第二章 8 第六节 指数与指数函数（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（湘教版）

该高中数学高考复习课件聚焦“指数与指数函数”专题，依据课程标准梳理根式、指数幂运算、指数函数图象与性质等核心考点，对接高考评价体系分析考点权重，如指数函数性质应用占比达60%，归纳比较大小、图象应用、综合函数问题等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题引领+考点突破+素养提升”，结合2023天津卷真题，用“单调性比较法”“中间量法”突破指数式大小比较，培养数学思维与运算能力，总结指数方程不等式解法、复合函数单调性判断等技巧，帮助学生掌握答题规律，教师可精准教学，助力高效备考。

第六节　指数与指数函数 高三一轮复习讲义　湘教版 第二章　函数与基本初等函数 课程标准 1.通过对有理数指数幂、实数指数幂的含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.　 3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 04 03 考教衔接　精研教材 课时测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.根式 x 根式 a a 2.有理数指数幂 3.指数函数及其性质 (1)概念：一般地，函数y=ax(a>0，且a≠1)叫作指数函数，其中指数x是自变量，定义域是____. R (2)指数函数的图象与性质 表达式 y=ax(0<a<1) y=ax(a>1) 图象 定义域 ___________ 值域 __________ 性质 函数图象过定点________，即a0=1 当x<0时，_____；当x>0时，_______ 当x>0时，______；当x<0时，_______ 在R上_____ 在R上_____ (-∞，+∞) (0，+∞) (0，1) y>1 0<y<1 y>1 0<y<1 递减 递增 微提醒　指数函数y=ax(a>0，且a≠1)的图象与性质跟a的取值有关，要特别注意分a>1和0<a<1两种情况. 常用结论 (1)指数函数的图象恒过点(0，1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象. (2)函数y=ax与y=(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称. (3)在第一象限内，指数函数y=ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大. 自主检测 1.(多选)下列等式成立的是 A．(－2= B．2= C．(－2)0=－1 D．= 对于A，(－2=，故A正确；对于B，2a－3=，故B错误；对于C，(－2)0=1，故C错误；对于D，=，故D正确.故选AD． √ √ 2.化简 (x<0，y<0)= A．2x2y B．－2x2y C．2xy2 D．－2xy2 √ 因为x<0，y<0，所以=(16x8·y4=(16·(x8·(y4=2x2|y|= －2x2y.故选B． 3.若函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)的图象经过点，则f(－1)= A．1 B．2 C． D．3 √ 依题意可知a2=，解得a=，所以f(x)=，所以f(－1)==.故选C． 4.已知a=0.750.1，b=1.012.7，c=1.013.5，则 A．a>b>c B．a>c>b C．c>b>a D．c>a>b √ 因为函数y=1.01x在(－∞，+∞)上是增函数，且3.5>2.7，故1.013.5>1.012.7 >1>0.750.1，即c>b>a.故选C． 5.(用结论)函数y=ax－1－1(a>0，且a≠1)的图象恒过点________.  (1，0) 由结论1，在函数y=ax－1－1中，当x=1时，恒有y=0，即函数y=ax－1－1的图象恒过点(1，0). 返回 考点探究　提升能力 返回 考点一　指数幂的化简与求值 自主练透 1.化简下列各式： (1)+2－2×－(0.01)0.5； 解：原式=1+× =1+×=1+=. (2)÷(a>0，b>0)； 解：原式=÷=÷ =÷=÷(ab) ==. (3)×+×. 解：原式=×1+×=2. 2.已知f(x)=2x+2－x，若f(a)=3，求f(2a)的值. 解：由f(a)=3得2a+=3，所以(2a+2－a)2=9， 即22a+2－2a+2=9.所以22a+2－2a=7， 故f(2a)=22a+2－2a=7. 3.计算： (1)÷； 解：因为有意义，所以a>0， 所以原式=÷=÷=a÷a=1. (2)0.00+1+. 解：原式=－1++=10－1+8+23·32=89. 指数幂的运算顺序与运算原则 规律方法 考点二　指数函数的图象及应用 师生共研 典例1 (1)(2024·山东济南高三模拟)已知0<a<1，b<－1，则函数y=ax+b的图象必定不经过 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 √ 因为0<a<1，所以y=ax的图象经过第一、第二象限，且当x越来越大时，图象与x轴无限接近.又b<－1，所以y=ax的图象向下平移超过一个单位长度得到y=ax+b的图象，故y=ax+b的图象不过第一象限.故选A． (2)若函数y=|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为__________.  (－∞，0] 函数y=|3x－1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单 位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得 到的，函数图象如图所示.由图象知，其在(－∞，0]上单调 递减，所以k的取值范围为(－∞，0]. 曲线y=|3x－1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个 单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴 上方得到的，而直线y=m的图象是平行于x轴的一条直 线，图象如图所示，由图象可得，如果曲线y=|3x－1|与 直线y=m有两个交点，则m的取值范围是(0，1). (0，1) 变式探究 1.(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y=|3x－1|与直线y=m有两个不同交点，则实数m的取值范围是________.  2.(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y=|3x－1|+m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是____________.  (－∞，－1] 作出函数y=|3x－1|+m的图象如图所示. 由图象知m≤－1，即m∈(－∞，－1]. 指数函数的图象及其应用策略 1.已知函数解析式判断其图象时，可通过图象经过的定点和特殊点来进行分析判断. 2.进行图象识别与应用时，可从基本的指数函数图象入手，通过平移、伸缩、对称等变换得到相关函数的图象. 3.根据指数函数图象判断底数的大小问题，可通过直线x=1与图象的交点进行判断. 规律方法 对点练1.(1)(多选)已知实数a，b满足等式2 023a=2 024b，则下列关系式可能成立的是 A．0<b<a B．a<b<0 C．0<a<b D．a=b √ √ 如图①，观察易知a，b的关系为a<b<0或0<b<a或a=b=0.故选ABD． √ (2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点，则b的取值范围是__________.  [－1，1] 作出曲线|y|=2x+1与直线y=b，如图②所示，由图象可得，要想曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]. 考点三　指数函数的性质及应用 多维探究 因为f(x)=1.01x单调递增，所以f(0.5)<f(0.6)，即a<b.因为g(x)=x0.5单调递增，所以g(1.01)>g(0.6)，即a>c，所以b>a>c.故选D． 典例2 角度1　比较指数式的大小 (1)(2023·天津卷)若a=1.010.5，b=1.010.6，c=0.60.5，则a，b，c的大小关系为 A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>a>c √ (2)若ea+πb≥e－b+π－a，下列结论一定成立的是 A．a+b≤0 B．a－b≥0 C．a－b≤0 D．a+b≥0 √ 因为ea+πb≥e－b+π－a，所以ea－π－a≥e－b－πb①，令f(x)=ex－π－x，则f(x)是R上的增函数，①式即为f(a)≥f(－b)，所以a≥－b，即a+b≥0.故选D． 比较指数式大小的方法 1.能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小. 2.不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小. 规律方法 典例3 角度2　解简单的指数方程或不等式 (1)若≤，则函数y=2x的值域是 A． B． C． D．[2，+∞) √ ==2－2x+4，所以≤2－2x+4，即x2+1≤－2x+4，即x2+2x－3≤0，所以－3≤x≤1，此时y=2x的值域为，即为.故选B． (2)已知实数a≠1，函数f(x)=若f(1－a)=f(a－1)，则a的值为________.  当a<1时，41－a=21，解得a=；当a>1时，代入不成立.故a的值为. 　　 指数方程或不等式的解法 1.解指数方程或不等式的依据： (1)af(x)=ag(x)⇔f(x)=g(x). (2)af(x)>ag(x)，当a>1时，等价于f(x)>g(x)；当0<a<1时，等价于f(x)<g(x). 2.解指数方程或不等式的方法：先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般方程或不等式求解. 规律方法 对点练2.(1)(多选)下列各式正确的是 A．1.72.5>1.73 B．> C．1.70.3>0.93.1 D．< √ √ √ 因为y=1.7x为增函数，所以1.72.5<1.73，故A不正确；=，y=2x为增函数，所以>，故B正确；因为1.70.3>1，0.93.1∈(0，1)，所以1.70.3>0.93.1，故C正确；因为y=为减函数，所以<.又y=在(0，+∞)上单调递增，所以<，所以<<，故D正确.故选BCD． (2)设函数f(x)=若f(a)<1，则实数a的取值范围是__________.  (－3，1) 当a<0时，原不等式化为－7<1，则<8，解得a>－3，所以－3 <a<0.当a≥0时，则<1，解得a<1，所以0≤a<1.综上，实数a的取值范围是(－3，1). 考点四　指数型函数性质的综合应用 师生共研 典例4 (1)函数f(x)=的单调递增区间为 A． B． C． D． √ 由－x2+x+1≥0得≤x≤，所以f(x)的定义域为.因为y=－x2+x+1在上单调递增，在上单调递减，所以t=上单调递增，在上单调递减，又y=在R上单调递减，所以f(x)=.故选C． (2)(多选)已知函数f(x)=，则 A．f(x)的图象关于原点对称 B．f(x)的图象关于y轴对称 C．f(x)的值域为(－1，1) D．∀x1，x2∈R，且x1≠x2，<0恒成立 √ √ f(x)=的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)=== －f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称，故A正确；B错误；f(x)==1－，令1+2x=t，则t∈(1，+∞)，y=1－，易知1－ ∈，所以f(x)的值域为(－1，1)，故C正确；函数t=1+2x在R上单调递增，且y=1－在t∈(1，+∞)上单调递增，根据复合函数的单调性，可知f(x)=1－在R上单调递增，故∀x1，x2∈R，且x1≠x2，<0不成立，故D错误.故选AC． 指数型函数问题的求解策略 　　对于指数型函数问题，关键是判断其单调性，对于形如y=af(x)的函数的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关：若a>1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y=af(x)的单调增(减)区间；若0<a<1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y=af(x)的单调减(增)区间. 规律方法 对点练3.(1)设a=30.7，b=2－0.4，c=90.4，则 A．b<c<a B．c<a<b C．a<b<c D．b<a<c √ b=2－0.4<20=1，c=90.4=30.8>30.7=a>30=1，所以b<a<c.故选D． (2)(2024·山东日照期末)已知函数f(x)=4x－2x+1+4，x∈[－1，1]，则函数y=f(x)的值域为 A．[3，+∞) B．[3，4] C． D． √ f(x)=(2x)2－2×2x+4，x∈，令2x=t，则t=2x在[－1，1]上单调递增，即≤t≤2，于是y=t2－2t+4=(t－1)2+3，当t=1时，ymin=3，此时x=0，f(x)min=3；当t=2时，ymax=4，此时x=1，f(x)max=4，所以函数y=f(x)的值域为[3，4].故选B． (3)若函数f(x)=是奇函数(a为常数)，则不等式f(x)<的解集为__________.  (－∞，2) 因为f(x)=是R上的奇函数，所以f(x)+f(－x)=0，即+=+==1－a=0，所以a=1.由f(x)=<，得2x+1<8，解得x<2，所以不等式的解集为(－∞，2). 返回 考教衔接　精研教材 返回 真题再现 (2023·天津卷)若a=1.010.5，b=1.010.6，c=0.60.5，则a，b，c的大小关系为 A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>a>c √ 法一：因为函数f(x)=1.01x是增函数，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b>a>1；因为函数g(x)=0.6x是减函数，且0.5>0，所以0.60.5<0.60=1，即c<1.综上b>a>c.故选D． 法二：因为函数f(x)=1.01x是增函数，且0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，即b>a；因为函数h(x)=x0.5在(0，+∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，即a>c.综上b>a>c.故选D． 返回 教材呈现 (人教A必修一P119T6)比较下列各题中两个值的大小： (1)30.8，30.7；(2)0.75－0.1，0.750.1；(3)1.012.7，1.013.5；(4)0.993.3，0.994.5. 点评：教材习题体现了比较大小的两种常用方法：(1)利用函数的单调性；(2)借助于0或1作为中间数，而该高考试题考查的也正是这两种方法. 课 时 测 评 返回 1.已知a>0，则= A． B． C． D． √ ===.故选B． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 2.若代数式+有意义，则+2= A．2 B．3 C．2x－1 D．x－2 √ 由+有意义，得所以x－2≤0，2x－1 ≥0，所以+2=+2|x－2|=|2x－1| +2|x－2|=2x－1+2(2－x)=3.故选B． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 3.已知a=20.2，b=0.40.2，c=0.40.6，则a，b，c的大小关系是 A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．b>c>a √ 因为y=0.4x为减函数，所以0.40.6<0.40.2<0.40=1，又20.2>1，所以a>b>c.故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 4.(2024·广东广州模拟)已知a>0，且a≠1，若函数y=xa－1在(0，+∞)内单调递减，则在不等式a3x+1>a－2x中，x的取值范围是 A． B． C．R D．∪ √ 因为函数y=xa－1在(0，+∞)内单调递减，所以a－1<0，即a<1，因为a>0，且a≠1，所以0<a<1，所以y=ax是减函数，又a3x+1>a－2x，所以3x+1<－2x，所以x<－，即x∈.故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 5.(2024·浙江绍兴模拟)下图中的函数图象所对应的解析式可能是 A．y=－ B．y=－ C．y=－2|x－1| D．y=－|2x－1| √ 由题图可知，函数图象关于直线x=1对称，且当x=1时，y=－1，故排除B、D；当x>1时，函数图象单调递增，且无限接近于x轴，又当x>1时，y=－2|x－1|单调递减，故排除C．故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 6.(多选)函数f(x)=ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数， 则下列结论正确的是 A．a>1 　　　　B．0<a<1 C．b>0 　　　　D．b<0 √ √ 由函数f(x)=ax－b的图象可知，函数f(x)=ax－b在定义域上 单调递减，所以0<a<1，故B正确；分析可知，函数f(x) =ax－b的图象是由y=ax的图象向左平移所得，如图，所以 －b>0，所以b<0，故D正确.故选BD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 7.若指数函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)在[－1，1]上的最大值为2，则a=______.  2或 若a>1，则f(x)max=f(1)=a=2；若0<a<1，则f(x)max=f=a－1=2，得a=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 8.已知函数f(x)=，若f(x)有最大值3，则a的值为______.  1 令g(x)=ax2－4x+3，则f(x)=，因为f(x)有最大值3，所以g(x)有最小值－1，则解得a=1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 9.化简(a>0，b>0)的结果是________.  ===ab－1=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 10.(13分)(2024·山东济宁联考)已知函数f(x)=ax+b的部分 图象如图所示. (1)求f(x)的解析式；(5分) 解：由图可知f(0)=1+b=－1，f(1)=a+b=0， 解得a=2，b=－2，所以f(x)=2x－2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 (2)将f(x)的图象向左平移1个单位长度，得到g(x)的图象，求g(x)·f(－x)的最大值.(8分) 解：依题意可得g(x)=f(x+1)=2x+1－2， 所以g(x)·f(－x)=(2x+1－2)(2－x－2)=2－2×2x+1－2×2－x+4=6－2(2x+1+2－x)， 因为2x+1+2－x≥2=2， 当且仅当2x+1=2－x，即x=－时，等号成立， 所以g(x)·f(－x)=6－2(2x+1+2－x)≤6－4， 所以g(x)·f(－x)的最大值为6－4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 11.(14分)已知函数f(x)=4x－2·2x+1+a，其中x∈[0，3]. (1)若f(x)的最小值为1，求a的值；(6分) 解：因为x∈，f(x)=(2x)2－4·2x+a=+a－4， 当2x=2，即当x=1时，函数f(x)取得最小值， 即f(x)min=f(1)=a－4=1，解得a=5. (2)若存在x∈[0，3]，使f(x)≥33成立，求a的取值范围.(8分) 解：令t=2x∈[1，8]，则f(x)=t2－4t+a， 由f(x)≥33可得，a≥－t2+4t+33， 令g(t)=－t2+4t+33，函数g(t)在[1，2)上单调递增，在(2，8]上单调递减， 因为g(1)=36，g(8)=1， 所以g(t)min=g(8)=1，所以a≥1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 12.(多选)已知函数f(x)=|2x－1|，实数a，b满足f(a)=f(b)(a<b)，则 A．2a+2b>2 B．∃a，b∈R，使得0<a+b<1 C．2a+2b=2 D．a+b<0 √ √ 画出函数f(x)=|2x－1|的图象，如图所示.由图知1－2a=2b－1，则2a+2b=2，故A错误，C正确；由基本不等式可得2=2a+2b> 2 =2，所以2a+b<1，则a+b<0，故B错误，D正确.故选CD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 13.(多选)关于函数f(x)=的性质，下列说法中正确的是 A．函数f(x)的定义域为R B．函数f(x)的值域为(0，+∞) C．方程f(x)=x有且只有一个实根 D．函数f(x)的图象是中心对称图形 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 函数f(x)=的定义域为R，故A正确；因为y=4x在定义域内单调递增，所以函数f(x)=在定义域内单调递减，所以函数的值域为，所以方程f(x)=x只有一个实根，故B不正确，C正确；因为f(x+1)+f(－x)=+=+=，所以f(x)关于点中心对称，故D正确.故选ACD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 14.(新定义)(2023·河北邯郸模拟)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0，满足f(－x0)=－f(x0)，则称f(x)为“局部奇函数”.已知f(x)=－aex－1在R上为“局部奇函数”，则a的取值范围是 A．[－1，+∞) B．(－∞，－1] C．[－1，0) D．(－∞，1] √ 因为f(x)=－aex－1在R上为“局部奇函数”，所以存在实数x0，使得－a－1=a+1，所以方程－ae－x－1=aex+1在R上有解，所以方程=a在R上有解，又ex+e－x=ex+≥2，当且仅当x=0时等号成立，所以－1≤a<0，所以a的取值范围是[－1，0).故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 15.(2024·湖南长沙模拟)已知函数f(x)满足：对任意的x∈R，f(x)+f(－x)=2，若函数y=f(x)与y=2－的图象的交点为(xi，yi)(i=1，2，…，n)，则的值为 A．0 B．2n C．n D．－n √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 因为对任意的x∈R，f(x)+f(－x)=2，所以f(x)的图象关于点(0，1)对称.又y=2－=1+，故设g(x)=，则g(x)的定义域为R，且g(－x) ===－g(x)，故g(x)为奇函数，故其图象关于原点对称，而y=2－=1+g(x)，故y=2－的图象关于(0，1)对称.故函数y=f(x)与y=2－的图象的交点关于(0，1)对称，不妨设x1<x2<…<xn，则xi=0，且y1+yn=y2+yn－1 =…=yk+yn－k+1=2，其中1≤k≤n，故2yi=+ +…+(yn+y1)=2n，所以yi=n，故=n.故选C． 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 指数与指数函数 $