课时测评19 函数的单调性与导数（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（湘教版）

课时测评19　函数的单调性与导数 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1-9，每小题5分，共45分) 1.若函数f(x)=x3-x2+ax+4的单调递减区间是[-1，4]，则a=(　　) A．-4 B．-1 C．1 D．4 答案：A 解析：易知f'(x)=x2-3x+a，由题意知f'(x)≤0的解集为[-1，4]，则-1与4是方程x2-3x+a=0的两个根，故a=-1×4=-4.故选A． 2.已知f'(x)是函数y=f(x)的导函数，且y=f'(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是(　　) 答案：D 解析：根据导函数的图象可得，当x∈(-∞，0)时，f'(x)<0，则f(x)单调递减；当x∈(0，2)时，f'(x)>0，则f(x)单调递增；当x∈(2，+∞)时，f'(x)<0，则f(x)单调递减，所以只有D选项符合.故选D． 3.已知函数f(x)=ln x，且a=f，b=f，c=f，则(　　) A．a>b>c B．c>a>b C．a>c>b D．c>b>a 答案：B 解析：由f(x)=ln x，得f'(x)=ln x+，当x∈(0，1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，因为c=f，0<<<<1，所以f>f>f，故c>a>b.故选B． 4.若函数f(x)=2x2+ax+ln x在(0，+∞)上不单调，则实数a的取值范围为(　　) A．(-∞，-4) B．(-∞，-4] C．(-4，+∞) D．[-4，+∞) 答案：A 解析：f'(x)=4x+a+，由x>0，可得f'(x)=4x+a+≥2+a=4+a，所以f'(x)的最小值为4+a.若要函数f(x)=2x2+ax+ln x在(0，+∞)上不单调，则4+a<0，解得a<-4.故选A． 5.(新设问)(多选)若函数f(x)·ln x在定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的函数为(　　) A．f(x)= B．f(x)=x-1 C．f(x)= D．f(x)=ex 答案：AD 解析：令g(x)=f(x)·ln x，x∈(0，+∞)，对于A，g(x)=·ln x，x∈，则g'(x)=>0恒成立，符合题意；对于B，g(x)=(x-1)ln x，x∈(0，+∞)，则g'(x)=ln x-+1，又'=+>0，g'(1)=0，所以当0<x<1时，g'(x)<0，g(x)在(0，1)上单调递减，当x>1时，g'(x)>0，g(x)在(1，+∞)上单调递增，不符合题意；对于C，g(x)=·ln x，x∈，则g'(x)=，又'=--<0，所以g'(x)在定义域上单调递减，且g'(e)=<0，不符合题意；对于D，g(x)=ex·ln x，x∈，则g'(x)=ex·，令h(x)=ln x+，则h'(x)=-=，所以当x>1时，h'(x)>0，h(x)在(1，+∞)上单调递增；当0<x<1时，h'(x)<0，h(x)在(0，1)上单调递减.所以h(x)在x=1处取得极小值，也是最小值，h(x)min=h(1)=1>0，所以g'(x)=ex·>0恒成立，符合题意.故选AD． 6.(多选)若函数f(x)=ax3+3x2-x+1恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是(　　) A．-3 B．-1 C．0 D．2 答案：BD 解析：依题意知，f'(x)=3ax2+6x-1有两个不相等的零点，故解得a>-3且a≠0.故选BD． 7.已知函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf'(x)≥0的解集为　　　　.  答案：∪ 解析：由题中f(x)的图象特征可得，在和[2，+∞)上f'(x)≥0，在上f'(x)<0，所以xf'(x)≥0⇔或⇔0≤x≤或x≥2，所以xf'(x)≥0的解集为∪[2，+∞). 8.(2024·四川绵阳模拟)设函数f(x)=aln x+bx2，若函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y=x，则函数f(x)的单调递增区间为　　　　.  答案： 解析：f'(x)=+2bx，由题意得即解得 所以f'(x)=-+2x=(x>0)，由f'(x)>0，得x>，所以函数y=f(x)的单调递增区间为. 9.(开放题)已知函数f(x)的定义域为D，给出下列三个条件：①∀x∈D，有f(x)+f(-x)=0；②∀x∈D，有f'(x)≤0；③∃x1，x2∈D且x1<x2，有f(x1)<f(x2).试写出一个同时满足条件①②③的函数f(x)，则f(x)=　　　　.  答案：(答案不唯一) 解析：由①可得，f(x)在定义域内为奇函数，由②可得f'(x)≤0恒成立，由③可得f(x)不是在整个定义域上单调递减，故可有f(x)=. 10.(13分)已知函数f(x)=x3+ax2+1，a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调区间；(8分) (2)若函数f(x)的单调递减区间是，求a的值.(5分) 解：(1)由题意知，f'(x)=3x2+2ax=3x， 当a=0时，f'(x)=3x2≥0恒成立，所以f(x)的单调递增区间是(-∞，+∞)，没有单调递减区间； 当a>0时，令f'(x)>0可得x∈∪(0，+∞)，令f'(x)<0可得x∈， 所以f(x)的单调递增区间为，(0，+∞)，单调递减区间为； 当a<0时，令f'(x)>0，可得x∈(-∞，0)∪，令f'(x)<0，可得x∈， 所以f(x)的单调递增区间为(-∞，0)，，单调递减区间为. (2)由题意知，f'(x)=3x2+2ax=0的两根为-，0，所以-=-， 解得a=1. 11.(14分)已知函数f(x)=ax-ln x-，讨论函数f(x)的单调性. 解：因为f(x)=ax-ln x-，所以f'(x)=a-+==，x>0. 当a≤0时，令f'(x)>0，得0<x<1，令f'(x)<0，得x>1， 所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减； 当0<a<1时，令f'(x)>0，得0<x<1或x>，令f'(x)<0，得1<x<，所以f(x)在(0，1)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当a=1时，f'(x)=≥0恒成立，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增； 当a>1时，令f'(x)>0，得0<x<或x>1，令f'(x)<0，得<x<1，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，+∞)上单调递增. 综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减； 当0<a<1时，f(x)在(0，1)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当a=1时，f(x)在(0，+∞)上单调递增； 当a>1时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，+∞)上单调递增. (每小题6分，共12分) 12.(多选)已知函数f(x)=ex+e-x-2cos x，则下列说法正确的是(　　) A．函数y=f(x)是偶函数，且在(-∞，+∞)上不单调 B．函数y=f'(x)是奇函数，且在(-∞，+∞)上不单调递增 C．函数y=f(x)在上单调递增 D．对任意m∈R，都有f(|m|)=f(m)，且f(m)≥0 答案：AD 解析：函数f(x)的定义域为R，且f=e-x+ex-2cos=ex+e-x-2cos x=f(x)，即函数f(x)为偶函数，在(-∞，+∞)上显然不单调，故A正确；又f'(x)=ex-e-x+2sin x，所以f'(-x)=e-x-ex-2sin x=-f'(x)，所以函数y=f'(x)是奇函数，因为f ″(x)=ex+e-x+2cos x≥2+2cos x≥0恒成立，所以y=f'(x)在(-∞，+∞)上单调递增，故B错误；当x∈时，sin x<0，ex-e-x<0，所以f'(x)=ex-e-x+2sin x<0在上恒成立，所以f(x)在上单调递减，故C错误；因为函数f(x)为偶函数，所以对任意m∈R，都有f(|m|)=f(m)，当x>0时，f'(x)>f'(0)=1-1+0=0，所以函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，则函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，所以f(x)≥f(0)=1+1-2=0，所以f(m)≥0，故D正确.故选AD． 13.(2023·全国乙卷)设a∈(0，1)，若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是　　　　.  答案： 解析：由函数的解析式可得f'(x)=axln a+(1+a)xln(1+a)≥0在区间(0，+∞)上恒成立，则(1+a)xln(1+a)≥-axln a，即≥-在区间(0，+∞)上恒成立，故=1≥-，而1+a∈(1，2)，故ln(1+a)>0，故即故≤a<1，所以实数a的取值范围是. (每小题8分，共16分) 14.(2025·江苏南京六校联考)已知a=，b=ln ，c=tan ，则(　　) A．b<a<c B．c<b<a C．a<c<b D．c<a<b 答案：A 解析：因为b=ln =ln ，所以b-a=ln -，设f=ln-x(0<x<1)，则f'=-1=-<0，所以f在上单调递减，所以f<f=0，即ln<，所以b<a；令g(x)=tan x-x(0<x<1)，则g'(x)=-1>0，所以g(x)在(0，1)上单调递增，所以g>g(0)=0，即tan>，则c>a，综上所述b<a<c.故选A． 15.(2025·湖南怀化模拟)已知函数f(x)=+x+sin x-1，若f(a-1)+f(2a2)≤-2，则实数a的取值范围是 (　　) A． B．∪ C． D．∪ 答案：A 解析：令h(x)=f(x)+1=+x+sin x，因为h=-x-sin x=-x-sin x=--x-sin x=-h(x)，所以h(x)为奇函数，原不等式化为f(2a2)+1≤-f(a-1)-1，即h(2a2)≤-h(a-1)，即h(2a2)≤h(1-a).h(x)=+x+sin x=+x+sin x=1-+x+sin x，因为y=3x为增函数，所以y=为减函数，所以y=-为增函数，又因为y=x+sin x，y'=1+cos x≥0，所以y=x+sin x为增函数，所以h(x)在x∈R上单调递增，所以2a2≤1-a，即2a2+a-1≤0，解得a∈.故选A． 学生用书⬇第64页 学科网（北京）股份有限公司 $