第四章 2 第二节 同角三角函数的基本关系及诱导公式（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（湘教版）

该高中数学高考复习资料聚焦同角三角函数基本关系及诱导公式核心考点，按新课标要求梳理平方关系、商数关系及六组诱导公式，构建“公式梳理-考点分类-方法总结-真题训练”的复习体系。通过自主检测夯实基础，考点多维探究（如“知一求二”“弦切互化”）突破难点，配合方法指导和对点练习，帮助学生系统掌握高考核心考点。 资料突出数学思维与运算能力培养，如“和差积互化”中通过平方关系推导(sinα±cosα)²=1±2sinαcosα培养推理意识，“弦切互化”用tanα转化齐次式提升运算能力。设置分层练习（自主检测、对点练、真题再现），结合2021新高考Ⅰ卷等真题讲解，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生应试能力。

第二节　同角三角函数的基本关系及诱导公式 【课程标准】　1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α+cos2α=1，=tan α.　2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式(α±，α±π的正弦、余弦、正切). 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α+cos2α=1. (2)商数关系：tan α=.  [微提醒]　平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ+. 2.诱导公式 公式 一 二 三 四 五、六 角 2kπ+α (k∈Z) －α π+α π－α －α +α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α cos α －cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α －tan α tan α －tan α － 口诀 奇变偶不变，符号看象限 [微提醒]　(1)诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·+α”中的k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化.“符号看象限”指的是在“k·+α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k·+α”的终边所在的象限. (2)任意角的三角函数转化为锐角三角函数进行计算的步骤：任意角的三角函数→[0，2π)内角的三角函数→锐角三角函数. 【常用结论】 (1)同角三角函数关系式的常见变形 ①sin2α=1－cos2α=(1+cos α)(1－cos α). ②cos2α=1－sin2α=(1+sin α)(1－sin α). ③(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α. ④sin α=tan αcos α. (2)诱导公式的常见变形 ①sin=sin α. ②cos=cos α. 【自主检测】 1.(多选)下列结论错误的是(　　) A．对任意的角α，β，都有sin2α+cos2β=1 B．若α∈R，则tan α=恒成立 C．sin(π+α)=－sin α成立的条件是α为锐角 D．若cos=，则cos θ=± 答案：ABC 2.已知角α是第二象限角，sin α=，则cos α=(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：A 解析：因为角α是第二象限角，所以cos α<0，又sin2α+cos2α=1，所以cos α=－=－.故选A． 3.已知tan α=3，则=　　　　.  答案：2 解析：===2. 4.已知sin α=，则=　　　　.  答案： 解析：==sin α=. 5.(用结论)已知sin α·cos α=，且<α<，则cos α－sin α=　　　　.  答案：－ 解析：因为<α<，所以sin α>cos α，而(cos α－sin α)2=1－2sin αcos α=1－2×=，所以cos α－sin α=－. 学生用书⬇第89页 考点一　同角三角函数基本关系式的应用多维探究 角度1　“知一求二”问题 (1)已知sin α=，求cos α，tan α的值； (2)已知tan α=－，求sin α，cos α的值. 解：(1)由sin α=>0，可知α为第一或第二象限角. 若α为第一象限角，则cos α===，tan α==； 若α为第二象限角，则cos α=－=－=－，tan α==－. (2)由tan α=－<0，可知α为第二或第四象限角. 因为tan α=－，所以=－. 又因为sin2α+cos2α=1， 所以或 当α为第二象限角时，sin α=，cos α=－； 当α为第四象限角时，sin α=－，cos α=. 角度2　“弦切互化”问题 (2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ=－2，则=(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：C 解析：法一(弦化切法)：因为tan θ=－2，所以==sin θ(sin θ+cos θ)====.故选C． 法二(求值代入法)：因为tan θ=－2，所以角θ的终边在第二或第四象限，所以或所以==sin θ(sin θ+cos θ)=sin2θ+sin θcos θ==.故选C． 法三(正弦化余弦法)：因为tan θ=－2，所以sin θ=－2cos θ.则==sin θ(sin θ+cos θ)====.故选C． 角度3　“和(差)积互化”问题 (多选)已知sin α+cos α=，α∈，则下列选项中正确的有(　　) A．sin α－cos α=± B．tan α= C．cos α=－ D．sin αcos α=－ 答案：CD 解析：将sin α+cos α=两边同时平方，整理得1+2sin αcos α=，所以sin αcos α=－<0.故D正确；又α∈，sin α>0，cos α<0，所以α∈，所以由解得故C正确；所以sin α－cos α=，tan α=－，故A，B错误.故选CD． 同角三角函数基本关系的应用技巧 1.正弦、余弦互化：利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦互化. 注意：要求平方根时，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不确定时，要进行分类讨论. 2.弦切互化：利用公式tan α=实现角α的弦切互化，如，asin2α+bsin αcos α+ccos2α(分母构造sin2α+cos2α)等齐次式类型可化为关于tan α的式子. 3.和(差)积转换：利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α进行变形、转化，可以解决sin α+cos α，sin αcos α，sin α－cos α知一求二的问题，注意方程思想的应用. 4.巧用“1”的变形：1=sin2α+cos2α=cos2α(tan2α+1)=sin2α=tan . 对点练1.(1)若角α的终边在第三象限，则+=(　　) A．3 B．－3 C．1 D．－1 (2)(2024·四川绵阳模拟)若3sin α－sin β=，α+β=，则sin α=　　　　.  (3)(2024·河北唐山模拟)已知tan α=cos α，则cos2α+cos4α=　　　　，=　　　　.  答案：(1)B　(2)　(3)1　1 解析：(1)由角α的终边在第三象限，得sin α<0，cos α<0，故原式=+=+=－1－2=－3.故选B． (2)因为α+β=，所以β=－α，所以3sin α－sin β=3sin α－sin=3sin α－cos α=sin(α－φ)=，其中sin φ=，cos φ=.所以α－φ=+2kπ，k∈Z，所以α=+φ+2kπ，k∈Z，所以sin α=sin=cos φ=，k∈Z. (3)由同角三角函数的基本关系，知tan α==cos α，所以sin α=cos2α，所以sin2α=cos4α，所以cos2α+cos4α=cos2α+sin2α=1.======1. 考点二　诱导公式的应用自主练透 1.tan 255°=(　　) A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+ 答案：D 解析：tan 255°=tan(180°+75°)=tan 75°=tan(30°+45°)==2+.故选D． 2.化简：=　　　　.  答案：－ 解析：原式==－. 学生用书⬇第90页 3.(2025·江苏南通调研)已知cos=a，则cos+sin=　　　　.  答案：0 解析：因为cos=cos=－cos=－a，sin=sin=cos=a， 所以cos+sin=－a+a=0. 1.诱导公式应用的步骤 第一步，负化正：将负角的三角函数化为正角的三角函数； 第二步，大化小：将大于360°的角的三角函数化为0°~360°角的三角函数； 第三步，小化锐：将大于90°的角的三角函数化为0°~90°角的三角函数； 第四步，锐求值：得到0°~90°角的三角函数后直接求值. 也就是“负化正，大化小，小化到锐角就好了”. 2.常见的互余和互补的角 常见的互余关系有－α与+α，+α与－α，+α与－α等；常见的互补关系有+θ与－θ，+θ与－θ等. 对点练2.(1)若f(α)= (1+2sin α≠0)，则f=(　　) A．－ B． C．－ D． (2)(2024·陕西铜川模拟)已知sin=，则cos=(　　) A． B． C．－ D．－ (3)(2024·广西梧川模拟)若f(x)=sin+1，且f(2 024)=2，则f(2 025)=　　　　.  答案：(1)B　(2)B　(3)1 解析：(1)因为1+2sin α≠0，所以f(α)====，又因为sin =sin=sin=，且cos=cos=，所以f ===.故选B． (2)因为sin=，所以cos=sin=sin=.故选B． (3)因为f=sin+1=sin(1 012π+α)+1=sin α+1=2，所以sin α=1，cos α=0，所以f=sin+1=sin+1 =cos α+1=1. 考点三　同角关系与诱导公式的综合应用师生共研 (1)(2024·江西九江模拟)已知角α为锐角，且2tan－3cos+5=0，tan(π+α)+6sin(π+β)－1=0，则sin α=(　　) A． B． C． D． (2)已知－π<x<0，sin－cos x=－，则=　　　　.  答案：(1)C　(2)－ 解析：(1)由已知得消去sin β，得tan α=3，所以sin α=3cos α，代入sin2α+cos2α=1，化简得sin2α=，因为α为锐角，所以sin α=.故选C． (2)由已知，得sin x+cos x=，两边平方得sin2x+2sin xcos x+cos2x=，整理得2sin xcos x=－.因为=1－2sin xcos x=，由－π<x<0知，sin x<0，又2sin xcos x=－<0，所以cos x>0，所以sin x－cos x<0，所以sin x－cos x=－，所以====－. 1.利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形. 2.注意角的范围对三角函数符号的影响. 对点练3.已知θ是第四象限角，且sin=，则tan=　　　　.  答案：－ 解析：法一：因为sin=，所以cos=sin=sin=.因为θ为第四象限角，所以－+2kπ<θ<2kπ，k∈Z，所以－+2kπ<θ－<2kπ－，k∈Z，所以sin=－=－，所以tan==－. 法二：因为θ是第四象限角，且sin=，所以θ+为第一象限角，所以cos=，所以tan===－=－. [真题再现] (2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ=，则sin θ－cos θ=　　　　.  答案：－ 解析：因为θ∈，则sin θ>0，cos θ>0，又因为tan θ==，则cos θ=2sin θ，所以cos2θ+sin2θ=4sin2θ+sin2θ=5sin2θ=1，解得sin θ=或sin θ=－(舍去)，所以sin θ－cos θ=sin θ－2sin θ=－sin θ=－. [教材呈现]　(湘教版必修一P176T13)已知tan α=－2，计算：(1)；(2). 点评：高考题与教材习题考查角度完全一致，仅仅换了数据而已. 学科网（北京）股份有限公司 $