第二章 7 第五节 第2课时 幂函数与几种特殊函数的应用（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（湘教版）

该高中数学高考复习课件聚焦幂函数与特殊函数应用，覆盖幂函数图象性质、一次分式函数、对勾函数等高考核心考点，依据高考评价体系分析单调性、奇偶性等考查要求，通过真题统计明确选择（40%）、填空（30%）、解答（30%）的题型分布，构建完整备考体系。 课件亮点在于“真题溯源+性质迁移”策略，以2021全国乙卷分式函数题为例，用分离参数法突破单调性考点，培养数学思维中的逻辑推理能力。针对幂函数定义域易错点，设计“定义辨析+图象验证”训练，帮助学生用数学语言精准表达，助力教师讲练结合提升复习效率。

第五节　幂函数与二次函数 第2课时　幂函数与几种特殊函数的应用 高三一轮复习讲义　湘教版 第二章　函数与基本初等函数 03 02 考教衔接　精研教材 课时测评 01 考点探究　提升能力 内容索引 考点探究　提升能力 返回 考点一　幂函数的图象与性质 自主练透 由幂函数的图象可知，在(0，1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a>b>c>d.故选B． 1.若四个幂函数y=xa，y=xb，y=xc，y=xd在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是 A．d>c>b>a B．a>b>c>d C．d>c>a>b D．a>b>d>c √ 2.“n=1” 是“幂函数f(x)=(n2－3n+3)x2n－3在(0，+∞)上单调递减”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 因为f(x)=(n2－3n+3)x2n－3是幂函数，所以n2－3n+3=1，即n2－3n+2=0，解得n=1或n=2，当n=1时，f(x)=x－1=在(0，+∞)上单调递减；当n=2时，f(x)=x在(0，+∞)上单调递增.所以“n=1”是“幂函数f(x)=(n2－3n+3)x2n－3在(0，+∞)上单调递减”的充要条件.故选C． 3.如图所示是函数y=(m，n均为正整数且m，n互质)的图象，则 A．m，n是奇数，且<1 B．m是偶数，n是奇数，且<1 C．m是偶数，n是奇数，且>1 D．m，n是奇数，且>1 √ 由幂函数性质可知，y=与y=x的图象恒过定点(1，1)，即在第一象限内的交点坐标为(1，1)，当0<x<1时，>x，则<1；又y=的图象关于y轴对称，所以y=为偶函数，所以(－x===，又m，n互质，所以m为偶数，n为奇数.故选B． 4.1.5－3.1，23.1，2－3.1的大小关系是 A．23.1<2－3.1<1.5－3.1 B．1.5－3.1<23.1<2－3.1 C．1.5－3.1<2－3.1<23.1 D．2－3.1<1.5－3.1<23.1 √ 1.5－3.1=，2－3.1=.易知幂函数y=x3.1在(0，+∞)上单调递增，且<<2，所以<<23.1，即2－3.1<1.5－3.1<23.1.故选D． 5.已知幂函数f(x)=的图象经过点(2，)，则m=_____；满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为_________.  1　 　 因为f(x)的图象过点，所以=，所以m2+m=2，又m∈N+，所以m=1.即f(x)=，其定义域为{x|x≥0}，且在定义域内单调递增，所以由f(2－a)>f(a－1)得0≤a－1<2－a，解得1≤a<. 幂函数的图象与性质特征的关系 1.幂函数的形式是y=xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式. 2.判断幂函数y=xα(α∈R)的奇偶性及求定义域时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断. 3.若幂函数y=xα在(0，+∞)上单调递增，则α>0，若在(0，+∞)上单调递减，则α<0. 规律方法 考点二　一次分式函数 师生共研 典例1 已知函数f(x)=，其中a∈R. (1)当函数f(x)的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a的值； 解：f(x)===a+， 所以f(x)的对称中心为点(－1，a)， 由题意得a=3. (2)若函数f(x)在(－1，+∞)上单调递减，求实数a的取值范围. 解：由f(x)=知直线x=－1为f(x)的一条渐近线， 由一次分式函数的性质知， 当且仅当2－2a>0， 即a<1时，f(x)在(－1，+∞)上单调递减， 故实数a的取值范围是(－∞，1). 一次分式函数的应用技巧 1.一次分式函数的图象是中心对称的双曲线，所以要善于利用其对称性、渐近线等性质解决问题. 2.熟练掌握一次分式函数分离参数的方法与技巧. 规律方法 对点练1.已知函数f(x)=的定义域是{x|x∈R，x≠－3}. (1)求函数f(x)的值域； 解：依题意知，函数f(x)的定义域为{x|x∈R，x≠－3}，所以a=3. 因为f(x)===2+，由于≠0，所以2+≠2，因此函数的值域为{y|y∈R，y≠2}. (2)若f(x)在(－∞，b)上单调递增，求实数b的取值范围. 解：因为f(x)=2+，所以函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－3)和(－3，+∞). 又因为f(x)在区间(－∞，b)上单调递增，所以b≤－3，即b的取值范围为 (－∞，－3]. 考点三　几类常见的特殊函数 多维探究 典例2 角度1　对勾函数、飘带函数 因为函数y=x+(t>0)的图象形状像对勾，我们称形如“y=x+(t>0)”的函数为“对勾函数”. (1)证明对勾函数具有性质：在(0， )上单调递减，在(，+∞)上单调递增； 证明：设x1，x2是任意两个实数，且f(x)=x+，任取0<x1<x2，则f(x1)－f(x2)=x1+－x2－=， 若x1，x2∈(0， ]，则x1－x2<0，0<x1x2<t， 即x1x2－t<0， 所以>0， 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 所以y=x+(t>0)在(0， ]上单调递减； 若x1，x2∈(，+∞)，则x1－x2<0，x1x2>t， 即x1x2－t>0， 所以<0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以y=x+(t>0)在(，+∞)上单调递增. 所以对勾函数具有性质：在(0，)上单调递减，在(，+∞)上单调递增. (2)已知f(x)=2x+－5，x∈[1，3]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域； 解：f(x)=2x－1+－4， 令2x－1=m，因为1≤x≤3，所以1≤m≤5， 则f(x)=h(m)=m+－4，m∈[1，5]， 由对勾函数的性质，可得h(m)在[1，2]上单调递减，在(2，5]上单调递增， 所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，f(1)=1，f=0，f(3)=. 综上可得，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为. (3)对于(2)中的函数f(x)和函数g(x)=x2－mx+4，若对任意x1∈[1，3]，总存在x2∈[1，3]，使得g(x2)<f(x1)成立，求实数m的取值范围. 解：由(2)知f(x1)∈时，若存在x2∈[1，3]，使得g(x2)<f(x1)成立， 只需g(x)=x2－mx+4<0在x∈[1，3]上有解即可，即m>， 令u(x)=x+，x∈[1，3]，由(2)知u(x)在[1，2]上单调递减，在(2，3]上单调递增，所以u(x)的最小值为u(2)=4， 所以m>4，即实数m的取值范围为(4，+∞). 典例3 角度2　高斯函数、狄利克雷函数 (1)(多选)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如[－2.1]=－3，[2.1]=2，则下列说法正确的是 A．函数y=x－[x]在区间[k，k+1)(k∈Z)上单调递增 B．若函数f(x)=，则y=[f(x)]的值域为{0} C．若函数f(x)=||，则y=[f(x)]的值域为{0，1} D．x∈R，x≥[x]+1 √ √ 对于A，x∈[k，k+1)，k∈Z，有[x]=k，则函数y=x－[x]=x－k在[k，k+1)上单调递增，故A正确；对于B，f==－∈(－1，0)，则=－1，故B不正确；对于C，f(x)= ==，当0≤|cos 2x|≤时，1≤2－2|cos 2x|≤2，1≤f(x)≤，有[f(x)]=1，当<|cos 2x|≤1时，0≤2－2|cos 2x|<1，0≤f(x)<1，有[f(x)]=0，所以y=[f(x)]的值域为{0，1}，故C正确；对于D，当x=2时，[x]+1=3，有2<[2]+1，故D不正确.故选AC． (2)(多选)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数f(x)=称为狄利克雷函数，则关于函数f(x)的叙述，正确的是 A．函数y=f(x)的图象是两条直线 B．f(f(x))=1 C．f()>f(1) D．∀x∈R，都有f(1－x)=f(2+x) √ √ 对于A，函数y=f(x)的图象是断续的点集，不是两条直线，故A错误；对于B，当x为有理数时，f(x)=1，所以f(f(x))=f(1)=1，当x为无理数时，f(x)=0，f(f(x))=f(0)=1，故B正确；对于C，f()=0，f(1)=1，所以f(1)>f()，故C错误；对于D，由题意，函数定义域为R，且f(－x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，取不为零的有理数T，若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数；所以根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f(x+T)=f(x)对∀x∈R恒成立，故f(x+2)=f(x)=f(－x)=f(1－x)，所以∀x∈R，都有f(1－x)=f(2+x)，故D正确.故选BD． 1.解决对勾函数、飘带函数问题主要运用其图象及奇偶性、对称性、单调性等性质. 2.高斯函数、狄利克雷函数问题都属于新定义问题，其解题思想围绕着知识迁移，就是利用新、旧知识之间的联系，由旧知识的思考方式领会新知识的思考过程，而产生迁移的关键是正确概括两种知识之间包含的共同因素，并与函数的性质相结合. 规律方法 对点练2.函数f(x)=|x|－(x∈R)的图象不可能是 √ 当m=0时，f(x)=|x|(x≠0)，选项A有可能；当m=1时，f(x)=易得f(x)在(0，+∞)上单调递增，根据对勾函数图象易得f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，选项D有可能；当m=－1时，f(x)=易得f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，选项B有可能，所以选项C不可能.故选C． 对点练3.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如：[－0.5]=－1，[1.5]=1，已知函数f(x)=－3×2x+4(0<x<2)，则函数y=[f(x)]的值域为 A． B．{－1，0，1} C．{－1，0，1，2} D．{0，1，2} √ f(x)=－3×2x+4(0<x<2)，令t=2x，t∈(1，4)，可得g(t)=t2－3t+4=(t－3)2－(1<t<4)，g(t)在(1，3]上递减，在[3，4)上递增，当t=3时，g(t)有最小值g(3)=－，又因为g(1)=，g(4)=0，所以当t∈(1，4)时，g(t)∈，即函数f(x)的值域为，当f(x)∈时，[f(x)]=－1；f(x)∈[0，1)时，[f(x)]=0；f(x)∈时，[f(x)]=1.所以y=[f(x)]的值域是{－1，0，1}.故选B． 返回 考教衔接　精研教材 返回 真题再现 (2021·全国乙卷)设函数f(x)=，则下列函数中为奇函数的是 A．f－1 B．f+1 C．f－1 D．f+1 √ 由题意可得f(x)==－1+.对于A，f－1=－2不是奇函数；对于B，f(x－1)+1=是奇函数；对于C，f－1=－2，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f+1=，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选B． 返回 教材呈现 (湘教版必修一P90T9)已知函数f(x)=(a，b，c∈Z)是奇函数，且f(1)=2，f(2)<3，求a，b，c的值. 点评：本题与教材习题函数关系式非常相似，都可以求出对应函数的关系式，考查考点、解法完全相同，是高考试题源于教材的典例. 课 时 测 评 返回 1.已知常数α∈Q，如图为幂函数y=xα的图象，则α的值可以为  A． B． C．－ D．－ √ 由幂函数y=xα的图象关于y轴对称知，函数y=xα是偶函数，排除B、D选项；再根据幂函数y=xα的图象在第一象限内从左到右下降，可得α<0，排除A选项.故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 2.(2024·海南海口模拟)已知f(x)=x2－2 024x，若f(m)=f(n)，m≠n，则f(m+n)= A．2 024 B．－2 024 C．0 D．1 002 √ 由f(x)=x2－2 024x=(x－1 012)2－1 0122可得f(x)的对称轴为直线x=1 012，由f(m)=f(n)，m≠n，得=1 012，即m+n=2 024，所以f(m+n)=f(2 024) =2 0242－2 024×2 024=0.故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 3.已知a=，b=，c=2，则 A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b √ 由题意得b=<==a，a==<4<5=2=c，所以b<a<c.故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 4.函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一平面直角坐标系内的图象可以是 若a>0，则一次函数y=ax+b为增函数，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，故可排除A，D；对于选项B，由直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，排除B．故选C． √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 5.(多选)已知幂函数f(x)=xm，则 A．f= B．f(x)的定义域是R C．f(x)是偶函数 D．不等式f(x－1)≥f(2)的解集是[－1，1)∪(1，3] √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 因为函数f(x)是幂函数，所以m+=1，得m=－，即f(x)=，f===，故A正确；函数的定义域是{x|x≠0}，故B不正确；因为定义域关于原点对称，f(－x)=f(x)，所以函数f(x)是偶函数，故C正确；易知函数f(x)=在(0，+∞)上是减函数，不等式f(x－1)≥f(2)等价于|x－1|≤2，即－2≤x－1≤2，且x－1≠0，解得－1≤x≤3，且x≠1，即不等式的解集是[－1，1)∪(1，3]，故D正确.故选ACD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 6.(多选)已知函数y=x2－4x+1的定义域为[1，t]，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为－5，则实数t的值可以为 A．1 B．2 C．3 D．4 √ √ 函数y=x2－4x+1的图象是开口向上，对称轴为直线x=2 的抛物线，因为函数的定义域为[1，t]，所以当x=1时， y=－2，当x=2时，y=－3，因为在[1，t]内函数的最大 值与最小值之和为－5，所以当y=－2时，x=1或x=3， 所以2≤t≤3.故选BC． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 7.若函数f(x)=ax2+2x－1在区间(－∞，6)上单调递增，则实数a的取值范围 是___________.  　 当a=0时，函数f(x)=2x－1在R上单调递增，符合题意；当a≠0时，函数f(x)是二次函数，又f(x)在(－∞，6)上单调递增，由二次函数性质知，a<0，则有解得－≤a<0，所以实数a的取值范围是. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 8.(开放题)(2024·江苏南通模拟)已知①f(0)=0；②f(4－x)=f(x)；③在区间(2，3)上单调递减，则同时满足条件①②③的一个函数f(x)= ____________________.  －x2+4x(答案不唯一) 由题意可知，f(x)的图象关于直线x=2对称，且在(2，3)上单调递减，且f(0)=0，可取f(x)=－x2+4x满足条件. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 9.已知二次函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[1，+∞)，则+的最小值为_____.  3 因为二次函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[1，+∞)，则a>0，所以f(x)min===1，即ac－1=a，可得a=>0，则c>1，所以+ =c+－1≥2－1=3，当且仅当c=2时，等号成立，因此+的最小值为3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 10.(13分)若二次函数f(x)满足f(x+1)－f(x)=2x，f(0)=1. (1)求f(x)的解析式；(6分) 解：由题意，设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)， 因为f(0)=1，可得c=1，即f(x)=ax2+bx+1， 又因为f(x+1)－f(x)=2x， 可得a(x+1)2+b(x+1)－ax2－bx=2x， 即2ax+b+a=2x，可得 解得a=1，b=－1，所以f(x)=x2－x+1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 (2)若f(x)>2x+m在[－1，1]上恒成立，求m的取值范围.(7分) 解：由(1)知函数f(x)=x2－x+1， 因为f(x)>2x+m在[－1，1]上恒成立，即x2－3x+1>m在[－1，1]上恒成立， 令g(x)=x2－3x+1，x∈[－1，1]， 根据二次函数的性质，可得函数g(x)在[－1，1]上单调递减，所以g(x)min=g(1)=－1， 所以m<－1， 所以实数m的取值范围是(－∞，－1). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 11.(14分)已知二次函数g(x)=mx2－2mx+n+1(m>0)在区间[0，3]上有最大值4，最小值0. (1)求函数g(x)的解析式；(6分) 解：由题意知二次函数g(x)=mx2－2mx+n+1(m>0)的图象开口向上，对称轴为x=1，所以⇒所以g(x)=x2－2x+1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 (2)设f(x)=g(x)+(2－a)x，且f(x)在[－1，2]上的最小值为－3，求a的值.(8分) 解：f(x)=g(x)+(2－a)x=x2－ax+1，其图象开口向上，对称轴为x=.当≤ －1，即a≤－2时，f(－1)=2+a=－3⇒a=－5；当－1<<2，即－2<a<4时，f=+1=－+1=－3⇒a=±4(舍去)；当≥2，即a≥4时，f(2)=5－2a=－3⇒a=4.综上所述，a的值为－5或4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 12.已知实数a，b满足等式=，则下列关系式不可能成立的是 A．0<b<a<1 B．－1<a<b<0 C．1<a<b D．a=b √ 画出y=与y=的图象(如图).设==m，作直线y=m.由图象知，若m=0或m=1，则a=b；若0<m<1，则0<b<a<1；若m>1，则1<a<b.故选B． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 13.(新考法)已知函数f(x)=ax2+bx+c，且f(x+2)是偶函数，则下列大小关系可能正确的是 A．f(2)<f=c B．f<f(2)<c C．f(2)>f>c D．f<f(2)=c √ 因为f(x+2)是偶函数，所以直线x=2是y=f(x)图象的对称轴. f =a·+b·+c=c，所以B、C、D均不可能成立，当a>0时，f(2)是最小值，因此f(2)<f=c成立.故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 14.(多选)(2024·黑龙江牡丹江模拟)已知两个变量x，y的关系式f(x，y)=x(1－y)，则以下说法正确的是 A．f(1，3)=f(3，1)=0 B．对任意实数a，都有f≤成立 C．若对任意实数x，不等式f(x－a，x)≤－a+4恒成立，则实数a的取值范围是[－5，3] D．若对任意正实数a，不等式f(x－a，x)≤－a+4恒成立，则实数x的取值范围是(－∞，0) √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 对于A，f(1，3)=1×(1－3)=－2，f(3，1)=3×(1－1)=0，即f(1，3)≠f(3，1)，故A错误；对于B，f(a，a)=a(1－a)=a－a2=－+≤，故B正确；对于C，f(x－a，x)=(x－a)(1－x)=－x2+(a+1)x－a≤－a+4恒成立，即x2－(a+1)x+4≥0恒成立，则Δ=(a+1)2－16≤0，解得－5≤a≤3，故C正确；对于D，x2－(a+1)x+4≥0恒成立，令y=－ax+x2－x+4(a>0)，当x>0时，该函数看成关于a的一次函数，函数单调递减，不可能恒大于0.当x=0时，y=4≥0成立.当x<0时，该函数看成关于a的一次函数，函数单调递增，令μ=x2－x+4，则μ=+>0，又a∈R+，所以－ax>0恒成立，即y≥0恒成立.则实数x的取值范围是(－∞，0]，故D错误.故选BC． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 15.(多选)对任意的x∈R，函数f=ax2－3x+的值域是，则下列结论中正确的是 A．a>0 B．a2b=9 C．a2+4b的最小值是12 D．a2+ab+3a+b的最小值是6－6 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 因为函数f=ax2－3x+，所以a>0，且f=0，即+=0，所以a2b=9，故A、B正确；由a2b=9，得b=>0，则a2+4b=a2+≥2=12，当且仅当a2=，即a=时取等号，所以a2+4b的最小值是12，故C正确；由a2b=9，得b=>0，ab=>0，则a2+ab+3a+b=a2+++3a≥2+2=6+6，当且仅当即a=时取等号，所以a2+ab+3a+b的最小值是6+6，故D错误.故选ABC． 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 幂函数与几种特殊函数的应用 $