课时测评10 函数性质的综合应用（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（湘教版）

课时测评10　函数性质的综合应用 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (每小题5分，共60分) 1.已知定义在R上的函数f(x)在(-∞，2]上单调递减，且f(x+2)为偶函数，则不等式f(x-1)>f(2x)的解集为 (　　) A．∪ B．∪ C． D． 答案：D 解析：因为函数f(x+2)为偶函数，所以f(-x+2)=f(x+2)，即f(2-x)=f(2+x)，所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称，又因为函数f(x)定义域为R，在区间(-∞，2]上单调递减，所以函数f(x)在区间(2，+∞)上单调递增，所以由f(x-1)>f(2x)得，|(x-1)-2|>|2x-2|，解得x∈.故选D． 2.(2023·四川达州一诊)已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，f(1+x)=f(1-x)，当x∈[-1，1]时，f(x)=x3-3x，则f(2 023)=(　　) A．1 B．-2 C．-1 D．2 答案：D 解析：法一：因为定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，所以f(1+x)=f(1-x)=-f(x-1)，则f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数.则f(2 023)=f(4×505+3)=f(3)=f(-1)=2.故选D． 法二：由f(x)的定义域为R，f(-x)=-f(x)，可知f(x)为奇函数，由f(1+x)=f(1-x)，可知f(x)的图象关于直线x=1对称，所以f(x)是以4为周期的周期函数.则f(2 023)=f(4×505+3)=f(3)=f(-1)=2.故选D． 3.已知函数f(x)的定义域为R，且f(2x+1)既是奇函数又是增函数，f(3)=2，则f(2x-1)<-2的解集为 (　　) A．{x|x<-2} B．{x|x<-3} C．{x|x<-1} D．{x|x<0} 答案：D 解析：令g(x)=f(2x+1)，因为g(x)既是奇函数又是增函数，f(3)=2，所以g(1)=f(3)=2，所以g(-1)=-2，所以不等式f(2x-1)<-2等价于g(x-1)<g(-1)，所以x-1<-1，即x<0.故选D． 4.已知函数f(x)的图象关于原点对称，且满足f(x+1)+f(3-x)=0，且当x∈(2，4)时，f(x)=-lo(x-1)+m，若=f(-1)，则m等于 (　　 ) A． B． C．- D．- 答案：C 解析：因为函数f(x)的图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数，因为f(x+1)=-f(3-x)=f(x-3)，故函数f(x)的周期为4，则f(2 025)=f(1)，而f(-1)=-f(1)，所以由=f(-1)可得f(1)=，而f(1)=-f(3)=lo(3-1)-m=，解得m=-.故选C． 5.(2023·福建泉州第一次质量监测)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，当1≤x<2时，f(x)=x-2.若y=x-与f(x)的图象交于点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n∈N+)，则(xi+yi)=(　　) A．6 B．8 C．10 D．14 答案：D 解析：因为f(x)为奇函数，所以f(x+2)=-f(x)=f(-x)，所以直线x=1是函数f(x)图象的一条对称轴.又由f(x+2)=-f(x)，得到f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数.作出函数f(x)的图象，如图所示. 因为-f(x)=f(-x)=f(4-x)，所以点(2，0)是函数f(x)图象的一个对称中心，由图象可知直线y=x-也关于点(2，0)对称，且当x≥8时，y=x-≥1，当x≤-4时，y=x-≤-1，直线y=x-与y=f(x)的图象有7个公共点，则由对称性可得，x1+x2+…+x7=2+4×3=14，y1+y2+y3+…+y7=0，因此=14.故选D． 6.(多选)(2024·湖南九校联盟第二次联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0，且y=f(2-x)为偶函数，则下列说法一定正确的是(　　) A．函数f(x)的周期为2 B．函数f(x)的图象关于(1，0)对称 C．函数f(x)为偶函数 D．函数f(x)的图象关于x=3对称 答案：BC 解析：依题意，R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以函数f(x)的周期为4，故A错误；因为函数y=f(2-x)是偶函数，则f(2-x)=f(2+x)，函数f(x)的图象关于x=2对称，且f(2-x)=-f(x)，即f(2-x)+f(x)=0，函数f(x)图象关于(1，0)对称，故B正确；由f(2-x)=f(2+x)得f(-x)=f(4+x)=f(x)，则函数f(x)为偶函数，故C正确；由f(x+2)+f(x)=0得f(x+3)+f(1+x)=0，由f(2-x)=f(2+x)得f(3-x)=f(1+x)，因此f(x+3)+f(3-x)=0，函数f(x)的图象关于(3，0)对称，故D错误.故选BC． 7.(多选)(2025·浙江杭州模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g是定义在R上的奇函数，且f，g在上单调递增，则(　　) A．f<f B．f<f C．g<g D．g<g 答案：BCD 解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，g是定义在R上的奇函数，且f，g在上单调递增，所以f(1)<f(2)，g(2)>g(1)>g(0)=0，f(x)在上单调递减，g在R上单调递增，对于A，因为f，f的正负无法确定，若f(1)<f(2)<0，则f>f，故A错误；对于B，由g(2)>g(1)>g(0)=0，f在上单调递增，则f<f，故B正确；对于C，由f(1)<f(2)，g在R上单调递增，则g<g，故C正确；对于D，由g(1)<g(2)，g在R上单调递增，则g<g，故D正确.故选BCD． 8.(多选)(2024·山东泰安模拟)已知函数y=f(x)在[1，+∞)上单调递增，且f(x)关于x=1对称，则(　　) A．f(-1)<f(3) B．f<f(1) C．f(x+1)为偶函数 D．任意x∈R且x≠0，都有f(2x)<f(3x) 答案：CD 解析：对于A，因为函数y=f(x)的图象关于x=1对称，所以f(-1)=f(3)，故A错误；对于B，因为2x>0，所以2x+1>1，又因为函数f(x)在[1，+∞)上单调递增，所以f>f(1)，故B错误；对于C，因为f(x)的图象向左平移一个单位即f(x+1)的图象，函数y=f(x)的图象关于x=1对称，则f(x+1)的图象关于y轴对称，是偶函数，故C正确；对于D，函数f(x)在[1，+∞)单调递增，且关于x=1对称，函数在(-∞，1]上单调递减，当x<0时，3x<2x<1，所以f(2x)<f(3x)，当x>0时，1<2x<3x，所以f(2x)<f(3x)，综上，∀x∈R且x≠0，都有f(2x)<f(3x)，故D正确.故选CD． 9.(多选)已知定义域为R的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=0，且f(1-x)=f(1+x)，则下列结论一定正确的是 (　　) A．f(x+2)=f(x) B．函数y=f(x)的图象关于点(2，0)对称 C．函数y=f(x+1)是偶函数 D．f(2-x)=f(x-1) 答案：BC 解析：对于A，因为f(-x)+f(x)=0，且f(1-x)=f(1+x)，则f(1-(1+x))=f(1+(1+x))，即f(x+2)=-f(x)，故A错误；对于B，因为f(x+2)=-f(x)，则f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，因为f(-x)+f(x)=0，则f(-(2+x))+f(2+x)=0，即f(2+x)=-f(-2-x)=-f(2-x)，即f(2+x)+f(2-x)=0，故函数y=f(x)的图象关于点(2，0)对称，故B正确；对于C，因为f(1-x)=f(1+x)，故函数y=f(x+1)是偶函数，故C正确；对于D，因为f(1-x)=f(1+x)，则f(1-(x-1))=f(1+(x-1))，即f(2-x)=f(x)，题干中没有条件能说明f(x)与f(x-1)的关系，故D错误.故选BC． 10.已知函数f(x)，对于∀x∈R，都有f(-4-x)=f(x)成立，且任取x1，x2∈<0，若f(m)<f(1)，则实数m的取值范围是　　　　.  答案：(-∞，-5)∪(1，+∞) 解析：∀x∈R，都有f(-4-x)=f(x)成立，则函数图象关于直线x=-2对称，任取x1，x2∈， <0(x1≠x2)，则f(x)在[-2，+∞)上单调递减，所以f(x)在(-∞，-2)上单调递增，所以由f(m)<f(1)，得|m-(-2)|>|1-(-2)|，解得m>1或m<-5. 11.若函数y=f(x)的图象关于直线x=对称，且y=f(x)共有3个零点，则所有零点之和为　　　　.  答案： 解析：因为函数y=f(x)的图象关于直线x=对称，且f(x)共有3个零点，则x=必为其中一个零点，并且另外两个零点关于x=对称，所以所有零点之和为. 12.(开放题)(2025·广东广州模拟)写出一个同时具有下列性质的函数f=　　　　　.  ①f是偶函数；②f不存在对称中心； ③f存在最小正周期，且最小正周期为2. 答案：(答案不唯一) 解析：由题意可知，f(x)是偶函数，f(x)不存在对称中心，f(x)存在最小正周期，且最小正周期为2，所以f(x)=满足题意.(答案不唯一) (每小题8分，共16分) 13.(多选)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x+1)=f(x-2)，下列说法正确的是(　　) A．y=f(x)的图象关于直线x=对称 B．y=f(x)的图象关于点对称 C．y=f(x)在[0，6]内至少有5个零点 D．若y=f(x)在[0，1]上单调递增，则它在[2 024，2 025]上也单调递增 答案：BCD 解析：因为f(x+1)=f(x-2)且y=f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x+3)=f(x)，故函数f(x)是周期为3的周期函数，且f(x+3)=f(x)=-f(-x)，所以f(3+x)+f(-x)=0，故函数y=f(x)的图象关于点对称，故A错误，B正确；由题意可知，f(6)=f(3)=f(0)=0，因为f(x)=f(x+3)=-f(-x)，令x=-，可得f=f，即f=-f，所以f=0，从而f=f=0，故函数y=f(x)在[0，6]内至少有5个零点，故C正确；因为f(2 024)= f(3×675-1)=f(-1)，f(2 025)=f(3×675)=f(0)，且函数f(x)在[0，1]上单调递增，则函数f(x)在[-1，0]上也单调递增，故函数f(x)在[2 024，2 025]上也单调递增，故D正确.故选BCD． 14.(2024·福建漳州第三次质量检测)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，f(2x+1)是奇函数，且f(x)+g(3-x)=-4，y=g(x)的图象关于x=1对称，f(4)=2，则f(22)+g(24)=(　　) A．4 B．8 C．-4 D．-6 答案：D 解析：因为y=g(x)的图象关于x=1对称，所以g(3-x)=g(x-1).因为f(x)+g(3-x)=-4①，所以f(4-x)+g(3-(4-x))=-4，即f(4-x)+g(x-1)=-4②，①-②得，f(x)=f(4-x)，所以y=f(x)的图象关于x=2对称.令h(x)=f(2x+1)，则h(x)是奇函数，所以h+h=f(x+1)+f(-x+1)=0，即f(x+1)=-f(-x+1)，所以f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，所以f(4-x)=-f(x-2)，所以f(x)=-f(x-2)=f(x-4)，所以f(x)是以4为周期的周期函数.因为f(x)+g(x-1)=-4，所以g(x)=-4-f(x+1).因为f(x)是以4为周期的周期函数，所以g(x)也是以4为周期的周期函数，取x=0，f(1)=-f(1)，所以f(1)=0.因为f(4)=2，所以f(0)=2，所以f(2)=-f(0)=-2，f(3)=f(1)=0.取x=3，所以f(3)+g(0)=-4，所以g(0)=-4，所以f(22)+g(24)=f(2)+g(0)=-2-4=-6.故选D． (每小题12分，共24分) 15.(2025·江苏徐州适应性测试)若定义在R上的函数f满足f+f(x)=f，f(2x+1)是奇函数，f=，则(　　) A．f=- B．f=0 C．kf=- D．kf= 答案：D 解析：由f(x+2)+f(x)=f，得f(x+4)+f(x+2)=f，则f(x+4)=f(x)，即函数f(x)的周期为4，由f(2x+1)是R上的奇函数，得f(-2x+1)=-f(2x+1)，即f(-x+1)+f(x+1)=0，于是f+f=0，f+f=f+f=0，即f+f+f+f=0，因此f=4+f=f=，故A、B错误；由f(x+4)+f(x+2)=f，取x=0，得f(2)=0，则f(4)=f(0)=-f(2)=0，因此f(x+2)+f(x)=0，取x=，得f+f=0，于是f+2f+3f+4f=+3+f+f=0，同理可得5f+6f+7f+8f=0，9f+10f+11f+12f=0，13f+14f+15f+16f=0，则kf=17f=，故C错误，D正确.故选D． 16.(多选)(2025·安徽六校第二次素养测试)已知函数f，g的定义域均为R，f+g(1+x)=2，g-f=2，g-f=2，且当x∈时.f=x2+1，则(　　) A．g=2 B．g(i)=0 C．函数f的图象关于直线x=3对称 D．方程f=x有且只在2个实根 答案：AC 解析：对于A，由可得所以g(2-x)+g(4-x)=4，所以g(2-(2-x))+g(4-(2-x))=4，即g(x)+g(x+2)=4，所以g(x+2)+g(x+4)=4，得g(x)=g(x+4)，故g为周期函数，且周期为4，又可得 故g(2-x)+g(x+2)=4，令x=0可得g=2，令g(x)+g(x+2)=4中的x=0可得g=2，所以g=g=2，故A正确；对于B，因为当x∈时，f=x2+1，所以f=2，由f(1-x)+g=2得f+g=2，所以g=0，由g-f=2得g-f=2，所以g=4，又g=g=2，所以g(i)=506[g+g+g+g]=506×(0+2+4+2)=4 048，故B错误； 对于C，由 可得故f(2-x)+f(4-x)=0，即f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=f(x)，由 可得故f(1-x)+f(x-1)=0，即f(x)=-f(-x)，所以f(x+2)=-f(x)=f，故f(x)为奇函数，图象关于x=1对称，且周期为4，又当x∈时.f=x2+1，作出f(x)的图象如图①：由图可知函数f的图象关于直线x=3对称，故C正确；对于D，方程f=x，即f=x，由图②可知，函数f的图象和y=x的图象有3个交点，即方程f=x有3个实根，故D错误.故选AC． 学生用书⬇第30页 学科网（北京）股份有限公司 $