课时测评16 函数与方程（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（湘教版）

课时测评16　函数与方程 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (每小题5分，共60分) 1.用二分法研究函数f(x)=x5+8x3-1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为(　　) A．(0，0.5)，f(0.125) B．(0，0.5)，f(0.375) C．(0.5，1)，f(0.75) D．(0，0.5)，f(0.25) 答案：D 解析：因为f(0)f(0.5)<0，由零点存在定理知，零点x0∈(0，0.5)，根据二分法，第二次应计算f，即f(0.25).故选D． 2.(2024·吉林长春模拟)函数f(x)=e2x+5x-2的零点所在区间为(　　) A．(-1，0) B． C． D． 答案：B 解析：因为f(0)=-1<0，f=->0，且f(x)=e2x+5x-2为连续的增函数，所以f(x)的零点所在区间为.故选B． 3.函数f(x)=的零点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：当x≤0时，令f(x)=x2-2x-3=0，得x=-1(x=3舍去)，当x>0时，令f(x)=0，得log2x=3x-4，作出y=log2x与y=3x-4的图象，如图所示，由图可知，y=log2x与y=3x-4有两个交点，所以当x>0时，f(x)=0有两个零点.综上，f(x)有3个零点.故选C． 4.已知函数f(x)=恰有2个零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(2，+∞) B．[2，+∞) C．(-∞，2) D．(-∞，2] 答案：C 解析：当x≥1时，f(x)的零点为1，则当x<1时，必有一个零点，y=2x-a为一次函数，单调递增，故需2-a>0，即a<2.故选C． 5.已知函数f(x)=log2-+m在区间(1，3]上有零点，则实数m的取值范围为(　　) A． B．∪ C．∪ D． 答案：D 解析：因为函数y=log2，y=m-在区间(1，3]上单调递增，所以函数f(x)在(1，3]上单调递增，因为函数f(x)=log2-+m在区间(1，3]上有零点，则即解得-≤m<0.因此，实数m的取值范围是.故选D． 6.已知函数f(x)=x-(x>0)，g(x)=x+ex，h(x)=x+ln x(x>0)的零点分别为x1，x2，x3，则(　　) A．x1<x2<x3 B．x2<x1<x3 C．x2<x3<x1 D．x3<x1<x2 答案：C 解析：函数f(x)=x-(x>0)，g(x)=x+ex，h(x)=x+ln x(x>0)的零点，即为y=x与y=(x>0)，y=-ex，y=-ln x(x>0)的交点的横坐标，作出y=x与y=(x>0)，y=-ex，y=-ln x(x>0)的图象，如图所示.可知x2<x3<x1.故选C． 7.(多选)函数f(x)=sin x+2|sin x|，x∈[0，2π]的图象与直线y=k的交点个数可能是(　　) A．1 B．2 C．4 D．6 答案：ABC 解析：由题意知，f(x)= 在坐标系中画出函数f(x)的图象如图所示. 由其图象知，直线y=k与y=f(x)的图象交点个数可能为0，1，2，3，4.故选ABC． 8.(多选)(2024·山西朔州模拟)已知函数f(x)=函数g(x)=f(x)-a，则下列结论正确的是 (　　) A．若g(x)有3个不同的零点，则a的取值范围是[1，2) B．若g(x)有4个不同的零点，则a的取值范围是(0，1) C．若g(x)有4个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)，则x3+x4=4 D．若g(x)有4个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)，则x3x4的取值范围是 答案：BCD 解析：令g(x)=f(x)-a=0，得f(x)=a，则g(x)的零点个数即为函数y=f(x)的图象与y=a的交点个数.作出函数y=f(x)的图象如图所示，由图可知，若g(x)有3个不同的零点，则a的取值范围是[1，2)∪{0}，故A错误；若g(x)有4个不同的零点，则a的取值范围是(0，1)，故B正确；g(x)有4个不同的零点x1，x2，x3， x4(x1<x2<x3<x4)，此时x3，x4关于直线x=2对称，所以x3+x4=4，故C正确；由C可知x3=4-x4，所以x3x4=(4-x4)x4=-+4x4，由于g(x)有4个不同的零点，a的取值范围是(0，1)，则0<-4+16x4-13<1，所以<-+4x4<，故D正确.故选BCD． 9.(新定义)(多选)(2024·江苏南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)=x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是 (　　) A．f(x)=2x+x B．f(x)=x2-x-3 C．f(x)=+1 D．f(x)=|log2x|-1 答案：BCD 解析：对于A，若f(x0)=x0，则=0，该方程无解，故该函数不是“不动点”函数；对于B，若f(x0)=x0，则-2x0-3=0，解得x0=3或x0=-1，故该函数是“不动点”函数；对于C，若f(x0)=x0，则+1=x0，可得-3x0+1=0，且x0≥1，解得x0=，故该函数是“不动点”函数；对于D，若f(x0)=x0，则|log2x0|-1=x0，即|log2x0|=x0+1，作出y=|log2x|与y=x+1的函数图象，如图，由图可知，方程|log2x|=x+1有实数根x0，即存在x0，使得|log2x0|-1=x0成立，故该函数是“不动点”函数.故选BCD． 10.已知函数f(x)=是奇函数，则函数f(x)的零点为　　　　.  答案：±2 解析：由题意知f(-x)=-f(x)，所以当x<0时，-x>0，则g(x)=f(x)=-f(-x)=4-2-x， 所以f(x)=令f(x)=0，所以当x>0时，x=2；当x<0时，x=-2，所以函数f(x)的零点为±2. 11.(2024·山东德州模拟)方程2x+3x=k的解在[1，2)内，则实数k的取值范围是　　　　.  答案：[5，10) 解析：令函数f(x)=2x+3x-k，则f(x)在R上是增函数.当方程2x+3x=k的解在(1，2)内时，f(1)·f(2)<0，即(5-k)(10-k)<0，解得5<k<10，又当f(1)=0时，k=5.综上，实数k的取值范围是[5，10). 12.(2024·江西五校高三联考)已知函数f(x)=函数y=f(x)-a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，则=　　　　.  答案： 解析：y=f(x)-a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，即方程f(x)=a有四个不同的解，即y=f(x)的图象与直线y=a有四个交点.在同一平面直角坐标系中分别作出y=f(x)与y=a的图象，如图所示， 由二次函数的对称性可得，x3+x4=4.因为1-=-1，所以+=2，故=. (每小题8分，共16分) 13.(2025·湖北黄冈模拟)函数f(x)=g(x)=kx-3k，若函数f(x)与g(x)的图象有三个交点，则实数k的取值范围为 (　　) A． B． C．(-2，0) D． 答案：D 解析：作出函数f(x)=的图象，如图所示，设与y=4-x2相切的直线为l，且切点为P，因为y'=-2x，所以切线的斜率为k=-2x0，则切线方程为y-4+=-2x0，因为g(x)=kx-3k过定点(3，0)，若切线过定点(3，0)，代入切线方程求得x0=3-或x0=3+(舍去)，所以此时切线的斜率为k=2-6，因为函数f(x)与g(x)的图象有三个交点，由图象知，实数k的取值范围为.故选D． 14.(2025·福建泉州模拟)已知定义域为R的偶函数f(x)满足f(2-x)=f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=e1-x-1，则方程f(x)=在区间[-3，5]上所有解的和为 (　　) A．8 B．7 C．6 D．5 答案：A 解析：因为函数f(x)满足f(2-x)=f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称.又函数f(x)为偶函数，所以f(2-x)=f(x)=f(-x)，所以函数f(x)是周期为2的周期函数，令g(x)=，它的图象也关于直线x=1对称，作出函数f(x)与g(x)在区间[-3，5]上的图象，如图所示. 由图可知，函数f(x)与g(x)的图象在区间[-3，5]上有8个交点，且关于直线x=1对称，所以方程f(x)=在区间[-3，5]上所有解的和为4×2=8.故选A． (每小题12分，共24分) 15.(2024·重庆月考)已知函数f(x)=且a∈N+，记g(x)=f(x)+t，若存在实数t使得g(x)有两个不同的零点，则正整数a的最大值为　　　　.  答案：2 解析：当x>a时，f(x)=2x-3单调递增，当-1<x≤a时，f(x)=log2(x+1)单调递增.由题意，若存在实数t使得g(x)有两个不同的零点，即存在实数t，使得方程f(x)=-t有两个不相等的根，即函数f(x)的图象与直线y=-t有两个交点，所以当点P(a，log2(a+1))在点Q(a，2a-3)上方，即log2>2a-3时，符合题意.因为log2(2+1)>22-3=1，log2(3+1)<23-3=5，结合y=2x-3与y=log2(x+1)的图象可得正整数a的最大值为2. 16.(新定义)已知M={α|f(α)=0}，N={β|g(β)=0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α-β|<n，则称函数f(x)与g(x)互为“n度零点函数”.若f(x)=32-x-1与g(x)=x2-aex互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为　　　　.  答案： 解析：由题意可知f(2)=0，且f(x)在R上单调递减，所以函数f(x)只有一个零点2，由|2-β|<1，得1<β<3，所以函数g(x)=x2-aex在区间(1，3)上存在零点.由g(x)=x2-aex=0，得a=.令h(x)=，则h'(x)= =，所以h(x)在区间(1，2)上单调递增，在区间(2，3)上单调递减，且h(1)=，h(2)=，h(3)=>，要使函数g(x)在区间(1，3)上存在零点，只需a∈. 学生用书⬇第52页 学科网（北京）股份有限公司 $