A．总是变大 B．总是变小 C．先变小再变大 D．先变大再变小 （ ）2．单摆在摆动过程中，下列说法正确的是B A．回复力由重力和细线拉力的合力提供 B．摆动到最低点时回复力为零 C．动能变化的周期等于振动周期 D．小球质量越大，周期越长 （ ）3．将秒摆的周期变为4 s，下面哪些措施是正确的C A．只将摆球质量变为原来的1/4 B．只将振幅变为原来的2倍 C．只将摆长变为原来的4倍 D．只将摆长变为原来的16倍 （ ）4．（多选）有一个单摆，原来的周期是。在下列情况下，对周期变化的判断正确的是AC A．摆长减为原来的，周期也减为原来的 B．摆球的质量减为原来的，周期 C．振幅减为原来的，周期不变 D．重力加速度减为原来的，周期变为原来的4倍 （ ）5．宇航员将一个单摆带到某一星球上去，发现该单摆在这颗星球表面的振动周期是它在地球上振动周期的2倍，以g0表示地球表面的重力加速度，以g表示这颗星球表面的重力加速度，则A A． B． C． D． （ ）6．下列说法中不正确的是C A．将单摆从地球赤道移到南（北）极，振动频率将变大 B．将单摆从地面移至距地面高度为地球半径高度，则其振动周期将变到原来的2倍 C．将单摆移至绕地球运转的人造卫星中，其振动频率将不变 D．在摆角很小的情况下，将单摆的振幅增大或减小，单摆的振动周期保持不变 （ ）7．（多选）如图所示，有一个摆长为l的单摆，现将摆球A拉离平衡位置一个很小的角度，然后由静止释放，A摆至平衡位置P时，恰与静止在P处的B球发生碰撞，碰后A继续向右摆动，B球以速度v沿光滑水平面向右运动，与右侧的墙壁碰撞后以原速率返回，当B球重新回到位置P时能与A再次相遇，则位置P与墙壁间的距离d可能为BD A． B． C． D． （ ）8．（多选）如图所示是甲，乙两个单摆做简谐运动的图像，则下列说法中正确的是AB A．甲、乙两摆的振幅之比为2∶1 B．s时，甲摆的重力势能最小，乙摆的动能为零 C．甲、乙两摆的摆长之比为4∶1 D．甲摆的机械能比乙摆的大 （ ）9．某实验小组在研究单摆时改进了实验方案，将一力传感器连接到计算机上。图1中O点为单摆的固定悬点，现将摆球（可视为质点）拉至A点，此时细线处于张紧状态。由A位置静止释放摆球，则摆球将在竖直平面内的之间来回摆动，其中B点为最低位置，小于5°且大小未知，同时由计算机得到了摆线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，如图2所示（图中所标字母均为已知量），且图中时刻为摆球从A点开始运动的时刻。已知摆长为l，重力加速度为g。根据题中（包括图中）所给的信息，下列说法正确的是。ABE A．该单摆的周期为 B．摆球的质量为 C．若增加摆球的质量，则测得单摆的周期变小 D．若在地球的两极做该实验，则测得单摆的周期最大 E．摆球在最低点B时的速度大小为 10．如图所示，光滑圆槽的半径R远大于小球运动的弧长。甲、乙、丙三个小球（均可视为质点）同时由静止释放，开始时，甲球比乙球离槽最低点O远些，丙球在槽的圆心处。请比较它们第一次到达点O的先后顺序，并说明理由。 答案：丙先到，然后甲、乙同时到。 解析：由于光滑圆槽的半径R远大于小球运动的弧长，故甲、乙的运动可看成类似单摆的简谐运动，周期为 甲、乙运动到O点的时间相等，为 丙自由下落，可得 对比可知，故第一次到达点O应该是丙先到，然后甲、乙同时到。 11．如图甲，置于水平长木板上的滑块用细绳跨过定滑轮与钩码相连，拖动固定其后的纸带一起做匀加速直线运动，一盛有有色液体的小漏斗（可视为质点），用较长的细线系于纸带正上方的O点，当滑块运动的同时，漏斗在垂直于滑块运动方向的竖直平面内做摆角很小（小于5°）的摆动。漏斗中漏出的有色液体在纸带上留下如图乙所示的痕迹。测得漏斗摆动时细线中拉力的大小F随时间t的变化图像如图丙所示，重力加速度为g， （1）试证明此漏斗做简谐运动； （2）根据图丙求漏斗振动的周期T及摆长l； （3）图乙中测得A、C两点间距离为，A、E两点间距离为。求滑块加速度的大小及液体滴在D点时滑块速度的大小。 答案：（1）见解析（2）2t0，（3）， 解析：（1）对漏斗，设当偏角为θ时，位移为x，且设位移x的方向为正方向． 重力垂直绳方向的分力提供回复力F=mgsinθ 当θ很小时，  回复力方向与x方向相反，可得 ，满足F=-kx，可知漏斗的振动为简谐振动。 （2）根据图丙求可知漏斗振动的周期T=2t0 根据单摆的周期公式可得摆长 (3)由匀变速直线运动的规律可知，即 解得 液滴在D点时滑块速度的大小 学科网（北京）股份有限公司 $