第四章 3 第三节 两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（湘教版）

该高中数学讲义聚焦两角和差、二倍角三角函数公式及恒等变换核心考点，按公式内在逻辑（从两角差余弦推导到二倍角公式）和常用结论（降幂、升幂等）架构知识体系，通过考点梳理、方法指导（如公式逆用技巧）、真题训练（全国卷真题）环节，帮助学生突破难点，体现复习系统性和针对性。 讲义以数学思维构建公式网络，通过“变角”“变名”策略（如利用两角和差公式转化所求角）培养推理能力，结合真题与教材例题衔接（如2024全国甲卷与教材例7对比），分层练习（自主检测到对点练）保障效果，助力教师把控节奏，提升学生应考能力。

第三节　两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数 【课程标准】　1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.　2.能推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.　3.能运用上述公式进行简单的恒等变换. 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的关系 [微提醒]　(1)二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式中α=β的特殊情况.(2)二倍角是相对的，如：是的二倍角，3α是的二倍角. 2.辅助角公式 asin α+bcos α=sin，其中sin φ=，cos φ=. 【常用结论】 (1)公式的常用变形：tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β)；tan αtan β=1－=－1；sin αcos α=sin 2α. (2)降幂公式：sin2α=；cos2α=. (3)升幂公式：1+cos α=2cos2；1－cos α=2sin2； 1+sin α=；1－sin α=. 【自主检测】 1.(多选)下列结论错误的是(　　) A．存在α，β，使等式sin(α+β)=sin α+sin β B．两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角 C．公式tan(α+β)=可以变形为tan α+tan β=tan(α+β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立 D．公式asin x+bcos x=sin中φ的取值与a，b的值无关 答案：BCD 2.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°=(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：D 解析：sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin=sin 30°=.故选D． 3.若cos α=－，α是第三象限角，则sin等于(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：C 解析：因为α是第三象限角，cos α=－，所以sin α=－=－，所以sin=sin αcos+cos αsin=－×+×=－.故选C． 4.=　　　　.  答案： 解析：==tan(45°－15°)=tan 30°=. 5.(用结论)tan 10°+tan 50°+tan 10°tan 50°=　　　　.  答案： 解析：因为tan 60°=tan(10°+50°)=，所以tan 10°+tan 50°=tan 60°(1－tan 10°tan 50°)=tan 10°tan 50°，所以原式=tan 10°tan 50° +tan 10°tan 50°=. 学生用书⬇第92页 考点一　和、差、倍角公式的直接应用自主练透 1.(2020·全国Ⅲ卷)已知2tan θ－tan=7 ，则tan θ= (　　) A． －2 B． －1 C． 1 D． 2 答案：D 解析：由已知得2tan θ－=7，整理得tan2θ－4tan θ+4=0，所以tan θ=2.故选D． 2.(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α－β)=，cos αsin β=，则cos(2α+2β)=(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：B 解析：因为sin(α－β)=sin αcos β－cos αsin β=，而cos αsin β=，因此sin αcos β=，则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=，所以cos(2α+2β)=cos 2(α+β)=1－2sin2(α+β)=1－2×=.故选B． 3.的值为　　　　.  答案：1 解析：因为2cos(60°－10°)=2=cos 10°+sin 10°，所以原式==1. 4.(2024·湖北七市(州)联合统考)若sin=，则=　　　　.  答案： 解析：因为sin=，所以sincos θ－cossin θ=，即cos θ－sin θ=，所以原式===cos θ－sin θ=. 利用三角函数公式解题时应注意的问题 1.首先要注意公式的结构特点和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为“同名相乘，符号相反”. 2.应注意同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用. 3.应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用. 考点二　公式的逆用与辅助角公式的应用多维探究 角度1　公式的灵活应用 (1)(2021·全国乙卷)cos2－cos2=(　　) A． B． C． D． (2) 已知α，β∈，且tan α+tan β+tan αtan β=，则α+β=　　　　.  答案：(1)D　(2)－ 解析：(1)因为cos =sin =sin ，所以cos2－cos2 =cos2－sin 2=cos=cos=.故选D． (2)由tan α+tan β+tan αtan β=得，tan(α+β)==， 又α，β∈，则α+β∈，所以α+β=－. 角度2　辅助角公式的应用 (1)(2020·全国Ⅲ卷)已知sin θ+sin=1，则sin=(　　) A． B． C． D． (2)已知3sin x－4cos x=5sin (x+φ)，则φ所在的象限为(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：(1)B　(2)D 解析：(1)法一：因为sin θ+sin=sin θ+cos θ=sin=1，所以sin=.故选B． 法二：因为sin θ+sin=sin+sin=sincos－cossin +sincos+cossin =2sin·cos=sin=1，所以sin=.故选B． (2)3sin x－4cos x=5=5sin(x+φ)，其中sin φ=－，cos φ=，所以φ所在的象限为第四象限.故选D． 三角函数公式的活用技巧 1.逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式. 2.tan αtan β，tan α+tan β(或tan α－tan β)，tan(α+β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，应注重公式的逆用和变形使用. 3.对asin x+bcos x 化简时，辅助角φ 的值如何求要清楚. 注意：(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系.(2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造出适合公式的形式. 对点练1.(多选)下列等式能够成立的为(　　) A．sin 15°cos 15°= B．sin 75°cos 15°+cos 75°sin 15°=1 C．cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°=－1 D．sin 15°+cos 15°=1 答案：BC 解析：对于A，sin 15°cos 15°=sin 30°=，故A错误；对于B，sin 75°cos 15°+cos 75°sin 15°=sin (75°+15°)=sin 90°=1，故B正确；对于C，cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°=cos 105°cos 75°－sin 105°sin 75°=cos(105°+75°)=cos 180°=－1，故C正确；对于D，sin 15°+cos 15°=2sin (15°+30°)=2sin 45°=，故D错误.故选BC． 学生用书⬇第93页 对点练2.(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)=2cossin β，则(　　) A．tan(α－β)=1 B．tan(α+β)=1 C．tan(α－β)=－1 D．tan(α+β)=－1 答案：C 解析：由题意得sin αcos β+sin βcos α+cos αcos β－sin αsin β=2×sin β，整理得sin αcos β－cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β=0，即sin(α－β)+cos(α－β)=0，所以tan(α－β)=－1.故选C． 对点练3.化简：tan 10°tan 20°+tan 20°tan 60°+tan 60°tan 10°=　　　　.  答案：1 解析：原式=tan 10°tan 20°+tan 60°(tan 20°+tan 10°)=tan 10°tan 20°+tan (20°+10°)(1－tan 20°tan 10°)=tan 10°tan 20°+1－tan 20°tan 10°=1. 考点三　变换求值多维探究 角度1　三角公式中的变“角” (1)已知α，β∈，sin=－，sin=，则cos=　　　　.  (2)已知tan (α+β)=，tan (α－β)=，则tan (π－2α)=　　　　.  答案：(1)－　(2)－1 解析：(1)由题意知，α+β∈，又sin(α+β)=－，所以cos=，因为β－∈，sin=，所以cos=－，所以cos=cos=cos(α+β)cos+sin·sin=×+×=－. (2)因为tan (π－2α)=－tan 2α，tan 2α===1， 所以tan (π－2α)=－1. 三角函数公式求值中变角的解题思路 1.当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. 2.当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 角度2　三角公式中的变“名” (1)(2024·四川乐山模拟)已知cos=，θ∈，则sin=　　　　.  (2)已知0<α<<β<π，tan α=，cos(β－α)=，则sin α=　　　　，cos β=　　　　.  答案：(1)　(2)　－ 解析：(1)由题意可得cos2==，则cos=－sin 2θ=－，即sin 2θ=.因为cos=>0，θ∈，所以0<θ<，2θ∈，根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ=，所以原式=sin 2θcos－cos 2θsin=××=. (2)因为0<α<，且tan α=，所以sin α=，cos α=，由0<α<<β<π，则0<β－α<π，又因为cos=，则sin(β－α)=，所以cos β=cos [(β－α)+α]=cos(β－α)cos α－sin(β－α)sin α=××=－. 三角函数名的变换技巧 明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角三角函数的基本关系、诱导公式，进行正弦、余弦和正切之间的转化. 对点练4.(2024·河北邢台模拟)已知sin=，则cos=(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：A 解析：由sin=，得cos=1－2sin2=，cos=cos=－cos=－.故选A． 对点练5.(2025·安徽安庆模拟)已知第二象限角α 满足sin =－，则sin 2β－2sin ·cos=(　　) A． － B． － C． D． 答案：D 解析：由题易得sin α=，且α 为第二象限角，所以cos α=－=－，所以sin 2β－2sin(α+β)cos=sin []－2sin(α+β)cos=－[sin cos+cos(α+β)sin ]=－sin 2α=－2sin αcos α=－2××=.故选D． [真题再现]　(2024·全国甲卷) 已知=，则tan=(　　) A．2+1 B．2－1 C． D．1－ 答案：B 解析：根据题意有=，即1－tan α=，所以tan α=1－，所以tan===2－1.故选B． [教材呈现]　(湘教版必修二P72例7)已知tan α=，分别求下列各式的值： (1)tan；(2)tan. 点评：高考题中的条件=化简结果为tan α=1－，所以高考题与教材例题的考查角度完全一致，只是换了一个数值而已. 学科网（北京）股份有限公司 $