2.2 简谐运动的描述 导学案-2025-2026学年高二上学期物理人教版选择性必修第一册

第2节 简谐运动的描述 【知识梳理】 问题导入：上一节课已经知道做简谐运动的物体的位移x与运动时间t之间满足正弦函数关系（如图所示），则位移的一般函数表达式可写为：x＝Asin（ωt＋φ），其中| sin（ωt＋φ）|的取值范围为| sin（ωt＋φ）|≤1 一、描述简谐运动的物理量 1．振幅 （1）定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫作振动的振幅．用A表示，单位为米（m）。 （2）物理含义：振幅是表示振动幅度大小的物理量，振动物体运动范围是振幅的两倍；振幅的大小反映了振动的强弱和振动系统能量的大小。 （3）振幅是标量。 2．全振动 （1）定义：如图振子在MM′之间振动，如果从振子向右通过O点的时刻开始计时，它将运动到M，然后向左回到O，又继续向左运动到达M′，之后又向右回到O。这样一个完整的振动过程称为一次全振动。若从图中P0点向右运动开始计时，经历的一次全振动应为P0→M→P0→O→M′→O→P0. （2）特征： ① 当完成一次全振动时，振动的位移（x）、加速度（a）、速度（v）三者第一次同时恢复到与初始状态相同。 ② 从任意一点开始计时，物体完成一次全振动的时间总是相同的。 3．周期（T）和频率（f） 内　容 周　期 频　率 定　义 做简谐运动的物体完成一次全振动所用的时间 单位时间内完成全振动的次数 单　位 秒（s） 赫兹（Hz） 物理 含义 都是表示振动快慢的物理量，周期越小，频率越高，表示物体振动越快。 联　系 T＝ 4．圆频率（ω） 数学推导：依据正弦函数规律x＝Asin（ωt＋φ），其中（ωt＋φ）每增加2π，位移值x循环变化一次，这一过程正好为一次全振动的时间，也就是一个周期T。 于是有[ω（t＋T）＋φ]—（ωt＋φ）＝2π 解得ω＝或ω＝2πf （1）圆频率ω是一个与周期成 比、与频率成 比的量，也可以表示简谐运动的快慢。 （2）ω越大，周期越 ，频率越 ，物体振动越 。 匀速圆周运动与简谐运动的关系： θ＝ωt R＝A x＝Rsin（θ＋φ）＝Asin（ωt＋φ） ω是匀速圆周运动的角速度，即ω＝或ω＝2πf 二、简谐运动的一般表达式 1．表达式：x＝Asin或x＝Asin（t＋φ） （1）“A”表示简谐运动的 ． （2）“ω”是一个与 成正比的物理量叫简谐运动的 ． （3）“T”表示简谐运动的 ，“f”表示简谐运动的 ，它们之间的关系为T＝ ． 2．相位和相位差 （1）相位：当（ωt＋φ）确定时，x＝Asin（ωt＋φ）的函数值也就确定了，即物体做简谐运动的位置状态就确定了。物理学中把（ωt＋φ）叫作相位。φ是t＝0时的相位，称为 初相位或初相。 （2）相位差：指两个简谐运动的相位之差，可以反映出两个简谐运动的步调差异，经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差。 讨论：Δφ＝（ωt＋φ1）－（ωt＋φ2）＝φ1－φ2 （－π≤Δφ≤π） ①Δφ＝0，表明两振动步调完全相同，称为同相。 ②Δφ＝π或－π，表明两振动步调完全相反，称为反相。 ③Δφ>0，表示振动1的相位比振动2超前Δφ。 ④Δφ<0，表示振动1的相位比振动2落后Δφ。 三、振幅与位移、路程、周期的关系 （1）振幅与位移：振动中的位移是矢量，随时间做周期性的变化；振幅是标量，在同一简谐运动中振幅大小是确定的，等于最大位移的大小。 （2）振幅与路程：振动中的路程是标量，随时间不断增大的。其中物体从任意一点开始，一个周期内的路程为4倍振幅，半个周期内的路程为2倍振幅。（个周期内的路程不一定为1倍振幅，除非从两个端点或平衡位置开始计时） （3）周期与振幅：周期（或频率）由振动系统本身的因素决定，是固定的。振幅与系统的能量有关，同一振动系统能量越大，振幅越大，周期（或频率）不变。 【典型例题】 例1：如图所示，弹簧振子以O为平衡位置在BC间做简谐运动，则： C A．从B→O→C为一次全振动 B．从O→B→O→C为一次全振动 C．从C→O→B→O→C为一次全振动 D．从D→C→O→B→O为一次全振动 例2：一个做简谐运动的质点，它的振幅是4 cm，频率是2.5 Hz，该质点从平衡位置开始经过2.5 s后，位移的大小和经过的路程为： B A．4 cm　10 cm　　　 B．4 cm　100 cm C．0　24 cm D．0　100 cm 例3：（多选）一个弹簧振子的振幅是A，若在Δt的时间内物体运动的路程是s，则下列关系中一定错误的是（包括一定正确的）： B A．Δt＝，s＝2A B．Δt＝，s>2A C．Δt＝，s＝A D．Δt＝，s>A 例4：如图，弹簧振子的平衡位置为0点，在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距20 cm。小球经过B点时开始计时，经过0.5s首次到达C点。 （1）画出小球在第一个周期内的x-t图像。 （2）求5s内小球通过的路程及5s末小球的位移。 答案：（1），（2）2m，0.1m 例5：一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8 cm，频率为0.5 Hz，在t＝0时，位移是4 cm，且向x轴负方向运动，试写出用正弦函数表示的振动方程，并画出相应的振动图像。 答案：，略 例6：一个小球在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过3s小球第一次经过M点，再继续运动，又经过2s它第二次经过M点；求该小球做简谐运动的可能周期。 答案：16s， 【课堂练习】 （ ）1．光滑水平面内的弹簧振子做简谐运动，经过半个周期，振子D A．动量一定不变 B．速度一定不变 C．加速度一定不变 D．动能一定不变 （ ）2．某简谐运动的位移-时间图像如图所示，下列说法正确的是B A．简谐运动的振幅为4 cm B．简谐运动的周期为0.4 s C．位移—时间图像就是振动质点的运动轨迹 D．振动质点经过图像中A点时速度方向沿t轴负方向 （ ）3．（多选）物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sin m，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sin m．比较A，B的运动CDE A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m B．周期是标量，A，B周期相等，为100 s C．A振动的频率fA等于B振动的频率fB D．A振动的圆频率ωA等于B振动的圆频率ωB E．A的相位始终超前B的相位 （ ）4．两个简谐运动图像如图所示，则有B A．A比B超前 B．A比B落后 C．A比B超前π D．A比B落后π 5．如图所示为甲、乙两个简谐运动的位移—时间图象。请根据图象写出这两个简谐运动的表达式。 答案：xA＝0.5sin（5πt＋π）cm　xB＝0.2sin（2.5πt＋）cm 6．如图所示为A、B（实线为A，虚线为B）两个弹簧振子的振动图像，试写出它们的位移方程，并求出相位差Δφ。 答案：xA＝2sin（πt）cm，xB＝2sinπt＋cm， 【课后作业】 （ ）1．一个物体做简谐运动，下列说法中正确的是C A．物体运动过程中相距最远的两点之间的距离叫作振幅 B．物体先后两次经过同一位置所经历的时间叫作振动周期 C．物体在1秒钟内完成全振动的次数叫作振动频率 D．物体在各个时刻所处的不同状态叫作初相位 （ ）2．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝10sin cm，则下列关于质点运动的说法中正确的是C A．质点做简谐运动的振幅为5 cm B．质点做简谐运动的周期为4 s C．在t＝4 s时质点的速度最大 D．在t＝4 s时质点的位移最大 （ ）3．某沿水平方向振动的弹簧振子在0～6 s内做简谐运动的振动图像如图所示，由图可知C A．该振子的振幅为5cm，振动周期为6s B．第3 s末振子的速度沿x轴负方向 C．第3 s末到第4 s末的过程中，振子做减速运动 D．该振子的位移x和时间t的函数关系x＝5sint＋cm （ ）4．（多选）一个物体做简谐运动时，周期是T，振幅是A，那么物体BD A．在任意内通过的路程一定等于A B．在任意内通过的路程一定等于2A C．在任意内通过的路程一定等于3A D．在任意T内通过的路程一定等于4A （ ）5．一个做简谐运动的弹簧振子，周期为T，振幅为A，已知振子从平衡位置第一次运动到x＝处所用的最短时间为t1，从最大的正位移处第一次运动到x＝处所用的最短时间为t2，那么下列关于t1与t2的大小关系正确的是B A．t1＝t2 　　 B．t1<t2 C．t1>t2 　　 D．t1＝2t2 （ ）6．如图所示，小球在B、C之间做简谐运动，O为BC间的中点，B、C间的距离为10 cm，则下列说法正确的是D A．小球的最大位移是10 cm B．只有在B、C两点时，小球的振幅是5 cm，在O点时，小球的振幅是0 C．无论小球在任何位置，它的振幅都是10 cm D．从任意时刻起，一个周期内小球经过的路程都是20 cm （ ）7．如图所示，弹簧振子在振动过程中，振子从a到b历时0.2 s，振子经a、b两点时速度相同，若它从b再回到a的最短时间为0.4 s，则该振子的振动频率为B A．1 Hz B．1.25 Hz C．2 Hz D．2.5 Hz （ ）8．（多选）有两个简谐运动的振动方程分别是x1＝3sin100πt＋，x2＝5sin，下列说法正确的是BC A．它们的振幅相同 　　 B．它们的周期相同 C．它们的相位差恒定 　　 D．它们的振动步调一致 （ ）9．（多选）某质点做简谐运动，其位移与时间的关系式为x＝4sint＋cm，则BD A．质点的振幅为3 m B．质点振动的周期为3 s C．质点振动的周期为 s D．t＝0.75 s时刻，质点回到平衡位置 （ ）10．一简谐振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点．t＝0时刻振子的位移x＝－0.1 m；t＝ s时刻x＝0.1 m；t＝4 s时刻x＝0.1 m．该振子的振幅和周期不可能为B A．0.1 m， s　　 B．0.1 m，8 s C．0.2 m， s　　 D．0.2 m，8 s （ ）11．（多选）如图是一弹簧振子的振动图像，由图可知，下列说法中正确的是AC A．振动的周期是0.8 s B．0.1 s与0.3 s两时刻，振子的速度相同 C．0.1 s与0.3 s两时刻，振子的加速度相同 D．0.2～0.4 s时间内，振子的动能不断减小 （ ）12．弹簧振子做简谐运动，振子运动范围为0.8 cm，周期为0.5 s，计时开始时具有正向最大加速度，则它的振动方程是B A．x＝8×10－3sin4πt＋m B．x＝4×10－3sin4πt－m C．x＝8×10－3sin2πt＋m D．x＝4×10－3sin2πt－m （ ）13．如图所示，一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪很大，游船上下浮动．可把游艇浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为3.0 s．当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐．地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船．在一个周期内，游客能舒服地登船的时间是C A．0.5 s B．0.75 s C．1.0 s D．1.5 s 14．如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动．B、C相距30 cm.小球经过O点向右运动时开始计时，经过0.4 s第一次回到O点． （1）写出小球的振动方程； （2）求1.0 s内小球通过的路程及1.0 s末小球的位移大小． 答案：（1）x＝0.15sin（2.5πt）m（2）0.75 m，0.15 m 解析：（1）振子从O到第一次回到O所用时间t＝0.4 s，所以周期为T＝2t＝0.8 s 设振幅为A，由题意得BC＝2A＝30 cm，可得A＝15 cm＝0.15 m， 则振动方程为x＝Asint＝0.15sin（2.5πt）m （2）振子在1个周期内通过的路程为4A， 因t＝1.0 s＝1.25T，故振子在1.0 s内通过的路程s＝5A＝5×15 cm＝75 cm＝0.75 m，1.0 s末小球的位移为x＝0.15 m 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2节 简谐运动的描述 【知识梳理】 问题导入：上一节课已经知道做简谐运动的物体的位移x与运动时间t之间满足正弦函数关系（如图所示），则位移的一般函数表达式可写为：x＝Asin（ωt＋φ），其中| sin（ωt＋φ）|的取值范围为| sin（ωt＋φ）|≤1 一、描述简谐运动的物理量 1．振幅 （1）定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫作振动的振幅．用A表示，单位为米（m）。 （2）物理含义：振幅是表示振动幅度大小的物理量，振动物体运动范围是振幅的两倍；振幅的大小反映了振动的强弱和振动系统能量的大小。 （3）振幅是标量。 2．全振动 （1）定义：如图振子在MM′之间振动，如果从振子向右通过O点的时刻开始计时，它将运动到M，然后向左回到O，又继续向左运动到达M′，之后又向右回到O。这样一个完整的振动过程称为一次全振动。若从图中P0点向右运动开始计时，经历的一次全振动应为P0→M→P0→O→M′→O→P0. （2）特征： ① 当完成一次全振动时，振动的位移（x）、加速度（a）、速度（v）三者第一次同时恢复到与初始状态相同。 ② 从任意一点开始计时，物体完成一次全振动的时间总是相同的。 3．周期（T）和频率（f） 内　容 周　期 频　率 定　义 做简谐运动的物体完成一次全振动所用的时间 单位时间内完成全振动的次数 单　位 秒（s） 赫兹（Hz） 物理 含义 都是表示振动快慢的物理量，周期越小，频率越高，表示物体振动越快。 联　系 T＝ 4．圆频率（ω） 数学推导：依据正弦函数规律x＝Asin（ωt＋φ），其中（ωt＋φ）每增加2π，位移值x循环变化一次，这一过程正好为一次全振动的时间，也就是一个周期T。 于是有[ω（t＋T）＋φ]—（ωt＋φ）＝2π 解得ω＝或ω＝2πf （1）圆频率ω是一个与周期成 比、与频率成 比的量，也可以表示简谐运动的快慢。 （2）ω越大，周期越 ，频率越 ，物体振动越 。 匀速圆周运动与简谐运动的关系： θ＝ωt R＝A x＝Rsin（θ＋φ）＝Asin（ωt＋φ） ω是匀速圆周运动的角速度，即ω＝或ω＝2πf 二、简谐运动的一般表达式 1．表达式：x＝Asin或x＝Asin（t＋φ） （1）“A”表示简谐运动的 ． （2）“ω”是一个与 成正比的物理量叫简谐运动的 ． （3）“T”表示简谐运动的 ，“f”表示简谐运动的 ，它们之间的关系为T＝ ． 2．相位和相位差 （1）相位：当（ωt＋φ）确定时，x＝Asin（ωt＋φ）的函数值也就确定了，即物体做简谐运动的位置状态就确定了。物理学中把（ωt＋φ）叫作相位。φ是t＝0时的相位，称为 初相位或初相。 （2）相位差：指两个简谐运动的相位之差，可以反映出两个简谐运动的步调差异，经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差。 讨论：Δφ＝（ωt＋φ1）－（ωt＋φ2）＝φ1－φ2 （－π≤Δφ≤π） ①Δφ＝0，表明两振动步调完全相同，称为同相。 ②Δφ＝π或－π，表明两振动步调完全相反，称为反相。 ③Δφ>0，表示振动1的相位比振动2超前Δφ。 ④Δφ<0，表示振动1的相位比振动2落后Δφ。 三、振幅与位移、路程、周期的关系 （1）振幅与位移：振动中的位移是矢量，随时间做周期性的变化；振幅是标量，在同一简谐运动中振幅大小是确定的，等于最大位移的大小。 （2）振幅与路程：振动中的路程是标量，随时间不断增大的。其中物体从任意一点开始，一个周期内的路程为4倍振幅，半个周期内的路程为2倍振幅。（个周期内的路程不一定为1倍振幅，除非从两个端点或平衡位置开始计时） （3）周期与振幅：周期（或频率）由振动系统本身的因素决定，是固定的。振幅与系统的能量有关，同一振动系统能量越大，振幅越大，周期（或频率）不变。 【典型例题】 例1：如图所示，弹簧振子以O为平衡位置在BC间做简谐运动，则： A．从B→O→C为一次全振动 B．从O→B→O→C为一次全振动 C．从C→O→B→O→C为一次全振动 D．从D→C→O→B→O为一次全振动 例2：一个做简谐运动的质点，它的振幅是4 cm，频率是2.5 Hz，该质点从平衡位置开始经过2.5 s后，位移的大小和经过的路程为： A．4 cm　10 cm　　　 B．4 cm　100 cm C．0　24 cm D．0　100 cm 例3：（多选）一个弹簧振子的振幅是A，若在Δt的时间内物体运动的路程是s，则下列关系中一定错误的是（包括一定正确的）： A．Δt＝，s＝2A B．Δt＝，s>2A C．Δt＝，s＝A D．Δt＝，s>A 例4：如图，弹簧振子的平衡位置为0点，在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距20 cm。小球经过B点时开始计时，经过0.5s首次到达C点。 （1）画出小球在第一个周期内的x-t图像。 （2）求5s内小球通过的路程及5s末小球的位移。 例5：一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8 cm，频率为0.5 Hz，在t＝0时，位移是4 cm，且向x轴负方向运动，试写出用正弦函数表示的振动方程，并画出相应的振动图像。 例6：一个小球在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过3s小球第一次经过M点，再继续运动，又经过2s它第二次经过M点；求该小球做简谐运动的可能周期。 【课堂练习】 （ ）1．光滑水平面内的弹簧振子做简谐运动，经过半个周期，振子 A．动量一定不变 B．速度一定不变 C．加速度一定不变 D．动能一定不变 （ ）2．某简谐运动的位移-时间图像如图所示，下列说法正确的是 A．简谐运动的振幅为4 cm B．简谐运动的周期为0.4 s C．位移—时间图像就是振动质点的运动轨迹 D．振动质点经过图像中A点时速度方向沿t轴负方向 （ ）3．（多选）物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sin m，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sin m．比较A，B的运动 A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m B．周期是标量，A，B周期相等，为100 s C．A振动的频率fA等于B振动的频率fB D．A振动的圆频率ωA等于B振动的圆频率ωB E．A的相位始终超前B的相位 （ ）4．两个简谐运动图像如图所示，则有 A．A比B超前 B．A比B落后 C．A比B超前π D．A比B落后π 5．如图所示为甲、乙两个简谐运动的位移—时间图象。请根据图象写出这两个简谐运动的表达式。 6．如图所示为A、B（实线为A，虚线为B）两个弹簧振子的振动图像，试写出它们的位移方程，并求出相位差Δφ。 【课后作业】 （ ）1．一个物体做简谐运动，下列说法中正确的是 A．物体运动过程中相距最远的两点之间的距离叫作振幅 B．物体先后两次经过同一位置所经历的时间叫作振动周期 C．物体在1秒钟内完成全振动的次数叫作振动频率 D．物体在各个时刻所处的不同状态叫作初相位 （ ）2．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝10sin cm，则下列关于质点运动的说法中正确的是 A．质点做简谐运动的振幅为5 cm B．质点做简谐运动的周期为4 s C．在t＝4 s时质点的速度最大 D．在t＝4 s时质点的位移最大 （ ）3．某沿水平方向振动的弹簧振子在0～6 s内做简谐运动的振动图像如图所示，由图可知 A．该振子的振幅为5cm，振动周期为6s B．第3 s末振子的速度沿x轴负方向 C．第3 s末到第4 s末的过程中，振子做减速运动 D．该振子的位移x和时间t的函数关系x＝5sint＋cm （ ）4．（多选）一个物体做简谐运动时，周期是T，振幅是A，那么物体 A．在任意内通过的路程一定等于A B．在任意内通过的路程一定等于2A C．在任意内通过的路程一定等于3A D．在任意T内通过的路程一定等于4A （ ）5．一个做简谐运动的弹簧振子，周期为T，振幅为A，已知振子从平衡位置第一次运动到x＝处所用的最短时间为t1，从最大的正位移处第一次运动到x＝处所用的最短时间为t2，那么下列关于t1与t2的大小关系正确的是 A．t1＝t2 　　 B．t1<t2 C．t1>t2 　　 D．t1＝2t2 （ ）6．如图所示，小球在B、C之间做简谐运动，O为BC间的中点，B、C间的距离为10 cm，则下列说法正确的是 A．小球的最大位移是10 cm B．只有在B、C两点时，小球的振幅是5 cm，在O点时，小球的振幅是0 C．无论小球在任何位置，它的振幅都是10 cm D．从任意时刻起，一个周期内小球经过的路程都是20 cm （ ）7．如图所示，弹簧振子在振动过程中，振子从a到b历时0.2 s，振子经a、b两点时速度相同，若它从b再回到a的最短时间为0.4 s，则该振子的振动频率为 A．1 Hz B．1.25 Hz C．2 Hz D．2.5 Hz （ ）8．（多选）有两个简谐运动的振动方程分别是x1＝3sin100πt＋，x2＝5sin，下列说法正确的是 A．它们的振幅相同 　　 B．它们的周期相同 C．它们的相位差恒定 　　 D．它们的振动步调一致 （ ）9．（多选）某质点做简谐运动，其位移与时间的关系式为x＝4sint＋cm，则 A．质点的振幅为3 m B．质点振动的周期为3 s C．质点振动的周期为 s D．t＝0.75 s时刻，质点回到平衡位置 （ ）10．一简谐振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点．t＝0时刻振子的位移x＝－0.1 m；t＝ s时刻x＝0.1 m；t＝4 s时刻x＝0.1 m．该振子的振幅和周期不可能为 A．0.1 m， s　　 B．0.1 m，8 s C．0.2 m， s　　 D．0.2 m，8 s （ ）11．（多选）如图是一弹簧振子的振动图像，由图可知，下列说法中正确的是 A．振动的周期是0.8 s B．0.1 s与0.3 s两时刻，振子的速度相同 C．0.1 s与0.3 s两时刻，振子的加速度相同 D．0.2～0.4 s时间内，振子的动能不断减小 （ ）12．弹簧振子做简谐运动，振子运动范围为0.8 cm，周期为0.5 s，计时开始时具有正向最大加速度，则它的振动方程是 A．x＝8×10－3sin4πt＋m B．x＝4×10－3sin4πt－m C．x＝8×10－3sin2πt＋m D．x＝4×10－3sin2πt－m （ ）13．如图所示，一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪很大，游船上下浮动．可把游艇浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为3.0 s．当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐．地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船．在一个周期内，游客能舒服地登船的时间是 A．0.5 s B．0.75 s C．1.0 s D．1.5 s 14．如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动．B、C相距30 cm.小球经过O点向右运动时开始计时，经过0.4 s第一次回到O点． （1）写出小球的振动方程； （2）求1.0 s内小球通过的路程及1.0 s末小球的位移大小． 学科网（北京）股份有限公司 $