课时测评18 导数的概念及其意义、导数的运算（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（湘教版）

课时测评18　导数的概念及其意义、导数的运算 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1-9，每小题5分，共45分) 1.已知函数f(x)可导，则 =(　　) A．f'(x) B．f'(2 025) C．f(x) D．f(2 025) 答案：B 解析：因为函数f(x)可导，所以f'(x)=，所以=f'(2 025).故选B． 2.(2025·安徽宣城模拟)已知函数f(x)的导函数是f'(x)，且满足f(x)=2xf'(1)+ln ，则f(1)= (　　 ) A．-e B．e C．-2 D．2 答案：D 解析：由题意得，f'(x)=2f'(1)+·'=2f'(1)+x·=2f'(1)-，所以f'(1)=2f'(1)-1，解得f'(1)=1.所以f(x)=2x+ln，则f(1)=2+ln 1=2.故选D． 3.若曲线y=aln x+x2(a>0)的切线的倾斜角的取值范围是，则a=(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：由题知，y'=+2x≥2(当且仅当=2x时，等号成立)，因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是，所以斜率k≥，则=2，解得a=.故选B． 4.(2025·江苏南京模拟)已知函数f(x)=x(x+2)-mln x的图象在点处的切线与直线x+2y=0垂直，则m的值为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：由题知f'(x)=2x+2-，因为函数f(x)的图象在点处的切线与直线x+2y=0垂直，所以f'=2，即3-2m=2，解得m=.故选C． 5.(新定义)(多选)定义方程f(x)=f'(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新不动点”，则下列函数中只有一个“新不动点”的是(　　) A．g(x)=x·2x B．g(x)=-ex-2x C．g(x)=ln x D．g(x)=sin x+2cos x 答案：ABC 解析：对于A，g'(x)=2x+x·2x·ln 2，由x·2x=2x+x·2x·ln 2，解得x=，所以g(x)只有一个“新不动点”，故A正确；对于B，g'(x)=-ex-2，由-ex-2=-ex-2x，得x=1，所以g(x)只有一个“新不动点”，故B正确；对于C，g'(x)=，根据y=ln x和y=的图象可看出ln x=只有一个实数根，所以g(x)只有一个“新不动点”，故C正确；对于D，g'(x)=cos x-2sin x，由sin x+2cos x=cos x-2sin x，得3sin x=-cos x，所以tan x=-，根据y=tan x和y=-的图象可看出方程tan x=-有无数个根，所以g(x)有无数个“新不动点”，故D错误.故选ABC． 6.(新定义)(多选)若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是(　　) A．y=cos x B．y=ln x C．y=ex D．y=x2 答案：AD 解析：由题意，若y=f(x)具有T性质，则存在x1，x2，使得f'(x1)f'(x2)=-1.对于A，因为f'(x)=-sin x，存在x1=，x2=-，使得f'(x1)f'(x2)=-1，故A正确；对于B，因为f'(x)=>0，不存在x1，x2，使得f'(x1)f'(x2)=-1，故B错误；对于C，因为f'(x)=ex>0，不存在x1，x2，使得f'(x1)f'(x2)=-1，故C错误；对于D，因为f'(x)=2x，存在x1=1，x2=-，使得f'(x1)f'(x2)=4x1x2=-1，故D正确.故选AD． 7.函数f(x)的图象与其在点P处的切线如图所示，则f(1)-f'(1)=　　　　.  答案：4 解析：由题意，切线经过点(2，0)，(0，4)，可得切线的斜率为k==-2，即f'(1)=-2.又由切线方程为y=-2x+4，令x=1，得y=2，即f(1)=2，所以f(1)-f'(1)=2+2=4. 8.已知函数f(x)=2e-x(e为自然对数的底数)，则曲线y=f(x)在点(-2，f(-2))处的切线方程为　　　　　　　　.  答案：2e2x+y+2e2=0 解析：因为f'(x)=-2e-x，f'(-2)=-2e2，f(-2)=2e2，所以所求切线方程为y-2e2=-2e2(x+2)，即2e2x+y+2e2=0. 9.(2024·北京模拟)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(-e，-1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是　　　　　　.  答案：(e，1) 解析：设A(m，n)，则曲线y=ln x在点A处的切线方程为y-n=.又切线过点(-e，-1)，则n+1=.由n=ln m，解得m=e，n=1.故点A的坐标为(e，1). 10.(13分)已知函数f(x)=x-1+(a∈R，e为自然对数的底数). (1)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(5分) (2)当a=1时，若直线l：y=kx-1与曲线y=f(x)相切，求直线l的方程.(8分) 解：(1)f'(x)=1-，因为曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，即f'(1)=1-=0，解得a=e. (2)当a=1时，f(x)=x-1+，f'(x)=1-.设切点为(x0，y0)， 因为f=x0-1+=kx0-1， ① f'=1-=k， ② ①+②得x0=kx0-1+k，即(k-1)(x0+1)=0. 若k=1，则②式无解， 所以x0=-1，k=1-e， 所以直线l的方程为y=(1-e)x-1. 11.(14分)(2022·全国甲卷)已知函数f(x)=x3-x，g(x)=x2+a，曲线y=f(x)在点(x1，f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线. (1)若x1=-1，求a；(5分) (2)求a的取值范围.(9分) 解：(1)当x1=-1时，f(-1)=0，所以切点坐标为(-1，0). 由f(x)=x3-x，得f'(x)=3x2-1， 所以切线斜率k=f'=2， 所以切线方程为y=2(x+1)，即y=2x+2. 将y=2x+2代入y=x2+a，得x2-2x+a-2=0. 由切线与曲线y=g(x)也相切，得Δ=(-2)2-4(a-2)=0，解得a=3. (2)由(1)知，y=f(x)在点(x1，f(x1))处的切线斜率k=f'=3-1， 又f=-x1，所以切线方程为y-=， 即y=x-2. 将y=x-2代入y=x2+a， 得x2-x+a+2=0. 由切线与曲线y=g(x)也相切，得 Δ=-4=0， 整理，得4a=9-8-6+1. 令h(x)=9x4-8x3-6x2+1， 则h'(x)=36x3-24x2-12x=12x(3x+1)(x-1). 由h'(x)=0，得x=-，0，1， 当x变化时，h'(x)，h(x)的变化如表所示， x - 0 (0，1) 1 (1，+∞) h'(x) - 0 + 0 - 0 + h(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 由表知，当x=-时， h(x)取得极小值h=， 当x=1时，h(x)取得极小值h(1)=-4， 易知当x→-∞时，h(x)→+∞， 当x→+∞时，h(x)→+∞， 所以函数h(x)的值域为[-4，+∞)， 所以由4a∈[-4，+∞)，得a∈[-1，+∞)， 故实数a的取值范围为[-1，+∞). (每小题6分，共12分) 12.动直线l分别与直线y=2x-1，曲线y=x2-ln x相交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　) A． B． C．1 D． 答案：A 解析：由题意可知，直线y=2x-1与曲线y=x2-ln x不相交，设点A是直线y=2x-1上任意一点，点B是曲线y=x2-ln x上任意一点，当点B处的切线和直线y=2x-1平行时，这两条平行线间的距离|AB|的值最小，因为直线y=2x-1的斜率等于2，曲线y=x2-ln x的导数y'=3x-，令y'=2，可得x=1或x=-(舍去)，故此时点B的坐标为，|AB|min==.故选A． 13.(2024·广西桂林模拟)已知函数f(x)=x2-2，g(x)=3ln x-ax，若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在公共点处的切线相同，则实数a=　　　　.  答案：1 解析：设函数f(x)=x2-2与g(x)=3ln x-ax的公共点为(x0，y0)，则即则3ln x0+-1=0.令h(x)=3ln x+x2-1，易得h(x)在(0，+∞)上单调递增，由3ln x0+-1=0，解得x0=1，所以公共点为(1，-1)，所以-1=3ln 1-a，解得a=1. (每小题8分，共16分) 14.(多选)(2025·河南郑州名校联考)过点P作直线l与函数f=-2x3的图象相切，则(　　) A．若P与原点重合，则l方程为y=0 B．若l与直线x-6y=0垂直，则6a+b=4 C．若点P在f的图象上，则符合条件的l只有1条 D．若符合条件的l有3条，则<- 答案：AD 解析：设l与f=-2x3的图象切于点Q，则切线斜率k=f'=-6t2=，整理得4t3-6at2-b=0.对于A，若P与原点重合，则a=b=0，所以t=0，k=0，l即x轴，方程为y=0，故A正确；对于B，若l与直线x-6y=0垂直，则k=-6t2=-6，t=±1，当t=1时，4-6a-b=0，6a+b=4，当t=-1时，-4-6a-b=0，6a+b=-4，故B错误；对于C，当点P在f的图象上时b=-2a3，4t3-6at2+2a3=0，所以=0，解得t=a，或t=-，当a≠0时，l有2条，故C错误；对于D，设g=4t3-6at2-b，g'=12t2-12at，由g'=0得t=0或t=a，符合条件的l有3条，g有3个零点，则gg=-b<0，所以b<0，+1<0，<-，故D正确.故选AD． 15.(多选)(2025·江西南昌一模)已知直线l1是曲线f=ln x上任一点A处的切线，直线l2是曲线g=ex上点B处的切线，则下列结论中正确的是(　　) A．当x1+y1=1时，l1∥l2 B．存在x1，使得l1⊥l2 C．若l1与l2交于点C时，且△ABC为等边三角形，则x1=2+ D．若l1与曲线g相切，切点为C，则x1y2=1 答案：AD 解析：对于A，由题意得y1=ln x1，由x1+y1=1，得x1+ln x1=1，如图①，可知y=x+ln x与y=1交点是，可得x1=1，y1=ln x1=ln 1=0，由f=ln x，得f'=，所以直线l1的斜率为f'=f'=1，由g=ex，得g'=ex，所以直线l2的斜率为g'=g'=e0=1=f'，即直线l1的斜率等于直线l2的斜率，且l1：y=x-1，l2：y=x+1，所以l1∥l2，故A正确；对于B，因为·=f'·g'=·=·=·x1=1≠-1，所以不存在x1，使得l1⊥l2，故B错误；对于C，如图②，设l1，l2的倾斜角分别为α，β，因为△ABC为等边三角形，所以β=α±，又tan α=f'=，tan β=g'===x1，所以当β=α+， tan β=tan ===x1，整理得-2x1-1=0，所以x1=+2(负值舍去)；当β=α-，tan β=tan= ==x1，整理得+2x1-1=0，所以x1=-+2(负值舍去)；所以x1=±+2，又由题意可得△ABC关于直线y=x对称，△ABC为等边三角形，故C错误；对于D，若l1与曲线g相切，切点为C，则=f'==g'=，即=，又C在g=ex上，所以y2=，所以=y2，即x1y2=1，故D正确.故选AD． 学生用书⬇第61页 学科网（北京）股份有限公司 $