课时测评17 函数模型及其应用（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（湘教版）

课时测评17　函数模型及其应用 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (每小题5分，共60分) 1.设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为 (　　) 答案：D 解析：y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A、C．又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B．故选D． 2.(2025·陕西榆林模拟预测) “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”(明·《增广贤文》)是勉励人们专心学习的，如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是=1.01365；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是=0.99365，一年后“进步”的是“退步”的=≈1 481倍.若每天的“进步”率和“退步”率都是20%，则要使“进步”的是“退步”的100倍以上，最少要经过(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) (　　) A．10天 B．11天 C．12天 D．13天 答案：C 解析：设经过x天后， “进步”的是“退步”的100倍以上，则100×≤1.2x，即≥100，所以x≥100==≈≈11.36(天).故最少要经过12天.故选C． 3.(2025·浙江绍兴模拟)某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为120°的等腰梯形(如图)，水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为了提高水渠的过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面面积最大时，水渠的深度(即梯形的高)约为(参考数据：≈1.732) (　　) A．0.58米 B．0.87米 C．1.17米 D．1.73米 答案：B 解析：如图，设过水横断面为等腰梯形ABCD，过点B作BE⊥CD于E，∠BAD=∠ABC=120°，要使过水横断面面积最大，则此时资金3万元都用完，则100×(AB+BC+AD)×100=30 000，解得AB+BC+AD=3米.设BC=x，则AB=3-2x，BE=x，CE=x，CD=3-x，且0<x<，则梯形ABCD的面积S==，当x=1时，Smax=，此时BE=≈0.87，即当过水横断面面积最大时，水渠的深度(即梯形的高)约为0.87米.故选B． 4.(2024·四川成都一模)海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用ID=I0e-KD表示其总衰减规律，其中K是平均消光系数(也称衰减系数)，D(单位：米)是海水深度，ID(单位：坎德拉)和I0(单位：坎德拉)分别表示在深度D处和海面的光强.已知某海区10米深处的光强是海面光强的30%，则该海区消光系数K的值约为(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6) (　　) A．0.12 B．0.11 C．0.07 D．0.01 答案：A 解析：由题意得，30%I0=I0e-10K，即30%=e-10K，两边取自然对数得，-10K=ln 3-ln 10=ln 3-ln 2-ln 5，所以K=≈=0.12.故选A． 5.(2024·广东深圳期末)某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本ω(x)万元，其中ω(x)=若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为 (　　) A．720万元 B．800万元 C．875万元 D．900万元 答案：C 解析：该企业每年利润f(x)=当0<x≤40时，f(x)=-x2+60x-25=-(x-30)2+875，当x=30时，f(x)取得最大值875；当x>40时，f(x)=920-≤920-2=720(当且仅当x=100时，等号成立)，即当x=100时，f(x)取得最大值720.由于875>720，所以该企业每年利润的最大值为875万元.故选C． 6.(2024·安徽合肥联考)一般地，声音大小用声强级LI(单位：dB)表示，其计算公式为：LI=10lg，其中I为声强，单位：W/m2，若某种物体发出的声强为5-10 W/m2，其声强级约为(lg 2≈0.30) (　　) A．50 dB B．55 dB C．60 dB D．70 dB 答案：A 解析：由已知得LI=10lg=10×(12-10lg 5)=10×=10×(2+10lg 2)≈10×(2+10×0.30)=50(dB).故选A． 7.(多选)(2024·山东临沂模拟)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元，下列结论正确的是 (　　) A．出租车行驶2 km，乘客需付费8元 B．出租车行驶4 km，乘客需付费9.6元 C．出租车行驶10 km，乘客需付费25.45元 D．某人两次乘出租车均行驶5 km的费用之和超过他乘出租车行驶10 km一次的费用 答案：CD 解析：对于A，出租车行驶2 km，乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元，故A错误；对于B，出租车行驶4 km，乘客需付费8+2.15+1=11.15元，故B错误；对于C，出租车行驶10 km，乘客需付费8+2.15×5+2.85×2+1=25.45(元)，故C正确；对于D，某人两次乘出租车均行驶5 km的费用之和为2×(8+2.15×2+1)=26.6(元)，一次行驶10 km的费用为25.45元，26.6>25.45，故D正确.故选CD． 8.(多选)(2024·河北唐山联考)某大型商场开业期间为吸引顾客，推出“单次消费满100元可参加抽奖”的活动，奖品为本商场现金购物卡，可用于以后在该商场消费.已知抽奖结果共分5个等级，等级x与购物卡的面值y(元)的关系式为y=eax+b+k，三等奖比四等奖的面值多100元，比五等奖的面值多120元，且四等奖的面值是五等奖的面值的3倍，则(　　) A．a=-ln 5 B．k=15 C．一等奖的面值为3 130元 D．三等奖的面值为130元 答案：ACD 解析：由题意可知，四等奖比五等奖的面值多20元，所以=e-a==5，则a=-ln 5，故A正确；由-=e3a+b=100，可知e3a+b=125.因为四等奖的面值是五等奖的面值的3倍，所以e4a+b+k=3(e5a+b+k)，解得k=5，故B错误；三等奖的面值为e3a+b+k=125+5=130元，故D正确；由ea+b+k=e3a+b·e-2a+k=125×25+5=3 130，故一等奖的面值为3 130元，故C正确.故选ACD． 9.(多选)(2024·江苏常州检测)地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准.里氏震级的计算公式为M=lg(其中常数A0是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，Amax是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅).地震的能量E(单位：焦耳)是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量.已知E=104.8×101.5M，其中M为地震震级.下列说法正确的是 (　　) A．若地震震级M增加1级，则最大振幅Amax增加到原来的10倍 B．若地震震级M增加1级，则放出的能量E增加到原来的10倍 C．若最大振幅Amax增加到原来的10倍，则放出的能量E增加到原来的10倍 D．若最大振幅Amax增加到原来的10倍，则放出的能量E增加到原来的1 000倍 答案：AC 解析：因为M'=M+1=1+lg=lg，所以A'max=10Amax，故A正确；因为E'=104.8×101.5M' = 104.8×1=104.8×101.5M+1.5=101.5E，故B错误；因为lg=M+1=M'， E'=104.8×101.5M' =104.8×1=104.8×101.5M+1.5=101.5E=10E，故C正确，D错误.故选AC． 10.生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来进行判断.已知水中某生物体内抗生素的残留量y(单位：mg)与时间t(单位：年)近似满足关系式y=λ(1-3-λt)，λ≠0，其中λ为抗生素的残留系数，当t=8时，y=λ，则λ=　　　　.  答案： 解析：因为λ=λ，所以3-8λ==3-2，解得λ=. 11.(2024·四川绵阳检测)一种药在病人血液中的量保持1 000 mg以上才有疗效，而低于500 mg病人就有危险.现给某病人静脉注射了这种药2 000 mg，如果药在血液中以每小时10%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过　　　　 h内向病人的血液中补充这种药，才能保持疗效.(附：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，精确到0.1)  答案：6.6 解析：设x h后血液中的药物量为y mg，则有y=2 000(1-10%)x，令y≥1 000，得x≤≈≈6.6，故从现在起经过6.6 h内向病人的血液中补充这种药，才能保持疗效. 12.某核电站爆炸导致约8吨的强辐射物严重泄漏，事故所在地被严重污染.主要辐射物是锶90，它每年的衰减率为2.47%，经专家模拟估计，辐射物中锶90的剩余量低于原有的8.46%时，事故所在地才能再次成为人类居住的安全区，则事故所在地至少经过　　　　年才能再次成为人类居住的安全区.参考数据：ln 0.084 6≈-2.47，ln 0.975 3≈-0.03.(结果保留整数)  答案：83 解析：设辐射物中原有的锶90有a(0<a<8)吨.经过t(t∈N+)年后辐射物中锶90的剩余量为P(t)吨，则P(t)=a(1-2.47%)t，t∈N+，化简得P(t)=0.975 3ta，t∈N+，由题意得，0.975 3ta<0.084 6a，不等式两边同时取对数，得ln 0.975 3t<ln 0.084 6，化简得tln 0.975 3<ln 0.084 6，由参考数据得-0.03t<-2.47.所以t>≈82.3，所以事故所在地至少经过83年才能再次成为人类居住的安全区. 13.(20分)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年. (1)当0<x≤20时，求v关于x的函数解析式；(8分) (2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大?并求出最大值.(12分) 解：(1)由题意得当0<x≤4时，v=2； 当4<x≤20时，设v=ax+b(a≠0)， 显然v=ax+b在(4，20]内单调递减， 由已知得解得 所以v=-x+. 故函数v= (2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由 (1)可得f(x)= 当0<x≤4时，f(x)单调递增， 故f(x)max=f(4)=4×2=8； 当4<x≤20时，f(x)=-x2+x=-(x2-20x)=-+，f(x)max=f=12.5. 所以当0<x≤20时，f(x)的最大值为12.5. 即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米. (每小题10分，共20分) 14.(多选)(2025·河南郑州一模)溶液酸碱度是通过pH来计量的.pH的计算公式为pH=-lg，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.例如纯净水中氢离子的浓度为10-7摩尔/升，则纯净水的pH是7.当pH<7时，溶液呈酸性，当pH>7时，溶液呈碱性，当pH=7(例如：纯净水)时，溶液呈中性.我国规定饮用水的pH值在6.5-8.5之间，则下列选项正确的是 (　　) (参考数据：取lg 2≈0.3) A．若苏打水的pH是8，则苏打水中的氢离子浓度为10-8摩尔/升 B．若胃酸中氢离子的浓度为2.5×10-2摩尔/升，则胃酸的pH是1.6 C．若海水的氢离子浓度是纯净水的10-1.6倍，则海水的pH是8.6 D．若某种水中氢离子的浓度为4×10-7摩尔/升，则该种水适合饮用 答案：ABC 解析：对于A，若苏打水的pH是8，即pH=-lg[H+]=8，所以=10-8，即苏打水中的氢离子浓度为10-8摩尔/升，故A正确；对于B，若胃酸中氢离子的浓度为2.5×10-2摩尔/升，则pH=-lg(2.5×10-2)=-lg 2.5-lg 10-2=2-(lg 10-lg 4)=1+2lg 2≈1.6，故B正确；对于C，若海水的氢离子浓度是纯净水的10-1.6倍，则海水的氢离子浓度是10-1.6·10-7=10-8.6，因此pH=-lg 10-8.6=8.6，即海水的pH是8.6，故C正确；对于D，若某种水中氢离子的浓度为4×10-7摩尔/升，则pH=-lg=-lg 4-lg 10-7=7-2lg 2≈6.4；而6.4不在6.5-8.5范围内，即该种水不适合饮用，故D错误.故选ABC． 15.(多选)目前部分城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2020年到2023年产生的包装垃圾量如下表： 年份x 2020 2021 2022 2023 包装垃圾产生量y(万吨) 4 6 9 13.5 有下列函数模型：①y=a·bx-2 020；②y=sin+b.(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 则以下说法正确的是 (　　) A．选择模型①，函数模型解析式为y=4×，近似反映该城市近几年包装垃圾产生量y(万吨)与年份x的函数关系 B．选择模型②，函数模型解析式为y=sin+4，近似反映该城市近几年包装垃圾产生量y(万吨)与年份x的函数关系 C．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2025年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨 D．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2026年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨 答案：AD 解析：若选y=4×，计算可得对应数据近似值为4，6，9，13.5，若选y=sin+4，计算可得对应数据近似值不会大于5，显然A正确，B错误；按照选择函数模型y=4×，令y>40，即4×>40，所以>10，所以x-2 020>lo10，所以x-2 020>=≈5.678 6，所以x>2 025.678 6，即从2026年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨，故C错误，D正确.故选AD． 学生用书⬇第57页 学科网（北京）股份有限公司 $