期中检测02（能力卷）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

期中检测02（能力卷） 检测范围：必修第一册第一章、第二章、第三章 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·天津·一模）设，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·贵州黔东南·二模）若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·湖北黄冈·一模）已知为正实数，且，则的最小值为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 6．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高三·全国·中职高考）给定一组函数解析式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（    ）                 A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤ C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤① 8．（2023·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数，若方程有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（25-26高一上·广东·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 10．（23-24高一下·云南红河·开学考试）下列说法正确的是（       ）. A．命题“，”的否定是“，” B．命题“，”是假命题 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件 11．（2024·河南信阳·模拟预测）若函数在上单调，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D．3 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为 ． 13．（23-24高一上·吉林延边·期中）设是定义在上的奇函数，则 14．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知函数的定义域是，，，当时，，则 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知全集为，集合，或求： (1) (2) (3) 16. (15分) （24-25高三上·海南·开学考试）（1）已知，求函数的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （3）已知，求的解析式. 17. (15分) （24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知实数、满足：. (1)求和的最大值； (2)求的最小值和最大值. 18. (17分) （24-25高一上·湖北·阶段练习）学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导､全科辅学功能､多国语言学习､标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习､情境学习､随身学习机外教､单词联想记忆､同步教材讲解､互动全真题库､权威词典､在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式； (2)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 19. (17分) （24-25高一上·四川广安·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且， (1)求a，b的值 (2)判断在上的单调性，并证明． (3)设若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中检测02（能力卷） 检测范围：必修第一册第一章、第二章、第三章 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可. 【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域为.又因为，即，所以函数的定义域为. 故选：C. 2．（2023·天津·一模）设，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用作差法结合得出的等价条件，即可得出结论. 【详解】因为，，由可得，则，即， 因此，若，，则“”是“”的充要条件. 故选：C. 3．（2024·贵州黔东南·二模）若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于ABC：举反例说明即可；对于D：分局题意分析即可. 【详解】对于选项A：因为，但，不符合题意，故A错误； 对于选项B：因为，但无意义，不符合题意，故B错误； 对于选项C：例如，但，不符合题意，故C错误， 对于选项D：对任意，均有，符合题意，故D正确； 故选：D. 4．（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据换元法，设，得，代入即可求解． 【详解】设，则， 所以， 所以， 故选：D． 5．（2025·湖北黄冈·一模）已知为正实数，且，则的最小值为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】由题可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】. 当且仅当，即时取等号. 故选：B 6．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分集合是否是空集进行讨论即可求解. 【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则或解得. 综上，，即m的取值范围是.    故选：C. 7．（22-23高三·全国·中职高考）给定一组函数解析式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（    ）                 A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤ C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤① 【答案】C 【分析】根据幂函数的图象的性质判断各图象对应解析式的形式，即可得答案. 【详解】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（2）关于轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（4）关于轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故满足； 图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故满足； 图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递减，故满足； 图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递增，故满足； 故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤. 故选：C 8．（2023·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数，若方程有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方程有四个不同的实数根，即直线与曲线，作出函数图象，即转化为在有两个不等实根，可得答案. 【详解】设，该直线恒过点，方程有四个不同的实数根 如图作出函数的图象， 结合函数图象，则， 所以直线与曲线有两个不同的公共点， 所以在有两个不等实根， 令， 实数满足，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（25-26高一上·广东·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 【答案】BD 【分析】利用三个二次关系，待定系数可确定参数之间的关系及符号一一判定选项即可. 【详解】关于的不等式的解集为或， ，故A错误； 对于B、C选项，已知和3是关于的方程的两根， 由根与系数的关系得， 则，， 不等式，即，又，解得，B正确； 且，C错误； 对于D选项，不等式，即，即， 解得或， 故不等式的解集为或，D正确. 故选：BD. 10．（23-24高一下·云南红河·开学考试）下列说法正确的是（       ）. A．命题“，”的否定是“，” B．命题“，”是假命题 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【分析】利用量词命题的否定与真假性判断AB，利用充分与必要条件的定义判断CD，从而得解. 【详解】对于A，根据存在量词命题的否定形式可知A正确； 对于B，在中，，所以方程无解，故B正确； 对于C，取，满足，但，即充分性不成立，故C错误； 对于D，因为是的真子集，所以“”是“”的充分必要不条件，故D正确. 故选：ABD. 11．（2024·河南信阳·模拟预测）若函数在上单调，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D．3 【答案】BD 【分析】分别讨论和两种情况，结合二次函数的图像分析，即可得到答案. 【详解】①当，即时，，所以的对称轴为，则的图象如下： 结合图象可知，要使函数在上单调，则或，解得：或，即或； ②当，即或，令，则的对称轴为，则的图象如下： 结合图象可知，要使函数在上单调， 则，或，或，或 解得：，或， 综上：或； 故选：BD 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】两次利用基本不等式即可求出. 【详解】， ， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 13．（23-24高一上·吉林延边·期中）设是定义在上的奇函数，则 【答案】 【分析】根据奇函数的性质可得，求出，利用，求出，最后代值即可. 【详解】是定义在的奇函数， ， 即， ，且， 解得，或 当时，定义域为，不合题意，舍去； 当时，定义域为，合题意， ， . 故答案为：. 14．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知函数的定义域是，，，当时，，则 ． 【答案】 【分析】根据已知关系式可推导求得，利用周期性和对称性可得，结合已知函数解析式可求得结果. 【详解】由得：， 又，， ，， . 故答案为：. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知全集为，集合，或求： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）根据给定条件，利用集合的交集、补集、并集的定义求解. 【详解】（1）由，或，得. （2）由全集为，得或，， 所以. （3）依题意，或，所以. 16. (15分) （24-25高三上·海南·开学考试）（1）已知，求函数的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （3）已知，求的解析式. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用换元法求解即可，注意定义域的变化； （2）利用待定系数法求解即可； （3）利用方程组法求解即可. 【详解】（1）设，则，，即， 所以，所以． （2）因为是二次函数，所以设.由，得． 由，得， 整理得， 所以，所以，所以． （3）用替换中的x，得， 由，解得. 17. (15分) （24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知实数、满足：. (1)求和的最大值； (2)求的最小值和最大值. 【答案】(1)； (2)最小值为，最大值为. 【分析】（1）使用基本不等式根据所求解的目标代数式进行合理的配凑计算求解； （2）使用基本不等式，注意根据所求解的目标代数式进行合理的配凑计算求解. 【详解】（1）∵，∴， ∵，∴，∴， 当且仅当、或、时等号成立，∴的最大值为， ∵，∴， ∵， ∴，∴， ∴，当且仅当、时等号成立，∴的最大值为； （2）∵，∴， ∵，∴，即， 当且仅当、或、时等号成立，∴的最小值为， 又，∴，即， 当且仅当、或、时等号成立， ∴的最大值为. 18. (17分) （24-25高一上·湖北·阶段练习）学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导､全科辅学功能､多国语言学习､标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习､情境学习､随身学习机外教､单词联想记忆､同步教材讲解､互动全真题库､权威词典､在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式； (2)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1) (2)当时，取得最大值为3680万元 【分析】（1）根据题意求出，分别求出当时和当时的年利润，即可求解； （2）分类讨论，当时根据二次函数的单调性求出最大值，当时，根据基本不等式求出最大值，综合分析即可求解． 【详解】（1）因为当生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元， 所以，解得， 当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元， 所以，解得， 当时，， 当时，， 综上． （2）①当时，单调递增，所以； ②当时，， 由于， 当且仅当，即时取等号， 所以此时的最大值为， 综合①②知，当时，取得最大值为3680万元． 19. (17分) （24-25高一上·四川广安·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且， (1)求a，b的值 (2)判断在上的单调性，并证明． (3)设若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)； (2)在上单调递增，证明见解析； (3) 【分析】（1）由定义在上的奇函数满足，结合列方程即，可求出实数的值； （2）用定义法证明即可； （3）将问题转化为，再转化为二次函数能成立问题，然后进行分类讨论即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， ，即，又，即， 经检验，该函数为奇函数， 故. （2）在上单调递增， 证明如下： 任取， 其中，所以， 故在上单调递增. （3）由（1）知在上单调递增，则， 任意的，总存在， 使得成立等价于，即， 即存在使得成立， 令， ①当，即时，的根为符合题意； ②当且时，即时，恒成立，不符合题意； ③当且时，； ④当且时，即时， 的对称轴为，且存在使得成立， 即，解得， ⑤当且时，即时，因为的对称轴为，所以符合题意， 综上所述，实数的取值范围为：. 学科网（北京）股份有限公司 $