第二章 9 第七节 对数与对数函数（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（湘教版）

该高中数学高考复习课件聚焦“对数与对数函数”专题，依据新课标要求覆盖对数概念、运算性质、函数图像与性质及实际应用等核心考点。对接高考评价体系，通过近五年真题分析明确对数运算、函数单调性应用等高频考点分布，归纳化简计算、大小比较等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题溯源+多维探究+素养落地”，如以2024全国甲卷对数方程题为例，用换底公式转化培养数学思维，通过“考点拆解+规律总结”指导比较对数式大小的中间量法。教师可依托课件系统复习，帮助学生掌握答题技巧，提升应试能力，助力高考冲刺。

第七节　对数与对数函数 高三一轮复习讲义　湘教版 第二章　函数与基本初等函数 课程标准 1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.　 2.通过具体实例，了解对数函数的概念.能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与图象中的特殊点.　 3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax(a>0，且a≠1)互为反函数. 04 03 考教衔接　精研教材 课时测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.对数的概念 (1)如果ab=N(a>0且a≠1)，那么数b叫作以a为底，(正)数N的对数，记作__________，其中____叫作对数的底数，____叫作真数. (2)对数的基本恒等式 =____(N>0，a>0且a≠1)，b=logaab(b∈R，a>0且a≠1)，logaa=____，loga1=____. (3)常用对数与自然对数 常用对数 将以____为底的对数叫作常用对数 把log10N记为lg N 自然对数 将以无理数e=___________为底的对数叫作自然对数 把logeN记为______ b=logaN a N N 1 0 10 2.718 28… ln N 2.运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M >0，N >0，那么 ①loga(M·N)=______________； ②logaMn=________ (n∈R)； ③loga=_____________； ④loMn=logaM. (2)对数的重要公式 ①换底公式：logbN=(a，b均大于零且不等于1)； ②logab=，推广logab·logbc·logcd=______. logaM+logaN nlogaM logaM-logaN logad 3.对数函数的图象与性质 表达式 y=logax(0<a<1) y=logax(a>1) 图象 定义域 __________ 值域 ____________ 性质 函数图象过定点________，即loga1=0 当x>1时，______； 当0<x<1时，______ 当x>1时，______； 当0<x<1时，______ 在(0，+∞)上______ 在(0，+∞)上______ (0，+∞) (-∞，+∞) (1，0) y<0 y>0 y>0 y<0 递减 递增 微提醒　y=logax(a>0且a≠1)的图象只在第一、四象限，即在直线x=0的右侧. 4.反函数 指数函数y=ax和对数函数y=logax互为反函数，它们的图象关于直线______轴对称. y=x 常用结论 (1)换底公式的三个重要结论 ①logab=. ②lobm=logab. ③logab·logbc·logcd=logad. (2)对数函数图象的特点 ①对数函数的图象恒过点(1，0)，(a，1)，，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象. ②函数y=logax与y=lox(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称. ③在第一象限内，不同底数的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. 自主检测 1.(多选)下列结论正确的是 A．若M·N>0，则loga(M·N)=logaM+logaN B．对数函数y=logax(a>0且a≠1)在(0，+∞)上是增函数 C．函数y=ln与y=ln(1+x)－ln(1－x)的定义域相同 D．对数函数y=logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限 √ √ 2.已知实数a=log32，b=log2π，c=log2，则有 A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a √ 因为f(x)=log2x在(0，+∞)上为增函数，且2<π<，所以c>b>1.又a=log32<1，所以a<b<c.故选A． 3.log23·log34·log42=________.  1 log23·log34·log42=log22=1. 4.已知函数y=loga－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________. 5.函数y=的定义域是________.    (4，－1) 　 由lo(2x－1)≥0，得0<2x－1≤1，所以<x≤1.所以函数y=. 返回 考点探究　提升能力 返回 考点一　对数的运算 多维探究 角度1　对数式的化简与计算 计算下列各式： (1)log225·log3(2)·log59； 解：法一：log225·log3(2)·log59=log252·log3·log532=6log25·log32·log53 =6. 法二：log225·log3(2)·log59=··=··=6. 典例1 (2)； 解：原式===1. (3)log23·log38+(. 解：原式=·+=3+=3+2=5. 角度2　指数式与对数式的综合运算 (1)已知loga=m，loga3=n，则= A．3 B． C．9 D． √ 因为loga=m，loga3=n，所以am=，an=3.所以= am·=am·(an)2=×32=.故选D． 典例2 (2)设2a=5b=m，且+=2，则m= A． B．10 C．20 D．100 √ 因为2a=5b=m，所以log2m=a，log5m=b，所以+=+ =logm2+logm5=logm10=2，所以m2=10，所以m=(舍m=－).故选A． 1.对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并. (2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 2.指对互化的转化技巧 对于将指数恒等式ax=by=cz作为已知条件，求函数f(x，y，z)的值的问题，通常设ax=by=cz=k(k>0)，则x=logak，y=logbk，z=logck，将x，y，z的值代入函数f(x，y，z)求解. 规律方法 对点练1.(1)已知2a=5，log83=b，则4a－3b= A．25 B．5 C． D． √ 2a=5，8b=3，2a－3b===，4a－3b==.故选C． (2)log23·log38+=________.  5 原式=·+=3+=3+2=5. 考点二　指数与对数运算的实际应用 师生共研 典例1 (1)(2024·北京卷)生物丰富度指数 d=是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则 A．3N2=2N1 B．2N2=3N1 C．= D．= √ 由题意得=2.1，=3.15，则2.1ln N1=3.15ln N2，即2ln N1=3ln N2，所以=.故选D． (2)(多选)(2025·湖南长沙模拟)氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生β衰变，其半衰期约是12.43年.样本中氚的质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足N=N0·，其中N0表示氚原有的质量，则(参考数据：lg 2≈0.301) A．t=12.43log2 B．经过24.86年后，样本中的氚元素会全部消失 C．经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的 D．若x年后，样本中氚元素的含量为0.4N0，则x>16 √ √ 由题意得N=N0·，故有=，左右同时取对数得log2=－，故得t=－12.43log2，故A错误；当t=24.86时，N=N0·=2－2·N0=N0，故B错误；而当t=62.15时，N=N0·=2－5·N0=N0，得到经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确；由题意得0.4N0=N0·，化简得x=－12.43log2=－12.43log2=－12.43(log22－log25)=－12.43(1－log25)=－12.43=－12.43，将lg 2≈0.301代入其中，可得x≈－12.43 ≈16.44>16，故D正确.故选CD． 解决指数、对数运算实际应用问题的步骤 第一步：理解题意、理清条件与所求之间的关系； 第二步：运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求. 规律方法 对点练2.(1)(2025·重庆九龙坡期末)放射性核素锶89会按某个衰减率衰减，设初始质量为M0，质量M与时间T(单位：天)的函数关系式为M=M0·(其中H为常数)，若锶89的半衰期(质量衰减一半所用时间)约为50天，那么质量为M0的锶89经过30天衰减后质量约变为(参考数据：20.6≈1.516) A．0.72M0 B．0.70M0 C．0.67M0 D．0.66M0 √ 由题意，锶89的半衰期(质量衰减一半所用的时间)约为50天，即M0=M0·，则H=50，所以质量为M0的锶89经过30天衰减后，质量大约为M0·=M0·=M0·≈M0×≈0.66M0.故选D． (2)(多选)(2025·安徽六安期末)地震释放的能量E与地震震级M之间的关系式为lg E=4.8+1.5M，2024年8月12日日本宫崎县发生的7.1级地震释放的能量为E1，2023年1月28日伊朗西北发生的5.9级地震释放的能量为E2，2023年2月6日土耳其卡赫拉曼马拉什省发生的7.7级地震释放的能量为E3，下列说法正确的是 A．E1约为E2的10倍 B．E3超过E2的100倍 C．E3超过E1的10倍 D．E3低于E1的10倍 √ √ 对于A，lg E1－lg E2=1.5×，所以=101.8，故A错误；对于B，lg E3－lg E2=1.5 × ， =102.7>100，故B正确；对于C，lg E3－lg E1=1.5×=100.9<10，故C错误，D正确.故选BD． 考点三　对数函数的图象及应用 自主练透 1.函数y=logax与y=－x+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是 √ 当a>1时，函数y=logax的图象为选项B，D中过点(1，0)的曲线，此时函数y=－x+a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a>1，选项B，D中的图象都不符合要求；当0<a<1时，函数y=logax的图象为选项A，C中过点(1，0)的曲线，此时函数y=－x+a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足0<a<1，只有选项A中的图象符合要求.故选A． 2.(2024·广东佛山模拟)已知函数f(x)=|ln x|，若0<a<b，且f(a)=f(b)，则a+2b的取值范围是________.  (3，+∞) f(x)=|ln x|的图象如图，因为f(a)=f(b)，所以|ln a|=|ln b|， 因为0<a<b，所以ln a<0，ln b>0，所以0<a<1，b>1， 所以－ln a=ln b，所以ln a+ln b=ln(ab)=0，所以ab=1， 则b=，所以a+2b=a+，令g(x)=x+(0<x<1)，则g(x)在(0，1)上单调递减，所以g(x)>g(1)=1+2=3，所以a+2b>3，所以a+2b的取值范围为(3，+∞). 3.已知函数f(x)=关于x的方程f(x)+x－a=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________.  (1，+∞) 问题等价于函数y=f(x)与y=－x+a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a>1，所以实数a的取值范围是(1，+∞). 对数函数图象的识别及应用方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 规律方法 对点练3.(1)(多选)已知函数f(x)=loga(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则以下说法正确的是 A．－1<b<0 　　　　 B．a+b>0 C．0<a<1 　　　　 D．loga|b|<0 √ √ 由图象可知f(x)在定义域内单调递增，所以a>1，故C错误；令f(x)=loga(x－b)=0，即x=b+1，所以函数f(x)的零点为b+1，结合函数图象可知0<b+1<1，所以－1<b<0，故A正确；因此a+b>0，故B正确；因为0<|b|<1，所以loga|b|<loga1，即loga|b|<0，故D正确.故选ABD． √ (2)若方程4x=logax在上有解，则实数a的取值范围为________.  　 若方程4x=logax在上有解，则函数y=4x和 函数y=logax的图象在上有交点，由图象 知解得0<a≤. 考点四　对数函数的性质及应用 多维探究 典例4 角度1　比较对数式的大小 (2025·河南开封模拟)已知a=log2e，b=ln 2，c=lo，则a，b，c的大小关系为 A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b √ 法一：(中间量法)因为a=log2e>1，b=ln 2∈(0，1)，c=lo =log23>log2e>1，所以c>a>b.故选D．  法二：(图象法)lo=log23，在同一平面直角坐标系中作出函数y=log2x，y=ln x的图象，如图，由图可知c>a>b.故选D． 比较对数式大小的方法 规律方法 若底数相同，真数不同 若底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论 若底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 若底数与真数都不同 常借助1，0等中间量进行比较 角度2　解对数方程、不等式 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)单调递减，则 不等式f(lo(2x－5))>f(log38)的解集为____________________.  典例5 ∪ 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，所以函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，故f(lo(2x－5))>f(log38)可化为|lo|>|log38|，即log3(2x－5)>log38或log3(2x－5)<－log38 =log3，即2x－5>8或0<2x－5<，解得x><x<. 求解对数不等式的两种类型及方法 1.logax>logab：借助y=logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论. 2.logax>b：需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y=logax的单调性求解. 规律方法 角度3　对数型函数的综合问题 (多选)已知函数f(x)=ln，下列说法正确的是 A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数 C．f(x)在上单调递减 D．f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，+∞) √ √ 典例6 √ f(x)=ln，令>0，解得x>或x<－，所以f(x)的定义域为∪，又f(－x)=ln=ln=ln=－ln=－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确，B错误.又f(x)=ln=ln，令t=1+，t>0且t≠1，所以y=ln t，又t=1+上单调递减，且y=ln t为增函数，所以f(x)在上单调递减，故C正确；所以y=ln t的值域是(－∞，0)∪(0，+∞)，故D正确.故选ACD． 解决与对数函数有关的复合函数的单调性问题需关注三点 一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论； 二是底数与1的大小关系； 三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则确定函数的单调性. 规律方法 对点练4.(1)(2024·辽宁沈阳调研)已知a=log2.57，b=log415，c=，则下列判断正确的是 A．a<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．b<c<a √ 因为a=log2.57>log2.52.52=2，b=log415<log416=2，c==2，所以b<c<a.故选D． (2)(2024·广东深圳联考)已知函数f(x)=loga(6－ax)(a>0，且a≠1)在(0，2)上单调递减，则实数a的取值范围是 A．(1，3] B．(1，3) C．(0，1) D．(1，+∞) √ 令t(x)=6－ax，因为a>0，所以t(x)=6－ax为减函数.又由函数f(x)=loga(6－ax)在(0，2)上单调递减，可得函数t(x)=6－ax>0在(0，2)上恒成立，且a>1，故有解得1<a≤3.故选A． (3)(多选)(2025·安徽蚌埠模拟)已知函数f(x)=log4(1+4x)－x，则下列说法中正确的是 A．函数f(x)的图象关于原点对称 B．函数f(x)的图象关于y轴对称 C．函数f(x)在区间[0，+∞)上单调递减 D．函数f(x)的值域为 √ √ 易知f(x)的定义域为R，f(x)=log4(1+4x)－log4=log4=log4(2－x+2x)，由于f(－x)=log4(2x+2－x)=f(x)，因此f(x)为偶函数，故A错误，B正确；令t=2x，则y=log4，令s=t+，则y=log4s，当x∈[0，+∞)时，t∈[1，+∞)，所以s=t+在定义域上为增函数，又y=log4s在定义域上为增函数，所以y=log4为增函数，又t=2x为增函数，所以f(x)在区间[0，+∞)上单调递增，故C错误；又f(x)为R上的偶函数，所以f(x)≥f(0)=，所以f(x)的值域为，故D正确.故选BD． 返回 考教衔接　精研教材 返回 真题再现 1.(2024·全国甲卷)已知a>1，且=－，则a=________.  64 由题=log2a=－，整理得－5log2a－6=0，⇒log2a=－1或log2a=6，又a>1，所以log2a=6=log226，故a=26=64. (湘教版必修一P126T15)已知log4(x+2)+log2(x+2)2=5，求x的值. 点评：高考题与教材习题都是通过解方程来考查对数的运算性质及换底公式等基本知识技能. 教材呈现 2.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259) A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 √ 真题再现 由L=5+lg V，当L=4.9时，lg V=－0.1，则V=10－0.1==≈ ≈0.8.故选C． (湘教版必修一P121练习4)我们都处于有声世界之中.音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，音量的定义是η=10lg ，这里I0是人耳能听到的声音的最低声波强度，I0=10－12 W/m2. (1)如果I=1 W/m2，求相应的分贝值； (2)70 dB时的声音强度I是60 dB时声音强度I'的多少倍？ 点评：高考题与教材习题都是以实际问题为背景考查对数的基本运算. 教材呈现 3.(2020·全国Ⅲ卷)设a=log32，b=log53，c=，则 A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b √ 因为a=log323<log39==c，b=log533>log525==c，所以a<c<b.故选A． 真题再现 (湘教版必修一P122例11)比较下列各组中两个数的大小： (1)log27.6和log28.7； (2)lo7.6和lo8.7； (3)loga7.6和loga8.7(a>0且a≠1)； (4)log0.82和20.8. 点评：本高考题是教材例题的拓展，由于a和b的底数不同，故不能直接利用单调性比较大小，需变形后比较大小，而变形的过程中应用了函数的单调性. 教材呈现 返回 课 时 测 评 返回 1.(2024·重庆模拟)函数f(x)=ln+的定义域为 A．[0，1] B． C． D． √ 由题意可得<x≤1，所以函数f(x)=ln +.故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 2.(2024·广东广州模拟)已知a=，b=，c=，则 A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a √ a===log2e，b==log23，c==log2=log2，因为3>>e，所以b>c>a.故选D． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 3.(2024·山东济宁模拟)已知a=log23，b=log25，则log415= A．2a+2b B．a+b C．ab D．a+b √ log415=log215=(log23+log25)=a+b.故选D． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 4.已知函数f(x)=|log2x|，则不等式f(x)<2的解集为 A．(－4，0)∪(0，4) B．(0，4) C． D． √ f(x)=|log2x|<2⇒－2<log2x<2⇒2－2<x<22⇒x∈.故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 5.(多选)(2024·山东烟台模拟)已知函数f(x)的图象与g(x)=2x的图象关于直线y=x对称，令h(x)=f(1－|x|)，则关于函数h(x)，下列说法正确的是 A．h(x)的图象关于原点对称 B．h(x)的图象关于y轴对称 C．h(x)的最大值为0 D．h(x)在区间(－1，1)上单调递增 √ √ 由题意得f(x)=log2x，则h(x)=log2(1－|x|)，为偶函数，故A错误，B正确；根据偶函数性质可知D错误；因为1－|x|≤1，所以h(x)≤log21=0，故C正确.故选BC． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 6.(多选)已知函数f(x)=|loga|(a>1)，下列说法正确的是 A．函数f(x)的图象恒过定点(0，0) B．函数f(x)在区间(0，+∞)上单调递减 C．函数f(x)在区间上的最小值为0 D．若对任意x∈[1，2]，f(x)≥1恒成立，则实数a的取值范围是(1，2] √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 将(0，0)代入函数f(x)=|loga|(a>1)，成立，故A正确；当x∈(0，+∞)时，x+1∈(1，+∞)，又a>1，所以f(x)=|loga(x+1)|=loga(x+1)，由复合函数单调性可知，当x∈(0，+∞)时，f(x)=|loga|=loga单调递增，故B错误；当x∈时，x+1∈，所以f(x)=|loga|≥loga1=0，故C正确；当x∈[1，2]时，f(x)=|loga(x+1)|=loga(x+1)≥1恒成立，所以由函数为增函数知loga2≥1，解得1<a≤2，故D正确.故选ACD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 7.(2024·安徽淮北模拟)计算：++lo4=________.  10 ++lo4=22++lo=4+2+4=10. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 8.(开放题)(2024·广东韶关模拟)已知函数f(x)满足：①定义域为(－∞，0)∪(0，+∞)；②值域为R；③f(－x)=f(x)，则一个满足上述条件的函数f(x)=__________________.  ln |x|(答案不唯一) f(x)=ln |x|的定义域为(－∞，0)∪(0，+∞)，值域为R，且f(－x)=ln |－x| =ln |x|=f(x)，因此f(x)=ln |x|符合题意. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 9.已知函数f(x)=log2(x+1)－|x|，则不等式f(x)>0的解集是________.  (0，1) 不等式f(x)>0⇔log2(x+1)>|x|，分别画出函数y=log2(x+1)和y=|x|的图象，由图象可知y=log2(x+1)和y=|x|的图象有两个交点，分别是(0，0)和(1，1)，由图象可知log2(x+1)>|x|的解集是(0，1)，即不等式f(x)>0的解集是(0，1). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 10.(13分)已知f(x)=lo. (1)若a=2，求f(x)的值域；(5分) 解：当a=2时，f(x)=lo(x2－2x+10)， 令t=x2－2x+10=(x－1)2+9， 所以t≥9，f(x)≤lo9=－2， 所以f(x)的值域为(－∞，－2]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 (2)若f(x)在(1，+∞)上单调递减，求实数a的取值范围.(8分) 解：令u(x)=x2－ax+5a， 因为y=lou(x)为减函数， 所以u(x)=x2－ax+5a在(1，+∞)上单调递增， 所以解得－≤a≤2， 所以实数a的取值范围是. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 11.(14分)已知函数f(x)=log2(a为常数)是奇函数. (1)求a的值与函数f(x)的定义域；(6分) 解：因为函数f(x)=log2是奇函数，所以f(－x)=－f(x)，所以log2=－log2，即log2=log2，由=，解得a=1或a=－1(不合题意，舍去)，所以f(x)=log2，令>0，解得x<－1或x>1，所以函数f(x)的定义域为{x|x<－1或x>1}. (2)当x∈(1，+∞)时，f(x)+log2(x－1)>m恒成立，求实数m的取值范围.(8分) 解：f(x)+log2(x－1)=log2(1+x)，当x>1时，x+1>2，所以log2(1+x)>log22=1.因为x∈(1，+∞)时，f(x)+log2(x－1)>m恒成立，所以m≤1，所以m的取值范围是(－∞，1]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 12.若非零实数a，b，c满足2a=3b=6c=k，则 A．+= B．+= C．+= D．+= √ 由2a=3b=6c=k，得a=log2k，b=log3k，c=log6k，所以=logk2，=logk3，=logk6，而2×3=6，所以+=.故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 13.设实数a，b是关于x的方程|lg x|=c的两个不同实数根，且a<b<10，则abc的取值范围是________.  (0，1) 由题意知，在(0，10)上，函数y=|lg x|的图象和直线y=c有两个不同交点(如图)，所以－lg a=lg b，即ab=1，0<c<lg 10=1，所以abc的取值范围是(0，1). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 14.(多选)(2024·辽宁沈阳模拟)已知y=f(x)是定义域为R的奇函数，y=f(x+2)为偶函数，且当x∈[0，2]时，f(x)=log3，则 A．a=1 B．f(1)=f(3) C．f(2)=f(6) D．f=－ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 由y=f(x+2)是偶函数，得y=f(x)的图象关于直线x=2对称，又f(x)是奇函数，所以f(x+4)=f(2+(2+x))=f(2－(2+x))=f(－x)=－f(x)，所以f(x+8)= －f(x+4)=f(x)，所以f(x)是周期为8的周期函数，f(0)=log3a2=0，解得a=±1，故A错误；f(1)=f(2－1)=f(2+1)=f(3)，故B正确；f(6)=f(－2)= －f(2)，而f(2)=log3(2+1)=≠0，所以f(2)≠f(6)，故C错误；f(2 022)= f(252×8+6)=f(6)=f(－2)=－f(2)=－，故D正确.故选BD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 15.(新定义)(2024·湖南岳阳模拟)函数f(x)的定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D使f(x)在[a，b]上的值域为，那么就称y=f(x)为“半保值函数”，若函数f(x)=loga(ax+t2)(a>0，且a≠1)是“半保值 函数”，则t的取值范围为____________________.  ∪ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 f(x)的定义域为R，当a>1时，z=ax+t2在R上单调递增，y=logaz在(0，+∞)上单调递增，可得f(x)为R上的增函数；当0<a<1时，f(x)仍为R上的增函数，所以f(x)在定义域R上为增函数，因为函数f(x)=loga(ax+t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函数”，所以方程loga(ax+t2)=x有两个不同的根，所以ax+t2=，即ax－+t2=0，令u=，u>0，则u2－u+t2=0有两个不同的正数根，可得1－4t2>0，且t2>0，解得t∈∪. 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 对数与对数函数 $