第八章 8 第七节 抛物线（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（湘教版）

该高中数学高考复习资料紧扣抛物线核心考点，涵盖定义、标准方程、几何性质及应用，按“定义-方程-性质-结论”逻辑架构知识体系。通过考点梳理（表格归纳方程与性质）、方法指导（定义转化、最值求解策略）、真题训练（2023北京卷等实例）及分层练习，帮助学生系统突破难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以数形结合思想为统领，创新设计“定义应用多维探究”等教学活动，如通过动圆相切问题培养数学眼光，结合焦点弦结论推理发展数学思维。设置基础检测、能力提升、真题演练三级练习，配合即时解析，确保高效突破考点，助力学生构建解题模型，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第七节　抛物线 【课程标准】　1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.　2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.　3.通过抛物线的学习，进一步体会数形结合的思想.　4.了解抛物线的简单应用. 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. [微提醒]　当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线. 2.抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0，0) 对称轴 y=0 x=0 焦点坐标 F F F F 离心率 e=1 准线方程 x=- x= y=- y= 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0，y0)) |PF|=x0+ |PF|=-x0+ |PF|=y0+ |PF|=-y0+ 【常用结论】 与抛物线焦点弦有关的几个常用结论 设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为弦AB的倾斜角，则： 学生用书⬇第232页 (1)x1x2=，y1y2=-p2. (2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|=，|BF|=，弦长|AB|=x1+x2+p=. (3)+=. (4)以弦AB为直径的圆与准线相切. (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切. (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上. (7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p. 【自主检测】 1.(多选)下列说法错误的是(　　) A．平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线 B．方程y=4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1，0) C．抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形 D．以(0，1)为焦点的抛物线的标准方程为x2=4y 答案：ABC 2.抛物线y=x2的准线方程是(　　) A．y=-1 B．y=-2 C．x=-1 D．x=-2 答案：A 解析：因为y=x2，所以x2=4y，所以准线方程为y=-1.故选A． 3.(2024·上海卷)已知抛物线y2=4x上有一点P到准线的距离为9，那么点P到x轴的距离为　　　　　.  答案：4 解析：由y2=4x知抛物线的准线方程为x=-1，设点P，由题意得x0+1=9，解得x0=8，代入抛物线方程y2=4x，得=32，解得y0=±4，则点P到x轴的距离为4. 4.已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(-2，-4)，则该抛物线的标准方程为　　　　　　.  答案：y2=-8x或x2=-y 解析：设抛物线方程为y2=2px(p≠0)或x2=2py(p≠0)，将P(-2，-4)代入，分别得方程为y2=-8x或x2=-y. 考点一　抛物线的定义及其应用多维探究 角度1　求轨迹方程 已知动圆P与定圆C：(x-2)2+y2=1相外切，又与定直线l：x=-1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是(　　) A．y2=4x B．y2=-4x C．y2=8x D．y2=-8x 答案：C 解析：设P点坐标为(x，y)，C(2，0)，动圆的半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，|PC|=1+r，P在直线的右侧，故P到定直线的距离是d=x+1=r，所以|PC|-d=1，即-(x+1)=1，化简得y2=8x.故选C． 角度2　最值问题 (1)若在抛物线y2=-4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A(-2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为　　　　.  (2)设P是抛物线y2=4x上的一个动点，则点P到点A(-1，1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值为　　　　.  (3)已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为　　　　.  答案：(1)　(2)　(3)2 解析： (1)如图，因为y2=-4x，所以p=2，焦点坐标为(-1，0).依题意可知当A，P及P到准线的垂足Q三点共线时，点P与点F、点P与点A的距离之和最小，故点P的纵坐标为1.将y=1代入抛物线方程求得x=-，则点P的坐标为. (2)如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x=-1，由抛物线的定义知点P到直线x=-1的距离等于点P到F的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(-1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为=. (3)由题意知，抛物线的准线l：y=-1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1(图略)，则|MM1|=.因为|AB|≤|AF|+|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|+|BF|≥6，所以|AA1|+|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到x轴的距离d≥2，故最短距离为2. 应用抛物线定义的两个关键点 1.根据抛物线的定义，把抛物线上点到焦点的距离与到准线的距离相互转化. 2.注意灵活运用抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|=|x0|+或|PF|=|y0|+. 对点练1.(1)(2023·北京卷)已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5，则|MF|=(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 (2)已知点P为抛物线y2=-4x上的动点，设点P到l：x=1的距离为d1，到直线x+y-4=0的距离为d2，则d1+d2的最小值是(　　) A． B． C．2 D． (3)已知点M(20，40)不在抛物线C：y2=2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|+|PF|的最小值为41，则p的值等于　　　　.  答案：(1)D　(2)B　(3)42或22 解析：(1)因为抛物线C：y2=8x的焦点F(2，0)，准线方程为x=-2，点M在C上，所以M到准线x=-2的距离为|MF|，又M到直线x=-3的距离为5，所以|MF|+1=5，故|MF|=4.故选D． (2)直线l：x=1为抛物线y2=-4x的准线，点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线x+y-4=0的垂线，如图所示，此时d1+d2最小，为点F到直线x+y-4=0的距离. 因为F(-1，0)，所以==.故选B． (3)当点M(20，40)位于抛物线内时，如图①所示，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，则|PF|=|PD|，|PM|+|PF|=|PM|+|PD|.当点M，P，D三点共线时，|PM|+|PF|的值最小.由最小值为41，得20+=41，解得p=42；当点M(20，40)位于抛物线外时，如图②所示，当点P，M，F三点共线时，|PM|+|PF|的值最小. 由最小值为41，得=41，解得p=22或p=58.当p=58时，y2=116x，点M(20，40)在抛物线内，故舍去.综上，p=42或p=22. 学生用书⬇第233页 考点二　抛物线的标准方程师生共研 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)准线方程为2y+4=0； (2)过点(3，-4)； (3)焦点在直线x+3y+15=0上. 解：(1)准线方程为2y+4=0，即y=-2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2=2py(p>0). 又=2，所以2p=8， 故所求抛物线的标准方程为x2=8y. (2)因为点(3，-4)在第四象限，所以抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)或x2=-2p1y(p1>0). 把点(3，-4)的坐标分别代入y2=2px和x2=-2p1y中，得(-4)2=2p·3，32=-2p1·(-4)， 则2p=，2p1=. 所以所求抛物线的标准方程为y2=x或x2=-y. (3)令x=0得y=-5；令y=0得x=-15. 所以抛物线的焦点为(0，-5)或(-15，0). 所以所求抛物线的标准方程为x2=-20y或y2=-60x. 求抛物线标准方程的方法 1.定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可. 2.待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2=ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2=ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论. 对点练2.(1)已知点F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若△OFP的面积为2，则该抛物线的准线方程为(　　) A．x=-　　　　 B．x=-1 C．x=-2 D．x=-4 (2)如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程为(　　) A．y2=x B．y2=9x C．y2=x D．y2=3x 答案：(1)B　(2)D 解析：(1)抛物线y2=2px(p>0)的焦点F，将点P的横坐标代入抛物线得y2=16p，可得y=±4，不妨令P，则S△OFP=××4=p=2，解得p=2，则抛物线方程为y2=4x，其准线方程为x=-1.故选B． (2)如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，准线与x轴的交点设为G，设|BF|=a，则|BC|=2a，由抛物线的定义得|BD|=a，故∠BCD=30°，所以在Rt△ACE中，2|AE|=|AC|，因为|AE|=|AF|=3，|AC|=3+3a，所以3+3a=6，解得a=1，因为BD∥FG，所以=，即=，所以p=，因此抛物线的方程为y2=3x.故选D． 考点三　抛物线的几何性质师生共研 (1)抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为，则p等于(　　) A．1 B．2 C．2 D．4 (2)(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y=-(x-1)过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(　　) A．p=2 B．|MN|= C．以MN为直径的圆与l相切 D．△OMN为等腰三角形 答案：(1)B　(2)AC 解析：(1)抛物线的焦点坐标为，其到直线x-y+1=0的距离d==，解得p=2(p=-6舍去).故选B． (2)对于A选项，直线y=-(x-1)过点(1，0)，所以抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F(1，0)，所以=1，p=2，2p=4，抛物线C的方程为y2=4x，则A选项正确； 对于B选项，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y并化简得3x2-10x+3=(x-3)(3x-1)=0，解得x1=3，x2=，所以|MN|=x1+x2+p=3++2=，B选项错误；对于C选项，设MN的中点为A，M，N，A到直线l的距离分别为d1，d2，d，因为d=(d1+d2)=(|MF|+|NF|)=|MN|，即A到直线l的距离等于MN的一半，所以以MN为直径的圆与直线l相切，C选项正确；对于D选项，直线y=-(x-1)，所以y1=-×(3-1)=-2，y2=-×=，所以|OM|==，|ON|==，又|MN|=，所以△OMN不是等腰三角形，D选项错误.故选AC． 抛物线性质的应用技巧 1.利用抛物线方程确定其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程. 2.要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算. 对点练3.(1)(多选)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D．若|AF|=8，则以下结论正确的是(　　) A．p=4 B．= C．|BD|=2|BF| D．|BF|=4 (2)(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上动点.过P作☉A：x2+(y-4)2=1的一条切线，Q为切点.过P作l的垂线，垂足为b．则(　　) A．l与☉A相切 B．当P，A，B三点共线时，|PQ|= C．当|PB|=2时，PA⊥AB D．满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个 (3)(2024·江苏徐州模拟)已知F是抛物线y2=16x的焦点，M是抛物线上一点，FM的延长线交y轴于点N，若3=2，则|FN|=　　　　.  答案：(1)ABC　(2)ABD　(3)16 解析：(1)如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|=p.因为直线l的斜率为，所以其倾斜角为60°.因为AE∥x轴，所以∠EAF=60°，由抛物线的定义可知，|AE|=|AF|，则△AEF为等边三角形，所以∠EFP=∠AEF=60°，则∠PEF=30°，所以|AF|=|EF|=2|PF|=2p=8，得p=4，故A正确；因为|AE|=|EF|=2|PF|，且PF∥AE，所以F为AD的中点，则=，故B正确；因为∠DAE=60°，所以∠ADE=30°，所以|BD|=2|BM|=2|BF|，故C正确；因为|BD|=2|BF|，所以|BF|=|DF|=|AF|=，故D错误.故选ABC． (2)对于A，易知l：x=-1，故l与☉A相切，故A正确；对于B，A(0，4)，☉A的半径r=1，当P，A，B三点共线时，P(4，4)，所以|PA|=4，|PQ|== =，故B正确；对于C，当|PB|=2时，P(1，2)，B(-1，2)或P(1，-2)，B(-1，-2)，易知PA与AB不垂直，故C错误；对于D，记抛物线C的焦点为F，连接AF，PF(图略)，易知F(1，0)，由抛物线定义可知|PF|=|PB|，因为|PA|=|PB|，所以|PA|=|PF|，所以点P在线段AF的中垂线上，线段AF的中垂线方程为y=x+，即x=4y-，代入y2=4x可得y2-16y+30=0，解得y=8±，易知满足条件的点P有且仅有2个，故D正确.故选ABD． (3)易知焦点F的坐标为(4，0)，准线l的方程为x=-4，如图， 抛物线准线与x轴的交点为A，作MB⊥l于点B，NC⊥l于点C，则AF∥MB∥NC，=，由3=2，得=，又|CN|=4，|OF|=4，所以=，|BM|=，|MF|=|BM|=，又=，所以|FN|=16. 学生用书⬇第234页 [真题再现]　(2023·全国乙卷理)已知点A(1，)在抛物线C：y2=2px上，则A到C的准线的距离为　　　　.  答案： 解析：由题意可得()2=2p×1，则2p=5，抛物线的方程为y2=5x，准线方程为x=-，点A到C的准线的距离为1-=. [教材呈现]　(湘教版选择性必修一P148T3)填空： (1)设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离为　　　　；  (2)设抛物线y=4x2上一点M到焦点的距离为1，则点M的坐标为　　　　.  点评：这两题考查相同的知识点，两题的相似度极高，都是考查抛物线上的点满足的性质，区别在于教材上的练习题与真题的条件和设问正好反过来. 学科网（北京）股份有限公司 $