第二章 14 第十节 函数模型及其应用（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（湘教版）

该高中数学讲义聚焦函数模型及其应用高考核心考点，系统梳理一次、二次、指数、对数、幂函数等模型类型，对比不同函数增长规律，按“模型认知-增长比较-实际应用”逻辑架构知识体系，通过自主检测、考点分阶讲解、真题演练等环节，帮助学生突破函数建模与实际问题转化难点。 讲义突出数学眼光、思维与语言素养培养，如结合散点图选择函数模型培养观察能力，构建分段函数解决利润问题训练逻辑思维，设置基础检测、能力提升、真题再现分层练习，确保高效复习，助力教师精准把控节奏，提升学生应考能力。

第十节　函数模型及其应用 【课程标准】　1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同类型函数增长的含义.　2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. 1.几类常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)=+b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)=bax+c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)=blogax+c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)=axn+b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0) 2.几种函数增长快慢的比较 　　函数 性质　　 y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=xn (n>0) 在(0，+∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 【常用结论】 “直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变； “指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小. 【自主检测】 1.(多选)下列说法错误的是 (　　) A．函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大 B．不存在x0，使<<logax0 C．在(0，+∞)上，随着x的增大，y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xa(a>1)的增长速度 D．“指数爆炸”是指数型函数y=a·bx+c(a≠0，b>0且b≠1)增长速度越来越快的形象比喻 答案：ABD 2.某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒，需对喷雾完毕后空气中每立方米药物残留量y(单位：毫克)与时间x(单位：时)的关系进行研究，为此收集部分数据并做了初步处理，得到如图散点图.现拟从下列四个函数模型中选择一个估计y与x的关系，则应选用的函数模型是 (　　) A．y=ax+b B．y=a·+b(a>0) C．y=xa+b(a>0) D．y=ax+(a>0，b>0) 答案：B 3.已知f(x)=x2，g(x)=2x，h(x)=log2x，当x∈(4，+∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是 (　　) A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x) C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x) 答案：B 解析：当x∈(4，+∞)时，易知增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x).故选B． 4.某种茶水用100 ℃的水泡制，再等到60 ℃时饮用可产生最佳口感.已知茶水温度y(单位：℃)与经过时间t(单位：min)的函数关系是：y=kat+y0，其中a为衰减比例，y0是室温，t=0时，y为茶水初始温度，若室温为20 ℃，a=，茶水初始温度为100 ℃，则k=　　　　，产生最佳口感所需时间是　　　　min.  答案：80　8 解析：由题意，y=kat+20，当t=0时，y=k+20=100，解得k=80，则y=80at+20.当y=60时，即80at+20=60，则at=，即=，所以t=8 min. 学生用书⬇第54页 考点一　用函数图象刻画变化过程自主练透 1.(2024·广东广州综合检测)如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h=f(t)的图象大致是 (　　) 答案：B 解析：水位由高变低，排除C、D．半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快.故选B． 2.(2025·浙江杭州模拟)有一组实验数据如表，则体现这组数据的最佳函数模型是 (　　) x 2 3 4 5 6 y 1.40 2.56 5.31 11 21.30 A．y= B．y=·2x C．y=log2x D．y=2x-3 答案：B 解析：f-f=1.16，f-f=2.75，f(5)-f=5.69，f-f=10.3，通过所给数据可知，y随x的增大而增大，且增长的速度越来越快，A、C选项函数增长的速度越来越慢，D选项函数增长的速度不变，B选项函数增长的速度越来越快，所以B正确.故选B． 3.(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示： 根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是 (　　) A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用 B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒 C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用 D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒 答案：ABC 解析：从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，故A正确；根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时时的血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，故B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，故C正确；第1次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，故D错误.故选ABC． 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法 1.构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象. 2.验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案. 考点二　已知函数模型解决实际问题师生共研 (1)(2024·福建龙岩三模)声音的等级f(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足f(x)=10×lg. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140 dB．若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的108倍，则一般说话时声音的等级约为 (　　) A．120 dB B．100 dB C．80 dB D．60 dB (2)(多选)(2025·安徽蚌埠第三次质量检测)科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的.如果物体的初始温度为θ1℃，空气温度θ0℃保持不变，则t分钟后物体的温度θ(单位：℃)满足：θ=θ0+e-0.05t.若空气温度为10 ℃，该物体温度从θ1 ℃(90≤θ1≤100)下降到30 ℃大约所需的时间为t1，若该物体温度从70 ℃，50 ℃下降到30 ℃大约所需的时间分别为t2，t3，则 (　　) (参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1) A．t2=20 B．28≤t1≤30 C．t1≥2t3 D．t1-t2≤6 答案：(1)D　(2)BC 解析：(1)设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为x1，x2，由题意可得f=10×lg=140，解得x1=102，因为==108，所以x2=10-6，所以f=10×lg=60，所以一般说话时声音的等级约为60 dB．故选D． (2)由题意可知，θ=10+e-0.05t，当θ=30，则30=10+，即=，-0.05t1=ln ，则t1=20 ln ，其是关于θ1的单调递增函数，当θ1=90时，t1=20 ln =20 ln 4=40 ln 2≈28，当θ1=100时，t1=20 ln =20 ln =20(2ln 3-ln 2)≈30，则28≤t1≤30，故B正确；当θ1=70时，t2=20ln =20ln 3≈22，故A错误；当θ1=50时，t3=20ln =20ln 2≈14，此时满足t1≥2t3， t1-t2≥6，故C正确，D错误.故选BC． 根据给定函数模型解决实际问题的技巧 1.认清函数模型，明确其中的变量，弄清楚哪些为待定系数. 2.根据已知条件，确定模型中的待定系数. 3.分析函数模型，借助函数的性质解决相关问题. 学生用书⬇第55页 对点练1.(2024·内蒙古包头三模)冰箱空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧量Q呈指数型变化.当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式Q=Q0·e-0.002 5 t，其中Q0是臭氧的初始量，e是自然对数的底数，t是时间，以年为单位.若按照关系式Q=Q0·e-0.002 5t推算，经过t0年臭氧量还保留初始量的四分之一，则t0的值约为(ln 2≈0.693) (　　) A．584年 B．574年 C．564年 D．554年 答案：D 解析：由题意知，Q=Q0·=Q0，则=，解得t0=-400 ln=800 ln 2≈554年.故选D． 对点练2.(2024·福建福州高三质检)为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务.根据调查的数据，建立了实际还款比例P关于贷款人的年收入x(单位：万元)的Logistic模型：P(x)=，已知当贷款人的年收入为8万元时，其实际还款比例为50%.若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入为(精确到0.01万元，参考数据：ln 3≈1.098 6，ln 2≈0.693 1) (　　) A．4.65万元 B．5.63万元 C．6.40万元 D．10.00万元 答案：A 解析：由题意P(8)==50%=，所以e-0.968 0+8k=1，即-0.968 0+8k=0，得k=0.121，所以P(x)=.令P(x)==40%=，得5e-0.968 0+0.121x=2，得e-0.968 0+0.121x=，即-0.968 0+0.121x=ln，解得x=≈4.65.故选A． 考点三　构建函数模型解决实际问题多维探究 角度1　构建二次函数、分段函数、“对勾”函数模型 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)=x2+x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)=6x+-38(万元).每件商品售价为5元.通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完. (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本) (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少? 解：(1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元， 依题意得，当0<x<8时，L(x)=5x--3=-x2+4x-3； 当x≥8时，L(x)=5x--3=35-. 所以L(x)= (2)当0<x<8时，L(x)=-+9. 即当x=6时，L(x)取得最大值，最大值为9万元； 当x≥8时，L(x)=35-≤35-2=35-20=15，当且仅当x=，即x=10时等号成立，即x=10时，L(x)取得最大值，最大值为15万元. 因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元. 数学建模解决实际问题的步骤 第一步：分析：正确理解并简化实际问题：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息.根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设； 第二步：建立数学模型：在上述基础上，利用适当的数学工具来刻画各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构； 第三步：解模：求得数学问题的解； 第四步：回归：将求解时分析计算的结果与实际情形进行比较，验证模型的准确性、合理性和适用性.即： 注意：构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域. 角度2　构建指数函数、对数函数模型 (1)据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2010年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2010年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是 (　　) A．y=0.9·m B．y=(1-0.0)·m C．y=0.9550-x·m D．y=(1-0.0550-x)·m 学生用书⬇第56页 (2)北京时间2020年11月24日4时30分，中国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭，成功将嫦娥五号月球探测器送入地月转移轨道，发射取得圆满成功.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v和燃料的质量M、火箭(除燃料外)的质量m的函数关系是v=2 000ln.按照这个规律，当1 000M=8m时，火箭的最大速度为v1；当1 000M=4m时，火箭的最大速度为v2，则v1-v2≈(参考数据：ln≈0.004) (　　) A．8.0 km/s B．8.4 km/s C．8.8 km/s D．9.0 km/s 答案：(1)A　(2)A 解析：(1)设每年减少的百分比为a，由在50年内减少5%，得=1-5%=95%，即a=1-(95%.所以经过x年后，y与x的函数关系式为y=m·=m·=0.9·m.故选A． (2)由火箭的最大速度v和燃料的质量M、火箭的质量m的函数关系是v=2 000 ln，当1 000M=8m时，有=，所以v1=2 000ln=2 000ln；当1 000M=4m时，有=，所以v2=2 000ln=2 000ln，可得v1-v2=2 000ln=2 000ln≈2 000×0.004=8.0 km/s.故选A． 应用指、对函数模型应注意的问题 1.指、对函数模型的应用类型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指、对函数模型来解决. 2.应用指、对函数模型的关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型. 3.y=a(1+x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解. 对点练3.(1)(2024·山东济南模拟)酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，国家有关规定：驾驶员血液中的酒精含量大于或等于20 mg/100 mL，小于80 mg/100 mL的驾驶行为为酒后驾车，80 mg/100 mL及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了100 mg/100 mL.如果停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过　　　　个小时才能驾驶汽车.(参考数据：lg 5≈0.7，lg 7≈0.85)  (2)网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2022年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x(单位：万件)与投入实体店体验安装的费用t(单位：万元)之间满足函数关系式x=3-.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件的进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司的最大月利润是　　　　万元.  答案：(1)4.7　(2)37.5 解析：(1)设他至少经过x个小时才能驾驶汽车，则100(1-30%)x<20，所以0.7x<0.2. 又y=0.7x为减函数，所以x>log0.70.2====≈≈4.7， 所以他至少经过4.7个小时才能驾驶汽车. (2)由题意，产品的月销量x(单位：万件)与投入实体店体验安装的费用t(单位：万元)之间满足x=3-，即t=-1(1<x<3)，所以月利润为y=x-32x-3-t=16x--3=16x--=45.5-≤45.5-2=37.5，当且仅当16=，即x=时取等号，则最大月利润为37.5万元. [真题再现]　(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp=20×lg，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值， p 是实际声压.下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则 (　　) A．p1≥p2 B．p2>10p3 C．p3=100p0 D．p1≤100p2 答案：ACD 解析：由题意可知：Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，Lp3=40，对于A，可得Lp1-Lp2=20×lg-20×lg=20×lg，因为Lp1≥Lp2，则Lp1-Lp2=20×lg≥0，即lg≥0，所以≥1且p1，p2>0，可得p1≥p2，故A正确；对于B，可得Lp2-Lp3=20×lg-20×lg=20×lg，因为Lp2-Lp3≥10，则20×lg≥10，即lg≥，所以≥ 且p2，p3>0，可得p2≥ p3，当且仅当Lp2=50时，等号成立，故B错误；对于C，因为Lp3=20×lg=40，即lg=2，可得=100，即p3=100p0，故C正确；对于D，由A可知：Lp1-Lp2=20×lg，且Lp1-Lp2≤90-50=40，则20×lg≤40，即lg≤2，可得≤100，且p1，p2>0，所以p1≤100p2，故D正确.故选ACD． [教材呈现]　(湘教版必修一P120例9)地震的强烈程度通常用里氏震级M=lg A-lg A0表示，这里A是距离震中100 km处所测量地震的最大振幅，A0是该处的标准地震振幅. (1)若一次地震测得A=25 mm，A0=0.001 mm，该地震的震级是多少(计算结果精确到0.1)? (2)计算里氏8级地震的最大振幅是里氏5级地震最大振幅的多少倍. 点评：该高考题及教材例题分别以声压级和震级为背景考查对数函数模型在实际问题中的应用，是教材例题的拓展，解法相似. 学科网（北京）股份有限公司 $