课时测评20 函数的极值、最值与导数（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（湘教版）

课时测评20　函数的极值、最值与导数 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1-9，每小题5分，共45分) 1.已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f'(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：由函数极值的定义和导函数的图象可知，f'(x)在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x=0不是函数f(x)的极值点.其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个.故选B． 2.(2024·江苏南通段考)已知函数f(x)=2ln x+ax2-3x在x=2处取得极小值，则f(x)的极大值为(　　) A．2 B．- C．3+ln 2 D．-2+2ln 2 答案：B 解析：f'(x)=+2ax-3，因为f(x)在x=2处取得极小值，所以f'(2)=4a-2=0，解得a=，所以f(x)=2ln x+x2-3x，f'(x)=+x-3=，所以f(x)在(0，1)，(2，+∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以f(x)的极大值为f(1)=-3=-.故选B． 3.(2022·全国乙卷)函数f(x)=cos x+(x+1)sin x+1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为 (　　 ) A．- B．- C．-+2 D．-+2 答案：D 解析：f(x)=cos x+(x+1)sin x+1，x∈[0，2π]，则f'(x)=-sin x+sin x+(x+1)cos x=(x+1)cos x，x∈[0，2π].令f'(x)=0，解得x=-1(舍去)或x=或x=.因为f=cos +sin +1=2+，f=cos +sin +1=-，又f(0)=cos 0+(0+1)sin 0+1=2，f(2π)=cos 2π+(2π+1)sin 2π+1=2，所以f(x)max=f=2+，f(x)min=f=-.故选D. 4.(2022·全国甲卷)当x=1时，函数f(x)=aln x+取得最大值-2，则f'(2)= (　　 ) A．-1 B．- C． D．1 答案：B 解析：函数f(x)的定义域为(0，+∞)，依题意可知而f'(x)=-，所以即所以f'(x)=-+，因此函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，当x=1时取最大值，满足题意.所以f'(2)=-1+=-.故选B． 5.(多选)下列说法正确的是(　　) A．f(x)=x+的最小值为1 B．f(x)=(x>0)的最小值为1 C．f(x)=x-ln x(x>0)的最小值为1 D．f(x)=x(x>0)的最小值为1 答案：AC 解析：f(x)=x+，f'(x)=1-=，函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，故函数f(x)的最小值为f(0)=1，故A正确；f(x)=(x>0)，f'(x)=，函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，故函数f(x)的最小值为f(1)=e，故B错误；f(x)=x-ln x(x>0)，f'(x)=1-=，函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，故函数f(x)的最小值为f(1)=1，故C正确；f(x)=x(x>0)，f'(x)=+x·=，函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，故函数f(x)的最小值为f(1)=e，故D错误.故选AC． 6.(多选)(2024·湖南永州一模)对于函数f(x)=，则(　　) A．f(x)有极大值，没有极小值 B．f(x)有极小值，没有极大值 C．函数f(x)与y=-x+2的图象有两个交点 D．函数g(x)=f(x)-有两个零点 答案：AD 解析：由题意得f'(x)==-，因为ex>0在x∈R恒成立，所以当x>0时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x<0时，f'(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)在x=0处有极大值，没有极小值，故A正确，B错误；根据f(x)的单调性，画出函数f(x)及y=-x+2的图象，如图①所示： 由图可知，函数f(x)与y=-x+2的图象只有一个交点，故C错误；函数g(x)=f(x)-的零点个数即为函数f(x)与y=的图象交点个数，画出函数f(x)及y=的图象，如图②所示：由图可知，函数f(x)与y=的图象有两个交点，即函数g(x)=f(x)-有两个零点，故D正确.故选AD． 7.(开放题)(2024·山东潍坊模拟)写出一个存在极值的奇函数f(x)=　　　　.  答案：sin x(答案不唯一) 解析：正弦函数f(x)=sin x为奇函数，且存在极值. 8.已知函数f(x)=ax3-x，若f(x)有极大值，则a=　　　　.  答案：3 解析：f'(x)=3ax2-1，当a≤0时，f'(x)<0，f(x)单调递减，无极大值.当a>0时，令f'(x)=0，得x=±，令f'(x)>0，得x<-或x>，令f'(x)<0，得- <x<，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)在x=-处取得极大值，所以f=，解得a=3. 9.甲、乙两地相距240 km，汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为元.为使全程运输成本最小，汽车应以　　　　km/h的速度行驶.  答案：80 解析：设全程运输成本为y元，由题意，得y==240，v>0，y'=240.令y'=0，得v=80.当v>80时，y'>0；当0<v<80时，y'<0.所以函数y=在(0，80)上单调递减，在(80，+∞)上单调递增，所以当v=80时，全程运输成本最小. 10.(13分)已知函数f(x)=excos x-x. (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(5分) (2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.(8分) 解：(1)因为f(x)=excos x-x，所以f'(x)=ex(cos x-sin x)-1，f'(0)=0. 又因为f(0)=1， 所以曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=1. (2)设h(x)=f'(x)=ex-1， 则h'(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x. 当x∈时，h'(x)≤0， 所以h(x)在区间上单调递减， 所以对任意x∈有h(x)≤h(0)=0，即f'(x)≤0， 所以函数f(x)在区间上单调递减. 因此f(x)在区间上的最大值为f(0)=1，最小值为f=-. 11.(14分)已知函数f(x)=.设实数a>0，求函数F(x)=af(x)在[a，2a]上的最小值. 解：因为F(x)=af(x)=， 所以F'(x)=(a>0，x>0)， 令F'(x)>0得0<x<e， 令F'(x)<0得x>e， 所以F(x)在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减， 所以F(x)在[a，2a]上的最小值F(x)min=min{F，F}. 因为F-F=ln a-ln=ln， 所以当0<a≤2时，F(a)-F(2a)≤0， F(x)min=F=ln a. 当a>2时，F(a)-F(2a)>0， F(x)min=F=ln. 综上所述，当0<a≤2时，F(x)在[a，2a]上的最小值为ln a，当a>2时，F(x)在[a，2a]上的最小值为ln. (每小题6分，共12分) 12.(2025·江苏扬州第二次调研)若函数f(x)=eax+2x有大于零的极值点，则实数a的取值范围为 (　　) A．a>-2 B．a>- C．a<-2 D．a<- 答案：C 解析：函数f(x)=eax+2x，可得f'=aeax+2，若a≥0，f'>0，此时f单调递增，无极值点，故a<0，令f'=aeax+2=0，解得x=ln，当x>ln时，f'>0，当x<ln时，f'<0，故x=ln是f(x)=eax+2x的极值点.由于函数f(x)=eax+2x有大于零的极值点，所以ln>0⇒ln<0⇒0<-<1，解得a<-2.故选C． 13.(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)若函数f(x)=aln x++(a≠0)既有极大值也有极小值，则 (　　 ) A．bc>0 B．ab>0 C．b2+8ac>0 D．ac<0 答案：BCD 解析：函数f(x)=aln x++的定义域为(0，+∞)，则f'(x)=--=，因为函数f(x)既有极大值也有极小值，则函数f'(x)在(0，+∞)上有两个变号零点，而a≠0，因此方程ax2-bx-2c=0有两个不相等的正实数根x1，x2，于是即有b2+8ac>0，ab>0，ac<0，显然a2bc<0，即bc<0，故A错误，B、C、D正确.故选BCD． (每小题8分，共16分) 14.(新定义)(2024·江苏南京、盐城一模)用min表示x，y中的最小数.已知函数f=，则min的最大值为(　　) A． B． C． D．ln 2 答案：C 解析：因为f=，所以f'=，根据导数易知f在上单调递增，在(1，+∞)上单调递减；由题意令f=f(x+ln 2)，即=，解得x=ln 2；作出图象，则min的最大值为两函数图象交点处函数值，为.故选C． 15.(多选)已知函数f(x)=xln x+x2，x0是函数f(x)的极值点，以下几个结论中正确的是(　　) A．0<x0< B．x0> C．f(x0)+2x0<0 D．f(x0)+2x0>0 答案：AD 解析：函数f(x)=xln x+x2(x>0)，所以f'(x)=ln x+1+2x，因为x0是函数f(x)的极值点，所以f'(x0)=0，即ln x0+1+2x0=0，又函数f'(x)=ln x+1+2x在(0，+∞)上单调递增，所以f'=>0=f'，所以0<x0<，即A正确，B不正确；f+2x0=x0ln x0++2x0=x0(ln x0+x0+2)=x0(1-x0)>0，即D正确，C不正确.故选AD． 学科网（北京）股份有限公司 $