重庆市南开中学校2025-2026学年高二上学期数学周考九试题

重庆南开中学高2027级高二（上)数学 11.9 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.抛物线方程为y=4x2，则此抛物线的准线为() c.x=16 1 D.y=16 1 A.x=-1 B.y=-1 2已知F,￡为双曲线C:r_广 =1的焦点，双曲线C上有一点P,若PF=6,则PF=() 421 A.2 B.10 C.2或10 D.2或16 3.已知4Ky,BLC,y)是椭圆父+二=1E三个不同的点，F是该椭圆的右焦点，则 43 “AF,BF,CF成等差数列”是“x+x,=2”的() A,充要条件 B,必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既非充分也非必要 4.在数列{an}中，4=2，a,=1.若 为等差数列，则a=( 4 >3 3 B. 2 2 C.3 D.2 5.已知抛物线y-2px(p>0)的准线1过椭圆。+ +3 =1的左焦点，且/与椭圆交于P、Q两点，F,是椭圆 的右焦点，则△PF的周长为() A.16 B.8 C.4 D.2 6.已知各项均为正数的等差数列{a}单调递增，且a=2,则下列说法错误的是() A.公差d的取值范围是 B.2a2-a=2 C.aa<asas 上+上的最小值为1 D. aa 7.己知双曲线E:￡- 。京a>0,6>0的离心率为5，左、右焦点分别为R,B,过点且斜率为k的 2 直线1交E的两条渐近线于A,B两点，且AE引=BF,则k=() A.号 B号 c号 D. 2 8.已知椭圆C的离心率为5且过点(2,30)，F,E分别是椭圆C在x轴上的左、右焦点，过F的直线1 与过E的直线马交于点N,线段FN的中点为M,线段EN的垂直平分线MP与马2的交点P(第一象限)在椭 MG 圆上，且MP交x轴于点G,则GP 的取值范围是() B.022 7 c.(0,5+1 D.(0,V2+1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.如图，用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛 物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴 的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合.若抛 物线C:y2=4x的焦点为F,0O为坐标原点，一条平行于x轴的光线l从点M射入，经过C上的点A(x,y)反 射，再经过C上另一点B(x2,)反射后，沿直线I,射出，则() 水壶 太阳光 A.y2=4 B若点w2.则4号 反射镜 支架 C.若从M(5,m)射入的光线沿直线(，射出后，回到光源接收器G(5,m,),则该光线经过的路程为14 D.设直线AO与C的准线的交点为N,则点N在直线2上 10.已知首项为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,若(Ss-S,)(Ss-S2)<0,则() A.a23+a24<0 B.S21<S2s <S22 C.当S<0时，n的最小值为47 D.S,+S2+…+S23>S24+S25+…+S46 1.已知双曲线父_上=1a∈N),不与x轴垂直的直线1与双曲线右支交于点B,C(点B在x轴上方，点 nn C在x轴下方)，与双曲线渐近线交于点A,D(点A在x轴上方，点D在x轴下方)，O为坐标原点，则下 列选项中正确的是() A.AC=BD恒成立 B.若Sarx号saw则4=BC=C0 C.△AOD面积的最小值为1D.对每一个确定的n,若AB=BC=CD,则△AOD的面积为定值 第Ⅱ卷 (非选择题) 三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分.各题答案必须填写在答题卡上相应位 置（只填结果，不写过程）. 12.已知等差数列{an},bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且 S.n+5 2n-1,则2 b 13.已知椭圆C:x2+4y2=m(m>0)的两个焦点分别为F,F,点P是椭圆上一点，若PF·PE的最小值为-1， 则P死·PE,的最大值为 'y2=2p%i 14.已知抛物线y2=2px(P>0)的焦点为F,圆x2+y2-px=0.如图，过点F的直线1与 抛物线和圆的交点依次为A,B,C,D,则4AB+CD的最小值为 四、解答题：本大题5个小题，共77分.各题解答必须答在答题卡上（必须 写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程) 15.在△ABC中，角4，B,C所对的边分别是a,bc.已知smA-5cosB+C=0,△ABC的面积为6N5 2 (I)求a的最小值： (I)若c=3,D为线段BC上一点当CD=2BD时，求tam∠BAD的值： 16.记等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a=4,S。=10 (ID求{an}的通项公式： (I)求{a}的前n项和T: 17.在平面直角坐标系xOy中，已知M(2,0),动点P到y轴的距离为d,且PM-d=2 (I)求动点P的轨迹方程C: (Ⅱ)过点N(3,2)和M作直线交曲线C于y轴右侧两点A,B,求经过A,B且与直线l:x=-2相切的圆的 标准方程. 18.如图，在直角梯形SABC中，∠B=∠C=,D为边SC上的点，且AD1SC,现将aSAD沿AD折起 到达△PAD的位置（折起后点S记为P),并使得PA⊥AB. D A B A (I)求证：PD⊥平面ABCD: (I)设PD=AD=CD=2, ①若点E在线段BP上，且满足PE=3EB,求平面EAC与平面PDC所成的锐二面角的余弦值 ②设G是AD的中点，则在△PBC内（含边界）是否存在点F,使得FG⊥平面PBC?若存在，确定点F的 位置，若不存在，请说明理由 19已知圆c号+若-o6>0叭，因点R0.2@,号 中恰有三点在椭圆C上 (I)求椭圆C的方程： (Ⅱ)设直线I不经过P2点且与C相交于A,B两点，若直线PA与直线PB的斜率的和为-1， 证明：1过定点」 (Ⅲ)如图，抛物线M:y2=4x的焦点是F,过动点G(-1,)的直线4与椭圆C交于P,Q两点，与抛物线 M交于A,B两点，且G是线段PQ的中点，是否存在过点F的直线，交抛物线M于T,D两点，且满足 AT/IBD,若存在，求直线I2的斜率k的取值范围：若不存在，说明理由(11.9)参考答案 题号 2 3 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B A A B D B D AD BCD ABD 12. 6 7 13. 14.2p 7.【详解】如图，由E: x2 v2 =1可得双曲线的渐近线方程为￡上 a b =0 a2 b2 不妨设4A(,y)B,),AB的中点为C(,,则点差点法得kakc=4 (*), 因AF=|BF,则CF⊥AB,在RtV FCF,中，IOCHOF HOFI, 设直线l的倾斜角为0，则直线OC的倾斜角为20，则由(*)可得tan0tan20= 即品-解得0-行即a0=号 也即k=± .故选：B 8【详解】椭圆方程为二+ =1,焦点E(4W2,0,E(4W2,0 6432 结合题意作出示意图如下，：M为EN中点，O为FE中点， ∴由中位线可得OM=。EN,OMIIFN 设点P)化，>0，>0)，点P在椭圆二+广 6421上， 号+-1，即y=32-号，且6e08, 6432 2 由两点间的随离公式得：P阴-+W可天-42三-+4k+ 同理可得P--4可+后-®厅-小 :线段EN的垂直平分线MP与l,的交点P(第一象限)在椭圆上，PF曰PN, N=PN-P=PHP阴-9+w)-w反-=， E)2oM=EN,OMIFN.iGoM=∠GrR∠GO三 MG MO 2 -xo 又∠OGM=∠FGP,.AGOMAGFP, PGPg-2 26 8- x-8 令g(x)=2 2x8-2 g(x)在(0,8)上单调递增，∴g(0)<g(x)<g(8),∴.0<g(x)<√2+1， 改c GP 的取值范围为0，√2+1.故选：D. 11.【详解】对于A,设1：y=+b,代入x2-y2=n得（1-k2)）x2-2b-b2-n=0,① 显然k≠±1，△=4bk2+4-k2)(b+n)>0,即b2+n1-k2)>0, 2kb Cs,,则X,5是方程①的两个根，有x+花，无 1-k2 设A(x,),D(x4),由 y=x+6得=1一k b y=x, 庙y十海飞，则5+文终所以0和C的中点重合 y=-x, 如图，从而AB=CD,所以AC=BD恒成立.故A正确. 对于B,因为AD和BC的中点重合，所以AB=CD, 又Sax-号am所以sc-兮A0,所以4=BC-Go,故B正确， 对于C,设直线1的方程为x=y+m,1∈(-1,0U(0,1),m>√m, 由 三y+他得为=由得y:1+ -m y=x y=-x o-i,o0-400-0,及mo4o0->m> 因为neN,所以S4oo>1,故C错误 对于D因为=BC=CD,所以Bc=0,则V+-+k-x, 即3+西水+6装华 公+，马素无+k b -b 1-k2 ) 22 4+川btb,即=(2-小>0，所以n>0,>1 1-k21-k1+ 又o4=o0= o0=0所以5m-0404-- .故D正确 故选：ABD. 15【详解】0因为4=5c8生，所以2mom号5c告-5如号 2 由于0<AA <72cos0,则sm=只得4=号 因为9c=csin4=6W5,得bc=24, 由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccosA≥2bc-bc=bc=24,解得am=2W6.当且仅当b=c=2√6时取等. (2)由(1)c=3b=8,设∠BAD=0,所以∠CAD=-A,0<0< 3 3 在△ABD中，由正弦定理得， sin乙1 DBsin0,即BDsin∠ADB=3sin0, AB BD AC CD 在△ACD中，由正弦定理得，sin∠ADC sin ,即CDsin∠4c=8sm-0 3 因CD=2BD,sin∠ADB=sin∠ADC,代入化简得4sin -0=3sin0 即25cos0-2sin0=3sn0,解得an0=2y5,即an∠BAD=2 5 5 16.【详解】(1)设等差数列的公差为d,因为a=4,S=10, a=4 所以 +431=10解得4二4 4a1+ 得{d=-1所以a,=4+m-)x(-)=5-n （2)由(10可得a,=5-m,la,=n-5m≥6 5-n,1≤n≤5 当1≤n≤5时，刀=4+5-川_n9-m 2 2 当n≥6时，Tn=(a++a5)(a6+…+anF-白++a5+a6++an）2k1++a5） =-n4+5-m+27=-n9-m+5x4=-n9-m+20, 2 2 2 n(9-m,sn≤5 故Tn= 2 n(9-n+20,n26 2 17.(1)M(2,0),设P(xy),因为PM-d=2,所以Vx-2)2+y2=x+2, 整理得y2=4x+4x,所以，当x≥0时，y2=8x:当x<0时，y=0: 所以P的轨迹方程为C:y2=8x(x≥0)，y=0x<0) (2)M(2,0),N(3,2),∴k4B=2,∴.直线AB:y=2x-4. 此时1：x=-2为抛物线的准线，M(2,0)为焦点， y2=8x 联立〈 y=2x-4 →y2-4y-16=0,△=80>0， 由韦达定理可得y+2=4,yy2=-16,故乃+y=2(x+x2）-8，x+x3=6, 17 所以AB=x+x2+4=10,且AB中点为N,故直线AB的中垂线的方程为：y=- 2 7-m 由圆心在弦的中垂线上，故可设圆心为m,2 半径为R, 因为圆2与直线1相切，故R=m-(-2)m+2, -4F-OVF+JF-OVF(+-(m) 所以m+2=45m-30m+145),即m2-46m+129=0,解得m=3或m=43: 故Q(3,2)或0(43，-18)，半径R=5或45， 故圆2的方程为：(x-3)2+(y-2)2=25或(x-43)2+(y+18)2=2025 18.(1)证明：PA⊥AB,AB⊥AD,PAn AD=A,.AB⊥平面PAD :PDC平面PAD,.AB⊥PD,PD⊥AD,ADOAB=A,PD⊥平面ABCD. (2)解：由(1)知CD⊥PD,故DA,DC,DP两两垂直， 以D为原点，DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系D-xyZ如图， 则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2), (i)设平面EAC与平面PDC所成的锐二面角为O, :PE=8,匪-那-（胡正=丽+服=(》 设i=(x,y,z)是平面ACE的一个法向量， 则/ac -2x+2y=0 ,即131 不妨取x=1,得i=(L,1,-2): AE=0 2x+y+5z=0' 22 2 易知m=(L,0,0)是平面PCD的一个法向量， 则c0s<m,i> m方金1-6 |m|l√6×1-6 故cos0=V6 (ⅱ)法一：存在，点F为棱PB中点时，满足FG⊥平面PBC,下证之： 取PC中点M,连结MD,MF,则GD ILMF,四边形DGFM为平行四边形，∴MD∥FG 又：等腰直角△PDC中，PD=DC,∴MD⊥PC ,BC⊥平面PDC,DFc平面PDC,∴.BC⊥MD,又PC∩BC=C, .MD⊥平面PBC,.∴.FG⊥平面PBC 法二：设存在平面PBC上的点F符合题意， BF=BC+uBP(元，4为实数，且0≤，H≤L,0≤元+H≤1，)， GF GB+BF GB+ABC+uBP =(1-2A-2M,2-2M,2M), 注意到等腰直角△PDC,斜边上的中线垂直于平面PBC, 1-21-24=0 解得元=0,4=2 1 则n。=(0,1,I)是平面PBC的一个法向量，则n,/GF，即 2-2μ=2μ 时BF=BP,即平面PBC上存在点E,当F为PB中点时，FGL平面正 19.【详解】(1)根据椭圆的对称性， 两点必在椭圆C上， 三点在椭圆C上 把P(0,1),P V3 代入椭圆C, ,解得2=1 4椭圆C的方程为+ 1 3 a24b7 =1 (2)证明：①当斜率不存在时，设：x=m,A(m,y),B(m,-y), :直线BA与直线BB的斜率的和为-1，“k4+k=少+少=2-山， m mm 解得m三2，此时1过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足. ②当斜率存在时，设1：y=x+t,1≠1，A(x,y),B(x2,2), 联立少在+1 x2+4y2-4=0,整理得+4k2）r2+8r+42-4=0, △=64k-41+4h2)(42-4）=64k2-162+16>0,则x+6=1+4,5 -8kt 42-4 Γ1+4k2 则k4+6=+上L出-+仍-西低+1-1+x+1-1) X X2 XX2 2s.-0.6 xx2 42-4 40+10-)-1, 1+4k2 又1≠1，.1=-2k-1,此时△=64k2-162+16=-64k, 故存在k,使得△>0成立，∴.直线1的方程为y=x-2k-1,即y+1=k(x-2),1过定点(2，-1). (3:点卫Q在瑞圈上，所以平+=1，草+后=， 两式相减可得，+儿。-+，+60，-)上0， 4 又G(-l,)是线段PQ的中点，∴.xp+xQ=-2,yp+y0=2t, 直线PQ的斜率p=业=+2 xp-xe4(yp+yo）41' 直线P2的方程为y+)+1,与抛物线方程联立消去x可得)广-160+44+)-0， 由题可知A=162r->0,>2 1 又G在猫圆内部。可知好<，f<孕放日产<县 设小答小年小年小 由图可知，为>，y>4, .片+为=161，yy2=4(4+1), 当直线TD的斜率为0时，此时直线TD与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去， 设直线TD的方程为x=my+1(m≠0)，与抛物线方程联立，消去x可得y2-4y-4=0, ∴.3+y4=4m,yy4=-4, y3-y y-y2 由AT11BD,可知k灯=kap,即竖_竖经_竖，六片+=y+为，即片-为=-， 4444 .(y+当)-4y2=(y+y)-4yy4, :(y+2)-4yy=(160)2-16(4r2+1)=1612r2-1)∈(0,128)， ∴.(y+y)-4yy=16m2+16∈(0,128)，解得m2<7,即m∈-√7，V7), 直线D即4的斜率气。马}停树