课时测评22 利用导数研究不等式的恒(能)成立问题（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（湘教版）

课时测评22　利用导数研究不等式的恒(能)成立问题 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) 1.(6分)(2024·江西高三阶段练习)已知函数f(x)=-x，若对任意的0<x1<x2，都有-<0，则实数a的取值范围是 (　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：因为对任意的0<x1<x2，都有-<0，即x1f(x1)<x2f(x2)，所以设g(x)=xf(x)=x=aex-x2，则g(x)在(0，+∞)上单调递增，所以g'(x)=aex-x≥0在(0，+∞)上恒成立，即a≥在(0，+∞)上恒成立.令h(x)=，x∈，则h'(x)=，所以当x∈(0，1)时，h'(x)>0，h(x)单调递增，当x∈(1，+∞)时，h'(x)<0，h(x)单调递减，即h(x)max=h(1)=，所以a≥.故选D． 2.(6分)(多选)(2024·江西重点中学协作体第一次联考)已知函数f=ex-1+e1-x+x2-2x，若不等式f(2-a)<f对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值可能是 (　　) A．-4 B．- C．1 D．2 答案：BCD 解析：因为f(x)=ex-1+e1-x+x2-2x，所以f(2-x)=e1-x+ex-1+-2=f，即函数f(x)的图象关于直线x=1对称.当x>1时，y=x2-2x=-1为增函数；令g=ex-1+e1-x，则g'=ex-1-e1-x，x>1时，ex-1>1，e1-x<1，所以g'(x)>0，所以g=ex-1+e1-x为增函数，所以当x>1时，f(x)为增函数.由对称性可知，当x<1时，f(x)为减函数.因为f(2-a)<f恒成立，所以<恒成立，即<2，解得-1<a<3.故选BCD． 3.(6分)(2025·洛平许济第四次质量检测)若关于x的不等式ex+x+2ln ≥mx2+ln m恒成立，则实数m的最大值为　　　　.  答案： 解析：显然首先m>0，x>0，ex+x+2ln ≥mx2+ln m⇔ex+x≥mx2+ln m-2ln =+ln(mx2)，令f=ex+x，则f'=ex+1>0，所以f在定义域内严格单调递增，所以若有f≥f(ln(mx2))成立，则必有x≥ln=ln m+2ln x，即ln m≤x-2ln x对于任意的x>0恒成立，令g=x-2ln x，则g'=1-=，当0<x<2时，g'<0，g单调递减，当x>2时，g'>0，g单调递增，所以当x=2时，g取得最小值g=2-2ln 2=ln ，从而ln m≤ln ，所以0<m≤，即实数m的最大值为. 4.(17分)(2024·山东菏泽三模)已知函数f=x. (1)讨论f的最值；(7分) (2)若a=1，且f≤，求实数k的取值范围.(10分) 解：(1)因为f=x的定义域为，可得f'=a-=. 由a>0，令f'=0，可得x=； 当x∈时，f'<0，f单调递减， 当x∈时，f'>0，f单调递增， 故当x=时，f取得极小值，也是最小值，且最小值为f=1+ln a，无最大值. (2)当a=1时，由f≤，可得x-ln x≤， 整理得kex≥x2+x-xln x，即k≥， 令h=， 则h'==， 由(1)知，当a=1时，f=x-ln x的最小值为f=1>0，即x-ln x>0恒成立， 所以当x∈时，h'>0，h单调递增； 当x∈时，h'<0，h单调递减. 故当x=1时，h取得最大值h=， 即k≥， 故实数k的取值范围为. 5.(20分)已知函数f(x)=ex+ax+b(e是自然对数的底数)，曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线为y=a-b. (1)求a，b的值；(8分) (2)若不等式f(x)>mx-1在x∈上恒成立，求正实数m的取值范围.(12分) 解：(1)由f(x)=ex+ax+b可得f'(x)=ex+a， 因为曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线为y=a-b， 所以解得a=-1，b=-1. (2)由(1)知f(x)=ex-x-1， 因为不等式f(x)>mx-1在x∈上恒成立， 所以ex-x>mx在x∈上恒成立， 即m<-1在x∈上恒成立. 令g(x)=-1，则g'(x)=，令g'(x)==0，解得x=1. 所以当≤x<1时，g'(x)<0，g(x)单调递减；当1<x≤e时，g'(x)>0，g(x)单调递增， 所以g(x)的最小值为g(1)=e-1，所以m<e-1，即正实数m的取值范围为(0，e-1). 6.(20分)(2023·全国甲卷)已知函数f(x)=ax-，x∈. (1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；(8分) (2)若f(x)+sin x<0，求a的取值范围.(12分) 解：(1)当a=1时，f(x)=x-，x∈， f'(x)=1-==， 由于x∈，所以cos x∈(0，1)，所以cos3x+cos2x-2<0，cos3x>0， 所以f'(x)=<0在上恒成立， 所以函数f(x)在上单调递减. (2)令g(x)=-sin x===， 则g'(x)= =， 因为x∈，所以3cos2xsin2x+2sin4x>0，cos3x>0，则g'(x)>0，所以函数g(x)在上单调递增， g(0)=0，当x→时，g(x)→+∞， 因为f(x)+sin x<0恒成立，所以-sin x>ax在上恒成立，即直线y=ax在0<x<时恒在g(x)的图象下方，如图所示， 由图及g'(0)=0可得a≤0， 即a的取值范围为(-∞，0]. 7.(25分)(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=ln+ax+b(x-1)3. (1)若b=0，且f'(x)≥0，求a的最小值；(6分) (2)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形；(8分) (3)若f(x)>-2当且仅当1<x<2，求实数b的取值范围.(11分) 解：(1)f(x)的定义域为(0，2)， 若b=0，则f=ln+ax，f'=·+a=+a， 当x∈(0，2)时，x∈，f'=2+a≥0，则a≥-2， 故a的最小值为-2. (2)证明：因为x∈(0，2)，f(2-x)=ln+a(2-x)+b(1-x)3=-ln-ax-b(x-1)3+2a=-f(x)+2a， 故曲线y=f(x)关于点(1，a)中心对称. (3)因为f(x)>-2当且仅当1<x<2，所以f(1)=a=-2， 此时f=ln-2x+b， f'=·-2+3b=-2+3b(x-1)2=(x-1)2. 记g=+3b，x∈，易知g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，2)上单调递增，g(1)=2+3b， 当b≥-时，g(x)≥0，f'(x)≥0，f(x)在(0，2)上单调递增， 又f(1)=-2，故符合题意. 当b<-时，g<0，g=+3b=， 令g(x)=0，得x=1± ， 因为b<-，所以 ∈，故1+∈，1-∈， 所以当x∈时，g(x)<0，f'(x)<0，f(x)在上单调递减，故f<f=-2，不符合题意. 综上，实数b的取值范围为. 学生用书⬇第71页 学科网（北京）股份有限公司 $