第六章 3 第三节 向量的数量积（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（湘教版）

该高中数学讲义聚焦平面向量数量积高考核心考点，依据课程标准要求，从向量夹角定义切入，系统梳理数量积的几何意义、坐标运算及运算律，构建“概念-运算-应用”三层知识体系。通过考点分角度探究、真题精讲、方法总结等环节，帮助学生突破模、夹角、垂直等应用难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义突出数学眼光与思维培养，结合物理“功”实例抽象数量积概念，通过坐标法与几何法对比训练数学思维，设置分层练习与真题再现环节。例如在向量垂直问题中，引导学生用数量积为零建立方程，强化数学语言表达，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第三节　向量的数量积 【课程标准】　1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义，体会平面向量的数量积与向量投影的关系.　2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.　3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.　4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，力学问题与其他一些实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用. 1.向量的夹角 (1)定义：设a，b是两个非零向量，任选一点O，作=a，=b，则射线OA，OB所夹的最小非负角∠AOB=θ称为向量a，b所成的角(也称夹角)，记作<a，b>. (2)范围：取值范围规定为[0，π].①<a，b>=<b，a>. ②当θ=0时，a，b方向相同；当θ=π时，a，b方向相反；当θ=时，a与b垂直，记作a⊥b. ③由于零向量的方向可以是任意方向，于是既可以规定零向量0与a的夹角为0，此时零向量与任一向量平行，也可以规定0与a的夹角为，此时零向量与任一向量垂直. 2.向量的数量积 (1)定义：设a，b是任意两个向量，<a，b>是它们的夹角，则定义a·b=|a||b|cos<a，b>为a与b的数量积. (2)投影向量定义：设a，b是两个非零向量，作向量=a，=b，两个向量的夹角为α，过点B作BB1⊥OA于点B1，把称为在方向上的投影向量，投影向量的长度||=|||cos α|称为投影长，||cos α刻画了投影向量的大小和方向，称为在方向上的投影. (3)数量积的几何意义：a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos α的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cos α的乘积.  (4)b在a方向上的投影|b|cos α公式：|b|cos α=. (5)数量积的运算律 ①交换律：a·b=b·a； ②与数乘的结合律：a·(λb)=λ(a·b)； ③分配律：a·(b+c)=a·b+a·c. 3.数量积的坐标表示 已知非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，θ=<a，b>. 结论 几何表示 坐标表示 向量 的长度 |a|= |a|= 夹角 余弦值 cos θ= cos θ= 垂直条件 a·b=0 x1x2+y1y2=0 |a·b|与 |a||b| 的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2+y1y2|≤ [微提醒]　(1)向量平行与垂直的坐标公式不要记混.(2)a⊥b⇔a·b=0是对非零向量而言的，若a=0，虽然有a·b=0，但不能说a⊥b. 【常用结论】 (1)平面向量数量积运算的常用公式 ①(a+b)·(a－b)=a2－b2. ②(a±b)2=a2±2a·b+b2. (2)有关向量夹角的两个结论 ①两向量a与b的夹角为锐角⇔a·b>0且a与b不共线. 学生用书⬇第160页 ②两向量a与b的夹角为钝角⇔a·b<0且a与b不共线. 【自主检测】 1.(多选)下列结论错误的是(　　) A．两个向量的夹角的范围是 B．若a，b共线，则a·b=|a|·|b| C．两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量 D．若a·b=a·c，则b=c 答案：ABD 2.已知|a|=5，|b|=，a·b=5，则a与b的夹角θ等于(　　) A．45° B．135° C．－45° D．30° 答案：A 解析：cos θ===，又因为θ∈[0°，180°]，所以θ=45°.故选A． 3.已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=2，则|a+2b|=　　　　.  答案：2 解析：a·b=|a||b|cos 60°=2，|a+2b|===2. 4.如图，在☉C中，弦AB的长度为4，则·=　　　　.  答案：8 解析：取AB的中点M，连接CM(图略)，则CM⊥AB，=.所以·=||·||cos∠BAC=||||=||2=8. 5.(用结论)已知a=(1，2)，b=(1，1)，且a与a+λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为　　　　.  答案：∪ 解析：由题意知，a+λb=(1+λ，2+λ)，因为a与a+λb的夹角为锐角，所以a·(a+λb)>0，且a与a+λb不共线，所以1+λ+2(2+λ)>0，且2(1+λ)≠2+λ，解得λ>－且λ≠0，所以实数λ的取值范围为∪(0，+∞). 考点一　平面向量数量积的基本运算自主练透 1.(2025·福建福州模拟)已知向量a，b为单位向量，且a⊥b，则b·(4a－3b)等于(　　) A．－3 B．3 C．－5 D．5 答案：A 解析：由题意可得，|a|=1，|b|=1，a·b=0，则b·(4a－3b)=4a·b－3b2=－3b2=－3.故选A． 2.(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则 ·=(　　) A． B．3 C．2 D．5 答案：B 解析：法一：以{}为一组基，可知||=||=2，·=0，则=+=+=+=－+，所以·=·=－+=－1+4=3.故选B． 法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则E(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，可得=(1，2)，=(－1，2)，所以·=－1+4=3.故选B． 3.已知正方形ABCD的对角线AC=2，点P在另一条对角线BD上，则·的值为(　　) A．－2 B．2 C．1 D．4 答案：B 解析：设AC∩BD=O，则O为AC的中点，且AC⊥BD，如图所示，由在方向上的投影向量为，得·=·==2.故选B． 4.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2，∠BAD=，若·=2·，则·=　　　.  答案：12 解析：因为·=2·，所以··=·，所以·=·.因为AB∥CD，CD=2，∠BAD=，所以2||=||||cos，化简得||=2.故·=·=||2+·=+2×2cos=12. 求两个向量的数量积的三种方法 考点二　平面向量数量积的应用多维探究 角度1　向量的模 (1)(2025·山东烟台期末)若平面向量a与b的夹角为60°，a=(2，0)，|b|=1，则|a+2b|=(　　) A． B．2 C．4 D．12 (2)(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量 a，b满足|a－b|=，|a+b|=|2a－b|，则|b|=　　　　.  答案：(1)B　(2) 解析：(1)因为平面向量a与b的夹角为60°，a=(2，0)，|b|=1，所以|a|==2，a·b=|a||b|cos 60°=2×1×cos 60°=1，所以|a+2b|====2.故选B． (2)法一：因为|a+b|=|2a－b|，即(a+b)2=(2a－b)2，则a2+2a·b+b2=4a2－4a·b+b2，整理得a2－2a·b=0，又因为|a－b|=，即(a－b)2=3，则a2－2a·b+b2=b2=3，所以|b|=. 法二：设c=a－b，则|c|=，a+b=c+2b，2a－b=2c+b，由题意可得(c+2b)2=(2c+b)2，则c2+4c·b+4b2=4c2+4c·b+b2，整理得c2=b2，即|b|=|c|=. 求平面向量的模的方法 角度2　向量的夹角 (1)已知向量a=(3，1)，b=(2，2)，则cos<a+b，a－b>=(　　) A． B． C． D． 学生用书⬇第161页 (2)(2023·全国甲卷)已知向量a，b，c满足|a|=|b|=1，|c|=，且a+b+c=0，则cos<a－c，b－c>=(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：(1)B　(2)D 解析：(1)因为a=(3，1)，b=(2，2)，所以a+b=(5，3)，a－b=(1，－1)，则|a+b|==，|a－b|==，(a+b)·(a－b)=5×1+3×(－1)=2，所以cos<a+b，a－b>===.故选B． (2)因为 a+b+c=0，所以a+b=－c，即a2+b2+2a·b=c2，即1+1+2a·b=2，所以a·b=0.如图，设=a，=b，=c，由题知，OA=OB=1，OC=，△OAB是等腰直角三角形，AB边上的高OD=，AD=，所以CD=CO+OD=+=，tan∠ACD==，cos∠ACD=，cos<a－c，b－c> =cos∠ACB=cos 2∠ACD=2cos2∠ACD－1=2×－1=.故选D． 求平面向量的夹角的方法 角度3　向量的垂直 (1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0，1)，b=(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x=(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 (2)(2025·浙江宁波“十校”联考)已知平面向量a，b满足a=(1，2)，|b－2a|=4且(b－2a)⊥a，则|b|=(　　) A． B．5 C． D．6 答案：(1)D　(2)D 解析：(1)因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)=0，即b2=4a·b.因为a=(0，1)，b=(2，x)，所以b2=4+x2，a·b=x，得4+x2=4x，所以=0，解得x=2.故选D． (2)由a=(1，2)，得|a|=，由(b－2a)⊥a，得(b－2a)·a=0，则a·b=2a2=10，由|b－2a|=4，得(b－2a)2=16，即b2+4a2－4a·b=16，则b2+4×5－4×10=16，所以|b|=6.故选D． 有关平面向量垂直的两类题型 角度4　投影向量 如图，已知O为平面直角坐标系的原点，∠OAB=∠ABC=120°，||=||=2||=2，则向量在向量上的投影向量的坐标为　　　　.  答案：(－1，0) 解析：设B(x1，y1)，C(x2，y2)，又因为A(2，0)，所以x1=2+||cos(180°－∠OAB)，y1=||sin(180°－∠OAB)，x2=x1－||cos(∠OAB+∠ABC－180°)，y2=||sin(∠OAB+∠ABC－180°)+y1，所以B，C=(－1，)，=(2，0)，所以在上的投影数量为==－1.故所求投影向量为(－1，0). 　　设向量a与b的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cos θ·=·，b在a上的投影向量为|b|cos θ·=·，注意区分两者之间的差异. 对点练.(1)(多选)已知向量m，n满足|m|=1，|n|=2，|m+n|=，则下列说法正确的是(　　) A．m·n=－1 B．m与n的夹角为 C．|m－n|= D．(m+n)⊥(m－n) (2)(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a=(3，4)，b=(1，0)，c=a+tb，若<a，c>=<b，c>，则t=(　　) A．－6 B．－5 C．5 D．6 (3)(2025·安徽马鞍山质量监测)已知平面向量a=(1，3)，b=(－2，4)，则a在b方向上的投影向量为(　　) A．(1，－2) B．(－1，2) C．(1，3) D． (4)(开放题)(2025·重庆第六次质量检测)已知向量a=(1，2)，b=(－2，1)，c=(m，n)满足(a+2b)⊥c，请写出一个符合题意的向量c的坐标　　　　.  答案：(1)ABC　(2)C　(3)B　(4)(4，3)(答案不唯一) 解析：(1)因为|m|=1，|n|=2，|m+n|=，所以|m|2+|n|2+2m·n=3，即1+4+2m·n=3，解得m·n=－1，故A正确；因为cos<m，n>==－，0≤<m，n>≤π，所以<m，n>=，故B正确；因为|m－n|2=|m|2+|n|2－2m·n=1+4+2=7，所以|m－n|=，故C正确；因为(m+n)·(m－n)=|m|2－|n|2=1－4=－3≠0，故D错误.故选ABC． (2)由题意，得c=a+tb=(3+t，4)，所以a·c=3×(3+t)+4×4=25+3t，b·c=1×(3+t)+0×4=3+t.因为<a，c>=<b，c>，所以cos<a，c>=cos<b，c>，即=，即=3+t，解得t=5.故选C． (3)由题知，a=(1，3)，b=(－2，4)，所以a·b=－2+12=10，|b|==2.设a与b的夹角为θ，所以a在b方向上的投影向量是|a|cos θ=b==.故选B． (4)根据题意，a+2b=(－3，4)，且(a+2b)⊥c，则(a+2b)·c=－3m+4n=0，即m=n，当n=3时，m=4，则c=(4，3)(答案不唯一). 学生用书⬇第162页 1.[真题再现]　(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(1，1)，b=(1，－1).若(a+λb)⊥(a+μb)，则 (　　 ) A．λ+μ=1 B．λ+μ=－1 C．λμ=1 D．λμ=－1 答案：D 解析：因为a=，b=，所以a+λb=，a+μb=，由⊥，可得·=0，即+=0，整理得，λμ=－1.故选D． [教材呈现]　(湘教版必修二P40T11)已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为，c=5a+3b，d=3a+kb，求实数k为何值时： (1)c与d平行；(2)c与d垂直. 点评：教材习题和高考题类似，都是根据向量垂直的充要条件求参数，其一般方法为根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出. 2.[真题再现]　(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|=1，|a+2b|=2，且(b－2a)⊥b，则|b|=(　　) A． B． C． D．1 答案：B 解析：由(b－2a)⊥b，得(b－2a)·b=b2－2a·b=0，所以b2=2a·b.将|a+2b|=2的两边同时平方，得a2+4a·b+4b2=4，即1+2b2+4b2=1+6|b|2=4，解得|b|2=，所以|b|=.故选B． [教材呈现]　(湘教版必修二P40T14)已知e1，e2是单位向量，且e1·e2=.若向量b满足b·e1=b·e2=1，求|b|. 点评：高考题和教材习题考查的都是求向量的模，一般方法就是根据题目条件，利用向量模的平方得出答案. 学科网（北京）股份有限公司 $