精品解析：河北省秦皇岛市青龙县2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

河北省秦皇岛市青龙县2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题 注意： 本试卷分卷I和卷II两部分：卷I为选择题，卷II为非选择题． 本试卷总分120分，考试时间120分钟． 请将答案正确填写在答题卡上． 第I卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题各3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上正确填涂） 1. 下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若要表示同学们最喜欢的动画片，应该选取（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 不能确定 3. 下列线段能成比例线段的是（ ） A. 、、、 B. 1cm、、、4cm C. 、、、1cm D. 、、、 4. 某班七个学习小组的人数分别是4，5，5，x，6，7，8，已知这组数据的平均数是6，则x的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 如图，在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知（，），下列等式中变形不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，则下列各式中，不能说明的是（ ） A. B. C. D. 8. 若是方程的根，则的值为（ ） A. 2025 B. 2029 C. 2037 D. 2013 9. 如图，在正方形网格中，与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点，则这两个三角形的位似中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 10. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 11. 2025世界人形机器人运动会于8月在国家速滑馆举办，旨在通过各项比赛展示机器人应用技术的多样性和创新性．某高校科研团队为了选拔参加本次运动会自由搏击赛的机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，每组x个机器人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 12. 如图：在平行四边形中，点在上，且，交对角线于点，则为（ ） A. 1:2 B. 1:3 C. 1:4 D. 2:3 第II卷（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分） 13. 某小组5名同学的英语口试成绩（满分30分）依次为：27，26，28，30、25，则这组数据的中位数为_________． 14. ___________． 15. 一元二次方程的根的判别式的值是________． 16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角∠MON的顶点O在AB上，OM、ON分别交CA、CB于点P、Q，∠MON绕点O意旋转．当时．的值为_____． 三、解答题（本答题共8个小颶：共72分．解答应写出演算步骤、证明过程或文字说明） 17. 解方程 （1） （2） 18. 如图，已知直线分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，且． （1）如果，求的长； （2）如果，，求的长． 19. 某班为从甲、乙两名同学中选出班长，进行了一次演讲答辩和民主测评．其中A，B，C，D，E五位老师作为评委，对演讲答辩情况进行评价，结果如表，另全班50位同学参加民主测评进行投票演讲答辩得分表（单位：分） 演讲答辩得分表 A B C D E 甲 89 91 92 94 93 乙 90 86 85 91 94 规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；测评民主得分“好”票数分“较好”票数分“一般”票数分． （1）求甲、乙两名同学各自演讲答辩得分的平均分； （2）求甲、乙两名同学的民主测评得分； （3）若按演讲答辩得分和民主测评得分的比例计算两名同学的综合得分，则应选哪位同学当班长？并说明理由． 20. 学习相似三角形相关知识后，善于思考的小明和小颖两位同学想通过所学计算桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点，再在河岸的这一边选出点和点，分别在、的延长线上取点、，使得．经测量，米，米，且点到河岸的距离为60米．已知于点，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度． 21. 关于x的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若，求m的值． 22. 如图所示，一艘渔船以海里/时的速度由西向东航行．在处看见小岛在船北偏东的方向上．后，渔船行驶到处，此时小岛在船北偏东的方向上．已知以小岛为中心，海里为半径的范围内是多暗礁的危险区，如果这艘渔船继续向东航行，有没有进入危险区的可能？ 23. 2025年9月3日纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵中，受阅武器装备以新型四代装备为主体，展示我军强大的战略威慑实力，某商场以30元/件的进价购进一批坦克模型，并以50元/件的售价进行销售，第一周销售50件，第二、三周销售量持续上涨，第三周的销售量达到72件． （1）求第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率； （2）经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，通过调查发现，该坦克模型每件每降价1元，周销售量就增加4件，当该坦克模型每件降价多少元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元？ 24. 如图，在矩形中，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点以的速度从C点出发，沿向B点移动，设P、Q两点移动的时间为t秒．() （1）t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似? （2）探究：在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等?若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省秦皇岛市青龙县2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题 注意： 本试卷分卷I和卷II两部分：卷I为选择题，卷II为非选择题． 本试卷总分120分，考试时间120分钟． 请将答案正确填写在答题卡上． 第I卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题各3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上正确填涂） 1. 下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】考查一元二次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义．根据各个选项中的方程可以判断出是几元几次方程，从而可以解答本题． 【详解】解：A、是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是有两个未知数，故本选项不符合题意； C、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 若要表示同学们最喜欢的动画片，应该选取（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查众数的意义，正确理解概念是解题的关键． 由于动画片是分类数据，众数表示出现次数最多的类别，因此能反映最受欢迎的动画片． 【详解】表示最喜欢的动画片需要找出被最多同学选择的类别， 应使用众数，即出现频率最高的选项； 平均数和中位数用于数值计算，不能直接用于类别数据． 故选：C． 3. 下列线段能成比例线段的是（ ） A. 、、、 B. 1cm、、、4cm C. 、、、1cm D. 、、、 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段．依次对每组的四条线段长度按从小到大顺序排列好，然后分别计算前两项的比值和后两项的比值，如果两个比值相等，则说明四条线段成比例，否则不成比例． 【详解】解：A、，故四条线段是不成比例线段，不符合题意； B、，故四条线段是成比例线段，符合题意； C、，故四条线段是不成比例线段，不符合题意； D、，故四条线段是不成比例线段，不符合题意； 故选：B． 4. 某班七个学习小组的人数分别是4，5，5，x，6，7，8，已知这组数据的平均数是6，则x的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数的求法，根据平均数的求法列出式子即可求出x的值． 【详解】解：由平均数的计算公式可得， 解得， 故选：D． 5. 如图，在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握锐角的正弦的定义是解本题的关键．先利用勾股定理求出，再在中利用即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：C． 6. 已知（，），下列等式中变形不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质逐项分析即可得解，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵（，）， ∴，，，故ABD正确，C不正确， 故选：C． 7. 如图，，则下列各式中，不能说明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，有两组角对应相等的两个三角形相似，有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、添加条件，结合，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； B、添加条件，结合，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，可以根据有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； D、添加条件，结合，不可以证明，故此选项符合题意； 故选：D． 8. 若是方程的根，则的值为（ ） A. 2025 B. 2029 C. 2037 D. 2013 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握方程的根的定义并对所求式子进行变形是解题的关键．先根据方程的根的定义，得到关于的等式，再对所求式子进行变形，代入计算． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即． ∴ ， ． 故选：C． 9. 如图，在正方形网格中，与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点，则这两个三角形的位似中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，掌握确定位似图象的位似中心的方法是解题的关键． 连接对应点，对应点所在的直线相交于一点，即为位似中心，据此进行作答即可． 【详解】解：∵与（（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形， ∴如图：连接，， 则，，相交于一点Q， ∴这两个三角形的位似中心是点Q． 故选：B． 10. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）有不相等的实数根时，必须满足．利用此条件转化即可解得参数的范围． 【详解】解：依题意列得， 解得且． 故选：C． 11. 2025世界人形机器人运动会于8月在国家速滑馆举办，旨在通过各项比赛展示机器人应用技术的多样性和创新性．某高校科研团队为了选拔参加本次运动会自由搏击赛的机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，每组x个机器人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程， 根据每组x个机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，则每个机器人参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程． 【详解】解：每组x个机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，则每个机器人参加场比赛，则共有场比赛， 所以： 故选：A． 12. 如图：在平行四边形中，点在上，且，交对角线于点，则为（ ） A. 1:2 B. 1:3 C. 1:4 D. 2:3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质， 由平行四边形的性质可得，，进而由可得，再由得到，根据相似三角形的性质可得，由此求出，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即. 故选：B． 第II卷（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分） 13. 某小组5名同学的英语口试成绩（满分30分）依次为：27，26，28，30、25，则这组数据的中位数为_________． 【答案】27 【解析】 【分析】本题主要考查中位数．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 先将数据按照从小到大重新排列，再根据中位数的定义求解可得． 【详解】解：将这组数据按从小到大的顺序排列为： 25，26，27，28，30， 处于中间位置的数是27，即中位数是27， 故答案为：27． 14. ___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算．直接代入已知的三角函数值： 和 ，然后进行运算． 【详解】解：原式= ． 故答案为： 15. 一元二次方程的根的判别式的值是________． 【答案】28 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．把，，直接代入计算即可． 【详解】解：∵方程中，，， ∴． 故答案为：28． 16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角∠MON的顶点O在AB上，OM、ON分别交CA、CB于点P、Q，∠MON绕点O意旋转．当时．的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，由条件可以表示出HO、GO的值，通过证明△PHO∽△QGO由相似三角形的性质就可以求出结论． 【详解】解：过点O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G， ∴∠OHP=∠OGQ=90°． ∵∠ACB=90°， ∴四边形HCGO为矩形， ∴∠HOG=90°， ∴∠HOP=∠GOQ， ∴△PHO∽△QGO， ∴． ∵，设OA=x，则OB=2x，且∠ABC=30°， ∴AH=x，OG=x． 在Rt△AHO中，由勾股定理，得 OH= x， ∴ ， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题关键在于作辅助线. 三、解答题（本答题共8个小颶：共72分．解答应写出演算步骤、证明过程或文字说明） 17. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）整理后用配方法求解即可； （2）移项后用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 原方程可化为 移项，得 配方，得 即 两边开平方，得 所以 【小问2详解】 原方程可化为 即 得或 所以 18. 如图，已知直线分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，且． （1）如果，求的长； （2）如果，，求的长． 【答案】（1）6 （2）15 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理， （1）由平行线分线段成比例定理得到，代入已知线段长度即可得到的长； （2）由平行线分线段成比例定理得到，由得到，由得到，即可得到的长， 熟练掌握定理并找准对应线段是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ，， ， ． 19. 某班为从甲、乙两名同学中选出班长，进行了一次演讲答辩和民主测评．其中A，B，C，D，E五位老师作为评委，对演讲答辩情况进行评价，结果如表，另全班50位同学参加民主测评进行投票演讲答辩得分表（单位：分） 演讲答辩得分表 A B C D E 甲 89 91 92 94 93 乙 90 86 85 91 94 规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；测评民主得分“好”票数分“较好”票数分“一般”票数分． （1）求甲、乙两名同学各自演讲答辩得分的平均分； （2）求甲、乙两名同学的民主测评得分； （3）若按演讲答辩得分和民主测评得分的比例计算两名同学的综合得分，则应选哪位同学当班长？并说明理由． 【答案】（1）甲演讲答辩平均分为92分，乙演讲答辩平均分为89分 （2）甲民主测评得分为87分，乙民主测评得分为88分 （3） 甲同学综合得分（分）， 乙同学综合得分（分）， ∵， ∴应该选甲同学当班长． 【解析】 【分析】本题主要考查了统计中平均数、加权平均数等知识点，熟练掌握相关公式是解题关键． （1）每个选手去掉一个最高分，再去掉一个最低分，求出剩下三个数的平均数即可； （2）分别求出甲乙的民主测评得分即可． （3）根据加权平均数的公式，计算即可判断． 【小问1详解】 解：甲演讲答辩平均分（分）， 乙演讲答辩平均分：（分）， 【小问2详解】 甲同学民主测评得分：（分）， 乙同学民主测评得分，（分）． 【小问3详解】 略 20. 学习相似三角形相关知识后，善于思考的小明和小颖两位同学想通过所学计算桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点，再在河岸的这一边选出点和点，分别在、的延长线上取点、，使得．经测量，米，米，且点到河岸的距离为60米．已知于点，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度． 【答案】桥的长度为90米 【解析】 【分析】过作于，可得，即可得出，再由，可得，进而得出的长． 【详解】解：如图所示，过作于， ， ， ， ， ，． ， ， 即 解得， 答：桥的长度为90米． 【点睛】本题主要考查了利用相似三角形的实际应用．掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 21. 关于x的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若，求m的值． 【答案】（1） 证明：，，， ， 方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 计算根的判别式的值，利用配方法得到，根据非负数的性质得到，然后根据判别式的意义得到结论； 根据根与系数的关系，得到，，先展开，再代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由，是方程的根， ，， ， ∵， ∴， 解得． 22. 如图所示，一艘渔船以海里/时的速度由西向东航行．在处看见小岛在船北偏东的方向上．后，渔船行驶到处，此时小岛在船北偏东的方向上．已知以小岛为中心，海里为半径的范围内是多暗礁的危险区，如果这艘渔船继续向东航行，有没有进入危险区的可能？ 【答案】这艘渔船继续向东航行，没有进入危险区域的可能 【解析】 【分析】如图所示（见详解），过点作于，可求出，千米，在中，计算出的长，若与的大小关系，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，在点处作表示正北方向，过点作于， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴（千米）， 在中， ∵，， ∴， ∴这艘渔船继续向东航行，没有进入危险区域的可能． 【点睛】本题主要考查方位角与直角三角形的综合，掌握方位角的角度知识，直角三角形的勾股定理是解题的关键． 23. 2025年9月3日纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵中，受阅武器装备以新型四代装备为主体，展示我军强大的战略威慑实力，某商场以30元/件的进价购进一批坦克模型，并以50元/件的售价进行销售，第一周销售50件，第二、三周销售量持续上涨，第三周的销售量达到72件． （1）求第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率； （2）经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，通过调查发现，该坦克模型每件每降价1元，周销售量就增加4件，当该坦克模型每件降价多少元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元？ 【答案】（1） （2） 7元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． （1）设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为x，根据第一周的销量为50件和第三周的销量为72件建立方程求解即可； （2）设当该坦克模型每件降价m元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元，则每件的利润为元，销量为件，再根据总利润等于每一件的利润乘以销量建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为； 【小问2详解】 解：设当该坦克模型每件降价m元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：当该坦克模型每件降价7元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元． 24. 如图，在矩形中，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点以的速度从C点出发，沿向B点移动，设P、Q两点移动的时间为t秒．() （1）t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似? （2）探究：在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等?若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）当为或时相似 （2） 解：四边形与的面积不能相等．理由如下： 作于点，如图， ∵， ∴， ∴ ，即 ∴ ， 当四边形与的面积相等时， ， 即 ， ∴ ， 整理得, ∵， ∴此时方程无实数解， ∴四边形与的面积不能相等． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握相似三角形判定定理和性质． （1）利用勾股定理求出直角三角形斜边的长，分两种情况讨论，根据相似三角形的判定定理列出方程求解即可； （2）作于点，证明，利用相似三角形的性质表示出，根据面积的数量关系列出一元二次方程，根据根的判别式，判断根的情况即可得出结论． 【小问1详解】 解：在中， ∵ ， ∴当时，△CQP∽△CBA， 则，即， 解得； 当时，△CQP∽△CAB， 则 ，即， 解得 ； ∴当为或时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $