第二章 13 教材拓展2 破解嵌套函数的零点问题（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（湘教版）

该高中数学课件聚焦高考函数核心考点“嵌套函数的零点问题”，依据高考评价体系明确考查要求，系统梳理“f(f(x))型”“f(g(x))型”两大题型，通过典例与模拟题归纳零点个数判断、参数范围求解等高频考向，体现备考针对性。 课件亮点在于“换元解套—数形结合—分类讨论”的解题策略，结合河南驻马店、安徽合肥等模拟题训练，培养数学思维与直观想象素养。如典例1通过分段函数图像分析零点个数，帮助学生掌握图像交点法，助力高效备考，为教师提供系统复习指导。

教材拓展2　破解嵌套函数的零点问题 高三一轮复习讲义　湘教版 第二章　函数与基本初等函数 　　我们把形如y=f(f(x))或y=f(g(x))的一类函数称为嵌套函数，把含有嵌套函数的函数问题称为嵌套函数问题.嵌套函数问题有两类基本形式： 一、“f(f(x))”型 这一类型是同一个函数f(x)自身嵌套问题，求解这一类型的策略是：首先将“内层函数”换元，即设f(x)=t，然后根据题设条件解出相应t的值或范围，最后利用函数f(x)或利用函数y=f(x)与y=t的图象关系解得问题. 二、“f(g(x))”型 这一类型是两个函数f(x)、g(x)的互嵌问题，求解这一类型的策略是：首先将“内层函数”换元，即设g(x)=t，然后通过中间变量既是“内层函数”的函数值，又是y=f(t)的自变量，或利用y=f(t)与t=g(x)两个函数的性质，或做出并利用y=f(t)与t=g(x)两个函数的图象来解决问题. 02 题型二　由嵌套函数零点的个数求 参数的取值范围 题型一　嵌套函数零点个数的判断 01 内容索引 题型一　嵌套函数零点个数的判断 返回 (1)已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的偶函数，且当x∈(0，+∞)时，f(x)=则函数g(x)=[f(x)]2－f(x)的零点个数为 A．4 B．5 C．6 D．7 典例1 √ 因为当x∈(0，2]时，f(x)=(x－1)2，当x>2时，f(x)=f(x－2)+1，所以将f(x)在区间(0，2]上的图象向右平移2个单位长度，同时再向上平移1个单位长度，得到函数f(x)在(2，4]上的图象.同理可得到f(x)在(4，6]，(6，8]，…上的图象.再由f(x)的图象关于y轴对称得到f(x)在(－∞，0)上的图象，从而得到f(x)在其定义域内的图象，如图所示，令g(x)=0，得f(x)=0或f(x)=1，由图可知直线y=0与y=1和函数y=f(x)的图象共有6个交点，所以函数g(x)共有6个零点.故选C． (2)已知函数f(x)=则方程f(f(x))=1的根的个数为 A．7 B．5 C．3 D．2 √ 令u=f(x)，先解方程f(u)=1.①当u≤1时，则f(u)=2u－1=1，得u1=1.②当u>1时，则f(u)=|ln (u－1)|=1，即ln (u－1)=±1，解得u2=1+，u3=1+e.作出函数f(x)的图象，如图所示，   直线u=1，u=1+，u=1+e与函数u=f(x)图象的交点个数分别为3，2，2，所以方程f(f(x))=1的根的个数为3+2+2=7.故选A． 破解嵌套函数零点个数问题的主要步骤 第一步：换元解套，转化为t=g(x)与y=f(t)的零点； 第二步：依次解方程，令f(t)=0，求t，代入t=g(x)求出x的值或判断图象的交点个数. 规律方法 对点练1.已知函数f(x)=其中e为自然对数的底数，则函数g(x)=3[f(x)]2－10f(x)+3的零点个数为 A．3 B．4 C．5 D．6 √ 当x≥0时，f(x)=4x3－6x2+1，f'(x)=12x2－12x，当0 <x<1时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x>1时，f'(x)>0， f(x)单调递增，可得f(x)在x=1处取得最小值，最小值 为－1，且f(0)=1.作出函数y=f(x)的图象如图所示.因 为g(x)=3[f(x)]2－10f(x)+3，令t=f(x)，由g(x)=0，可得3t2－10t+3=0，解得t=3或t=.当t=，即f(x)=有3个解，则g(x)有3个零点；当t=3，即f(x)=3有1个解，则g(x)有1个零点.综上，g(x)共有4个零点.故选B． 对点练2.已知函数f(x)=则函数g(x)=f(f(x))－2f(x)+1的零点个数是 A．4 B．5 C．6 D．7 √ 令t=f(x)，g(x)=0，则f(t)－2t+1=0， 即f(t)=2t－1，分别作出函数y=f(t) 和直线y=2t－1的图象，如图①所示，  由图象可得y=f(t)与y=2t－1有两个 交点，设两交点横坐标为t1，t2，则 t1=0，1<t2<2，对于t=f(x)，分别作出函数y=f(x)和直线y=t2的图象，如图②所示，由图象可得，当f(x)=t1=0时，函数y=f(x)与x轴有两个交点，即方程f(x)=0有两个不相等的实根，当t2=f(x)时，函数y=f(x)和直线y=t2有三个交点，即方程t2=f(x)有三个不相等的实根.综上可得g(x)=0的实根个数为5，即函数g(x)=f(f(x))－2f(x)+1的零点个数是5.故选B． 返回 题型二　由嵌套函数零点的个数求参数的取值范围 返回 (1)已知函数f(x)=若函数g(x)=[f(x)]2－2af(x)+a2－1恰有4个不同的零点，则实数a的取值范围是 A．(－1，0)∪(1，2) B．(－1，1)∪(3，+∞) C．(－1，0)∪[1，2) D．(－1，1]∪(3，+∞) 典例2 √ 画出f(x)的大致图象如图所示.令g(x)=[f(x)]2－2af(x) +a2－1=0，得f(x)=a－1或f(x)=a+1.设f(x)=t，由图 可知，当t<0或t>2时，t=f(x)有且仅有1个实根，当 t=0或1≤t≤2时，t=f(x)有2个实根，当0<t<1时，t= f(x)有3个实根，则g(x)恰有4个不同的零点等价于解得－1<a<0或1≤a<2.故选C． (2)设函数f(x)=x2+2x，g(x)=若函数h(x)=g(f(x))－a有6个不同的零点，则实数a的取值范围为__________.  (2，3] 函数h(x)的零点即为方程h(x)=0的解，也即g(f(x))=a的解.令t=f(x)，则原方程的解变为方程组的解.作出函数y=f(x)和直线y=t的图象如图①所示. 由图可知，当t>－1时，有两个不同的x与之对应， 当t=－1时，有一个x与之对应，当t<－1时，没有 x与之对应.由有6个不同的解知，需 要方程②有三个不同的t，且都大于－1.作出函数 y=g(t)和直线y=a的图象如图②所示.当a∈(2，3]时满足要求.综上，实数a的取值范围为(2，3]. 　　已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围. 规律方法 对点练3.(2025·河南驻马店模拟)已知函数f(x)=若函数g(x)=[f(x)]2－af(x)+1有6个零点，则实数a的取值范围是 A．(2，4] B．(2，+∞) C． D． √ 设t=f(x)，则由g(x)=[f(x)]2－af(x)+1，可设y=h(t)=t2 －at+1，画出f(x)的图象，如图所示，由图可知，当 t<－1时，t=f(x)有且仅有一个解；当t=－1或t>2时， t=f(x)有两个不同的解；当－1<t≤2时，t=f(x)有三 个不同的解，令h(t)=0，即t2－at+1=0，因为函数g(x)有6个零点，故需t2－at+1=0在(－1，2]内有两个不同的根，所以 解得2<a≤，即实数a的取值范围是.故选C． 对点练4.(2024·安徽合肥三模)设a∈R，函数f=若函数y=f恰有5个零点，则实数a的取值范围为 A． B． C． D． √ 设t=f，当x≥0时，f=－1，此时t≥0，由 f=0得t=1，即f=－1=1，解得x=0或x=2， 所以y=f上有2个零点；当x<0时， 若a≥0，f=－x2+ax，对称轴为x=，函数y=f的 大致图象如图①所示，此时f=－x2+ax<0，即t<0， 则f<0，所以f=0无解，则t=f无零点，y=f无零点，综上，此时y=f只有2个零点，不符合题意；  若a<0，此时f的大致图象如图②所示，令－t2+at=0，解得t=a<0(t=0舍去)，显然f=a在上存在唯一负解，所以要使y=f(f(x))恰有5个零点，需f>1，即－+>1，解得a<－2，所以a∈.故选D． 返回 谢 谢 观 看 破解嵌套函数的零点问题 $