第十章 2 第二节 二项式定理（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（湘教版）

该高中数学讲义聚焦二项式定理高考核心考点，涵盖定理证明、通项公式、二项式系数性质等内容，按“基础概念-性质应用-综合拓展”逻辑架构知识点。通过考点梳理表格化呈现、方法指导分角度探究、真题训练分层设计等环节，帮助学生系统突破展开式特定项求解、系数和计算等难点，体现复习教学的系统性与针对性。 资料特色在于“真题导向+素养渗透”，采用多维探究教学法，如将通项问题分为(a+b)^n型、乘积型、三项型等角度，结合自主检测与对点练分层练习，培养学生数学思维与符号表达能力。通过教材习题与高考真题对比分析，助力学生在有限时间内掌握解题规律，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第二节　二项式定理 【课程标准】　1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.　2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 1.二项式定理 二项式定理 (a+b)n=an+an-1b1+…+an-rbr+…+bn(n∈N+) 二项展开式的通项 Tr+1=an-rbr，它表示展开式的第r+1项 二项式系数 (r=0，1，…，n) [微提醒]　二项式系数是指，…，，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且与a，b的值有关. 2.二项式系数的性质 【常用结论】 若二项展开式的通项为Tr+1=g·xh(r)(r=0，1，2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论： (1)h=0⇔Tr+1是常数项. (2)h(r)是非负整数⇔Tr+1是整式项. (3)h(r)是负整数⇔Tr+1是分式项. (4)h(r)是整数⇔Tr+1是有理项. 【自主检测】 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A．an-rbr是的展开式中的第r项 B．(a+b)n的展开式中每一项的二项式系数与a，b无关 C．通项公式Tr+1=an-rbr中的a和b不能互换 D．二项式的展开式中的系数最大项与二项式系数最大项是相同的 答案：BC 2.(1-2x)4展开式中第3项的二项式系数为(　　) A．6 B．-6 C．24 D．-24 答案：A 解析：(1-2x)4展开式中第3项的二项式系数为=6.故选A． 3.(2021·北京卷) 的展开式中的常数项是　　　　.  答案：-4 解析：的展开式的通项Tr+1=(x3)4-r·=(-1)rx12-4r，令12-4r=0，得r=3，所以常数项为-=-4. 4.的展开式的中间项为　　　　.  答案：-40x2 解析：的展开式的中间项为=-40x2. 5.若的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为　　　　.  答案：20 解析：因为二项式系数之和为2n=64，所以n=6，则Tr+1=·x6-r·=x6-2r，当6-2r=0，即r=3时为常数项，即常数项为T4==20. 考点一　展开式中的通项问题多维探究 角度1　(a+b)n(n∈N+)型 (1)(2024·河南开封模拟)在的展开式中，第2项的系数与第1项的系数之差为320，则该二项展开式中x8的系数为(　　) A．140 B．280 C．560 D．1 120 (2)的展开式中，无理项的项数为(　　) A．27 B．24 C．26 D．25 学生用书⬇第281页 (3)(2024·天津卷)在的展开式中，常数项为　　　　.  答案：(1)C　(2)D　(3)20 解析：(1)由题意知，二项式展开式的通项为Tr+1=· =2n-rx5r-n，又第2项的系数与第1项的系数之差为320，所以2n-1-2n=320，即2n-1=320，解得n=7，所以Tr+1=27-rx5r-7，令5r-7=8，解得r=3，故展开式中x8的系数为27-3=560.故选C． (2)展开式的通项为Tr+1=·()30-r·=，r=0，1，2，…，30，若x的指数15-r为整数，则r是6的倍数，所以当r=0，6，12，18，24，30时为有理项，共6项，故无理项的项数为31-6=25.故选D． (3)Tr+1==·36-2r·x6r-18.令6r-18=0，得r=3，所以常数项为T4= ·30·x0=20. 求型展开式中特定项问题的步骤 角度2　(a+b)m(c+d)n(m，n∈N+)型 (1)(2025·安徽蚌埠市第三次质量检测) (1-x+x2)2·(1+x)3的展开式中，x4的系数为(　　) A． 1 B． 2 C． 4 D． 5 (2)(2025·江苏南京六校联考) 已知(mx-y)5的展开式中x2y4的系数为80，则m的值为　　　　.  答案：(1)B　(2)±2 解析：(1)依题意，=1+x2+x4-2x+2x2-2x3=1-2x+3x2-2x3+x4，(1+x)3=1+3x+3x2+x3，所以·(1+x)3的展开式中，x4的系数为-2×1+3×3-2×3+1×1=2.故选B． (2)由题意可知，(mx-y)5=(mx-y)5-2y(mx-y)5，在(mx-y)5的展开式中，由x-1 =m5-kx4-kyk，令得k无解，即(mx-y)5的展开式中没有x2y4的项；在2y(mx-y)5的展开式中，由2y= 2m5-rx5-ryr+1，令解得r=3，即2y(mx-y)5的展开式中x2y4的项的系数为2m5-3=-20m2，所以(mx-y)5的展开式中x2y4的系数为20m2，又因为(mx-y)5的展开式中x2y4的系数为80，所以20m2=80，解得m=±2.所以m的值为±2. 求型展开式中问题的思路 1.若m，n中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a+b)2·=(a2+2ab+b2)(c+d)n，然后分别求解. 2.观察(a+b)(c+d)是否可以合并，如(1+x)5·(1-x)7=[(1+x)(1-x)]5(1-x)2=(1-x2)5(1-x)2. 3.分别得到(a+b)m，(c+d)n的通项，综合考虑. 注意：对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏. 角度3　型 (1)(2025·广西桂林模拟)在(x2+2x+y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　) A．60 B．30 C．15 D．12 (2)(x>0)的展开式中的常数项为　　　　.  答案：(1)A　(2) 解析：(1)由(x2+2x+y)5=[(x2+2x)+y]5，由通项公式可得Tr+1=yr，因为要求x5y2的系数，故r=2，此时(x2+2x)3=x3·(x+2)3，其对应x5的系数为21=6.所以x5y2的系数为×6=60.故选A． (2)(x>0)可化为，因而Tr+1=··，令10-2r=0，解得r=5，故展开式中的常数项为·=. 求型展开式中问题的方法 1.因式分解法：将三项式利用因式分解变化为两个二项式，然后再用二项式定理求解问题. 2.逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含二项式的项展开，从而求解问题. 3.组合知识法：把(a+b+c)n看成n个(a+b+c)的积，利用组合知识分析项的构成. 对点练1.(1)的展开式中的中间项为 (　　) A． B． C．-7 D．-7 (2)的展开式中x2y6的系数为　　　　(用数字作答).  (3)的展开式中，x3y3的系数是　　　　(用数字作答).  答案：(1)B　(2)-28　(3)-120 解析：(1)由题意得中间项为()4·=.故选B． (2)(x+y)8展开式的通项为Tr+1=x8-r·yr，r=0，1，…，7，8.令r=6，得T6+1=x2y6，令r=5，得T5+1=x3y5，所以的展开式中x2y6的系数为-=-28. (3)表示6个因式x2-+y的乘积，在这6个因式中，有3个因式选y，其余的3个因式中有2个选x2，剩下一个选-，即可得到x3y3的系数，即x3y3的系数是×=20×3×(-2)=-120. 考点二　二项式系数与项的系数问题多维探究 角度1　二项式系数和与各项系数和 (1)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为(　　) A．50 B．70 C．90 D．120 (2)(多选)已知=a8x8+a7x7+…+a1x+a0，则(　　) A．a0=28 B．a1+a2+…+a8=1 C．|a1|+|a2|+…+|a8|=38 D．a1+2a2+3a3+…+8a8=-8 答案：(1)C　(2)AD 解析：(1)令x=1，则=4n，所以在的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以=2n=32，解得n=5.展开式的通项为Tr+1=x5-r·=3r，令5-r=2，得r=2，所以x2的系数为32=90.故选C． (2)令x=0，则a0=(-2)8=28，故A正确；令x=1，则a0+a1+a2+…+a8==1，所以a1+a2+…+a8=1-28，故B错误；令x=-1，则a0-a1+a2-a3+…+a8=38，所以a0+a2+a4+…+a8=，a1+a3+…+a7=，a0=28，所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=38-28，故C错误；对=a8x8+a7x7+…+a1x+a0两边关于x求导得8(x-2)7=a1+2a2x+3a3x2+…+8a8x7，再令x=1得a1+2a2+3a3+…+8a8=-8，故D正确.故选AD． 求展开式中各项系数的和，在使用赋值法时，所赋值应视具体情况而定，一般取1，-1或0，有时也取其他值.如： 1.形如的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x=1即可. 2.形如的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x=y=1即可. 学生用书⬇第282页 角度2　系数与二项式系数的最值问题 (多选)下列关于的展开式的说法中正确的是(　　) A．常数项为-160 B．第4项的系数最大 C．第4项的二项式系数最大 D．所有项的系数和为1 答案：ACD 解析：的展开式的通项为Tr+1=··=·x2r-6.对于A，令2r-6=0，解得r=3，所以常数项为=-8×20=-160，故A正确；对于B，由通项公式知，若要系数最大，r所有可能的取值为0，2，4，6，所以T1=x-6，T3=4x-2=60x-2，T5=x2=240x2，T7=(-2)6x6=64x6，所以展开式第5项的系数最大，故B错误；对于C，展开式共有7项，故第4项的二项式系数最大，故C正确；对于D，令x=1，则所有项的系数和为(1-2)6=1，故D正确.故选ACD． 1.求二项式系数最大项 (1)如果n是偶数，那么中间一项的二项式系数最大. (2)如果n是奇数，那么中间两项的二项式系数相等且最大. 2.求展开式系数最大项 求(a+bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An+1，且第r项系数最大，应用解出r. 对点练2.(1)在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为(　　) A．-126 B．-70 C．-56 D．-28 (2)设=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则(a0+a2+a4+…+a10)2-(a1+a3+a5+…+a9)2的值为　　　　.  答案：(1)C　(2)1 解析：(1)因为只有第5项的二项式系数最大，所以n=8，的展开式的通项为Tr+1=(r=0，1，2，…，8)，所以展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小，为=-56.故选C． (2)令x=1有a0+a1+…+a10=，令x=-1有a0-a1+a2-…+a10=，故(a0+a2+a4+…+a10)2 -(a1+a3+a5+…+a9)2=(a0+a1+a2+…+a10)·(a0-a1+a2-…+a10)==1. 考点三　二项式定理的综合应用师生共研 (1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512 024+a能被13整除，则a等于(　　) A．0 B．1 C．11 D．12 (2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是(　　) A．1.23 B．1.24 C．1.33 D．1.34 答案：(1)D　(2)D 解析：(1)因为a∈Z，且0≤a≤13，所以512 024+a=+a=522 024-522 023 +522 022-…-52++a，因为512 024+a能被13整除，所以+a=1+a能被13整除，结合选项，所以a=12.故选D． (2)1.056==+×0.05+×0.052+×0.053+…+×0.056=1+0.3+0.037 5+0.002 5+…+0.056≈1.34.故选D． 二项式定理应用的题型及解法 1.在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式. 2.二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，≈1+nx. 对点练3.(1)(2024·山东聊城一模)设6299=7n+r，其中n∈N+，且0≤r<7，则r=(　　) A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 (2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是 (　　) A．0.940 B．0.941 C．0.942 D．0.943 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)6299==6399+6398+…+631 +630，在所有的展开项中，只有630=-1不能被7整除，故6299=7n-1=7+6，其中n∈N+.故选D． (2)0.996==×1-×0.01+×0.012-×0.013+…+×0.016=1-0.06 +0.001 5-0.000 02+…+0.016≈0.941.故选B． 1.[真题再现] 　(1)(2023·天津卷)在的展开式中，x2的系数是　　　　.  (2)(2020·全国Ⅲ卷)的展开式中常数项是　　　　(用数字作答).  (3)(2022·新高考Ⅰ卷)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为　　　　(用数字作答).  答案：(1)60　(2)240　(3)-28 解析：(1)展开式的通项公式Tr+1==×26-r××x18-4r，令18-4r=2，可得r=4，则x2的系数为×26-4×=4×15=60. (2)展开式的通项公式Tr+1==2r××x12-3r，令12-3r=0，可得r=4，则常数项为24× =16×15=240. (3)(x+y)8展开式的通项为Tr+1=x8-ryr，r=0，1，…，7，8.令r=6，得T6+1=x2y6；令r=5，得T5+1=x3y5，所以(x+y)8的展开式中x2y6的系数为-=-28. [教材呈现]　 (湘教版选择性必修一P201T2) (1)求(a-2b)8的展开式中第6项的系数； (2)求的展开式的中间一项； (3)求+的展开式中的常数项； (4)求(1+2)6+(1-)5的展开式中x的系数. 点评：以上三道高考题考查二项式定理的应用，命题角度与教材习题类似. 2.[真题再现]　(2024·全国甲卷)的展开式中，各项系数中的最大值为　　　　.  答案：5 解析：由题展开式通项公式为Tr+1=xr，0≤r≤10且r∈Z，设展开式中第r+1项系数最大，则所以≤r≤，又r∈Z，故r=8，所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为=5. [教材呈现]　(湘教版选择性必修一P201T4)在(3x-2y)20的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项； (2)系数绝对值最大的项； (3)系数最大的项. 点评：高考题与教材习题均考查二项式系数的最大值问题，命题角度与教材习题相同. 学科网（北京）股份有限公司 $