第二章 4 第四节 函数的对称性（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（湘教版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的对称性”专题，依据新课标要求梳理了函数自身轴对称、中心对称及两个函数图象对称三大核心考点，对接高考评价体系分析近5年真题中对称性质应用占比达35%，归纳出对称函数解析式求解、双对称求周期等6类常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题溯源+考点突破+素养提升”策略，如2024新课标Ⅰ卷中心对称证明题，通过“对称点代入法”和“性质转化思维”培养学生逻辑推理和数学表达素养，提供轴对称与中心对称公式对比表等易错点指导，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此精准教学，助力高效复习。

第四节　函数的对称性 高三一轮复习讲义　湘教版 第二章　函数与基本初等函数 课程标准 1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.　 2.会利用对称公式解决问题. 04 03 考教衔接　精研教材 课时测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.函数图象的对称性 (1)若函数y=f(x+a)是偶函数，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称. (2)若函数y=f(x+b)是奇函数，则函数y=f(x)的图象关于点(b，0)中心对称. (3)若对于R上的任意x都有f(2a－x)=f(x)或f(－x)=f(2a+x)或f(a+x)=f(a－x)，则y=f(x)的图象关于直线x=a对称. 2.两个函数图象的对称 (1)函数y=f(x)与y=f(－x)关于_____对称. (2)函数y=f(x)与y=－f(x)关于_____对称. (3)函数y=f(x)与y=－f(－x)关于_____对称. y轴 x轴 原点 常用结论 函数对称性与周期性的关系(双对称问题求周期) (1)若函数f(x)的图象关于x=a和x=b(a≠b)对称，则y=f(x)的一个周期为 2|b－a|. (2)若函数f(x)的图象关于(a，0)和(b，0)(a≠b)对称，则y=f(x)的一个周期为2|b－a|. (3)若函数f(x)的图象关于x=a和(b，0)(a≠b)对称，则y=f(x)的一个周期为 4|b－a|. 自主检测 1.(多选)下列结论正确的是 A．函数y=f(x+1)是偶函数，则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称 B．函数y=f(x－1)是奇函数，则函数y=f(x)的图象关于点(1，0)对称 C．若函数f(x)满足f(x－1)+f(x+1)=0，则f(x)的图象关于y轴对称 D．若函数f(x)满足f(2+x)=f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x=2对称 √ √ 2.函数f(x)=图象的对称中心为 A．(0，0) B．(0，1) C．(1，0) D．(1，1) √ 因为f(x)==1+，由y=向上平移一个单位长度得到y=1+，又y=关于(0，0)对称，所以f(x)=1+的图象关于(0，1)对称.故选B． 3.设偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为___________________.  [－5，－2)∪(2，5] 由题图可知，当0<x<2时，f(x)>0；当2<x≤5时，f(x)<0.又f(x)是偶函数，所以当－2<x<0时，f(x)>0；当－5≤x<－2时，f(x)<0.综上，不等式f(x)<0的解集为[－5，－2)∪(2，5]. 4.偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称，且当x∈[2，3]时，f(x)=2x－1，则f(－1)=______.  5 因为f(x)为偶函数，所以f(－1)=f(1)，由f(x)的图象关于x=2对称，可得f(1)=f(3)=2×3－1=5. 返回 考点探究　提升能力 返回 考点一　轴对称问题 师生共研 典例1 (1)下列函数中，其图象与函数y=log2x的图象关于直线x=2对称的是 A．y=log2(2+x) B．y=log2(2－x) C．y=log2(4+x) D．y=log2(4－x) √ 设所求函数的图象上任意一点P(x，y)，则点P关于x=2对称的点为Q(4－x，y)，由题意知点Q在y=log2x的图象上，可得y=log2(4－x)，即函数y=log2x关于x=2对称的函数解析式为y=log2(4－x).故选D． (2)若函数f(x)=(1－x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=－2对称，则ab=______.  120 因为f(x)的图象关于直线x=－2对称， 所以f(－3)=f(－1)，f(－5)=f(1)，即所以ab=120. (3) (2023·全国乙卷节选)已知函数f(x)=ln(1+x)，是否存在a，b，使得曲线y=f关于直线x=b对称？若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由. 解：假设存在a，b， 使得曲线y=f关于直线x=b对称. 令g(x)=f=(x+a)ln=(x+a)ln ， 因为曲线y=g(x)关于直线x=b对称， 所以g(x)=g(2b－x)， 即(x+a)ln =(2b－x+a)ln =(x－2b－a)ln ， 于是 当a=，b=－时，g(x)=ln， g(－1－x)=ln =ln =ln =ln =g(x)， 所以曲线y=g(x)关于直线x=－对称，满足题意. 故存在a，b，使得曲线y=f关于直线x=b对称，且a=，b=－. 轴对称问题的常用性质 1.函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称⇔f(x)=f(2a－x)⇔f(a－x)　=f(a+x). 2.若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b－x)，则y=f(x)的图象关于直线x=成轴对称. 规律方法 对点练1.(1)(2024·山东东营模拟)已知函数f(x)=32－x+3x+a，其中a为常数，若存在x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，则x1+x2= A．0 B．1 C．2 D．2a √ 因为f=3x+32－x+a=f(x)，所以f(x)关于直线x=1对称，又f(x1)=f(x2)，所以x1+x2=2.故选C． (2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+2)为偶函数，f(x)在[2，+∞)上单调递减，则不等式f(－x2)>f(－1)的解集为__________.  (－1，1) 因为f(x+2)是偶函数，所以f(x)的图象关于直线x=2对称，又f(x)在[2，+∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，2]上单调递增.又－x2，－1∈(－∞，2]，f(－x2)>f(－1)，所以－x2>－1，即x2<1，所以－1<x<1，所以原不等式的解集为(－1，1). 考点二　中心对称问题 师生共研 (1)(2024·新疆乌鲁木齐二模)若函数f=的图象关于点对称，则a= A．－2 B．－1 C．1 D．2 √ f(x)==a+关于(1，2)对称，所以f(1+x)+f(1－x)=4，即a++a+=2a=4，则a=2.故选D． 典例2 (2)已知函数f(x)满足f(－x)+f(x+2)=0，若函数y=f(x)－有6个零点，则6个零点的和为______.  6 因为f(－x)+f(x+2)=0，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称，又y=的图象也关于点(1，0)对称，所以函数y=f(x)－(x≠1)的图象关于点(1，0)对称，该函数的零点之和为2×3=6. 中心对称问题的常用性质 1.函数y=f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a+x)+f(a－x)=2b⇔2b－f(x)=f(2a－x). 2.若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b－x)=c，则y=f(x)的图象关于点成中心对称. 规律方法 对点练2.(1)(2024·河南安阳期中)已知函数f(x)=2x－，则f(x)的图象 A．关于直线x=2对称 B．关于点(2，0)对称 C．关于直线x=0对称 D．关于原点对称 √ 对于A，由f=24－x－=－2x≠f(x)，所以f(x)的图象不关于直线x=2对称，故A错误；对于B，由f=24－x－=－2x=－f(x)，所以f(x)的图象关于点(2，0)对称，故B正确；对于C，由f(－x)=2－x－=－16×2x≠f(x)，所以f(x)不是偶函数，故f(x)的图象不关于直线x=0对称，故C错误；对于D，由f(－x)=2－x－=－16×2x≠－f(x)，所以f(x)不是奇函数，故f(x)的图象不关于原点对称，故D错误. (2)已知函数f=x3－3x2，则f= A．－8 098 B．－8 096 C．0 D．8 100 √ f=x3－3x2=－3x+1=－3－2，所以f+f(1－x)=x3－3x－2－x3+3x－2=－4，即f关于(1，－2)中心对称，所以f= [f+f]+[f+f]+…++f=2 024×+f=－8 098.故选A． 考点三　两个函数图象的对称 师生共研 已知函数y=f(x)是定义域为R的函数，则函数y=f(x+2)的图象与y=f(4－x)的图象 A．关于直线x=1对称 B．关于直线x=3对称 C．关于直线y=3对称 D．关于点(3，0)对称 √ 设P(x0，y0)为y=f(x+2)图象上任意一点，则y0=f(x0+2)=f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y=f(4－x)的图象上，而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x=1对称，所以函数y=f(x+2)的图象与y=f(4－x)的图象关于直线x=1对称.故选A． 典例3 函数y=f(a+x)的图象与函数y=f(b－x)的图象关于直线x=对称. 规律方法 对点练3.(1)(2024·福建厦门高三质检)函数y=f(1－x)的图象与函数y=f(2+x)的图象关于直线x=m对称，其中m= A．3 B． C．－1 D．－ √ 设点P(x，y)在函数y=f(1－x)的图象上，点P关于直线x=m的对称点为Q(x'，y')，则则y'=f(1－2m+x')，即y= f(1－2m +x)与y=f(1－x)关于直线x=m对称，则1－2m=2，得m=－.故选D． (2)下列函数与y=2x－cos x的图象关于原点对称的函数是 A．g(x)=－2x+cos x B．g(x)=－cos(－x) C．g(x)=－+cos(－x) D．g(x)=－－cos(－x) √ 令f(x)=2x－cos x，f(x)与g(x)关于原点对称，则g(x)+f(－x)=0，所以g(x)= －f(－x)=－[－cos(－x)]=－2－x+cos(－x).故选C． 返回 考教衔接　精研教材 返回 真题再现 (2024·新课标Ⅰ卷节选)已知函数f(x)=ln+ax+b(x－1)3. 证明：曲线y=f(x)是中心对称图形. 证明：f=ln +ax+b的图象是由函数g=ln +ax+bx3+a向右平移1个单位得到，而函数g=ln +ax+bx3+a关于中心对称，所以y=f图象为中心对称图形，且对称中心为. 返回 教材呈现 (湘教版必修一P86T13)设函数f(x)的定义域为R，且f(1+x)=f(1－x).若当x≥1时，f(x)=x2－1，试确定f，f，f之间的大小关系. 点评：该高考题是教材习题结论的直接应用，推出f－a=ln +ax+bx3为奇函数即可.如果利用结论f(2－x)+f(x)=2a解答该题更简单. 课 时 测 评 返回 1.设函数f(x)的定义域为R，且f(x+2 025)是偶函数，则f(x)图象 A．关于点(2 025，0)中心对称 B．关于点(－2 025，0)中心对称 C．关于直线x=2 025对称 D．关于直线x=－2 025对称 √ 因为f(x+2 025)为偶函数，所以f(x+2 025)=f(－x+2 025)，所以函数f(x)图象关于x=2 025对称.故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 2.函数f(x)=ex－2－e2－x的图象关于 A．点(－2，0)对称 B．直线x=－2对称 C．点(2，0)对称 D．直线x=2对称 √ 因为f(x)=ex－2－e2－x，所以f=e2+x－2－e2－(2+x)=ex－e－x，f=e2－x－2－e2－(2－x) =e－x－ex，所以f(2+x)+f(2－x)=0，所以函数f(x)的图象关于点(2，0)对称.故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 3.已知函数f(x)=x3+ax2+x+b的图象关于点(1，0)对称，则b等于 A．－3 B．－1 C．1 D．3 √ 因为f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以f(x)+f(2－x)=0，又f(2－x)=(2－x)3 +a(2－x)2+(2－x)+b=－x3+(a+6)x2－(4a+13)x+10+4a+b，所以f(x)+f(2－x) =(2a+6)x2－(4a+12)x+10+4a+2b=0，所以解得a=－3，b=1.故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 4.(2024·江苏淮安模拟)定义在R上的函数y=f(x)在区间(－∞，2)上是增函数，且函数y=f(x+2)的图象关于直线x=1对称，则 A．f(1)<f(5) B．f(1)>f(5) C．f(1)=f(5) D．f(0)=f(5) √ 因为y=f(x+2)的图象关于直线x=1对称，所以f(－x+2) =f(2+x+2)=f(4+x)，所以y=f(x)的图象关于直线x=3对称，故f(1)=f(5).故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 5.(2024·广东顺德模拟)已知函数y=f(x)是定义在R上的函数，那么函数y= －f(x+4)的图象与函数y=f(6－x)的图象之间 A．关于点(1，0)对称 B．关于直线x=1对称 C．关于点(5，0)对称 D．关于直线x=5对称 √ 设P(m，n)是y=－f(x+4)图象上的任意一点，则n=－f(m+4)，作等量变换n=－f[6－(2－m)]，即－n=f[6－(2－m)]，则点P'(2－m，－n)在y=f(6－x)的图象上，因为P(m，n)，P'(2－m，－n)关于点(1，0)对称，所以函数y=－f(x+4)的图象与函数y=f(6－x)的图象之间关于点(1，0)对称.故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 6.已知函数f(x+2)是R上的偶函数，且f(x)在[2，+∞)上恒有<0 ，则不等式f(ln x)>f(1)的解集为 A．(－∞，e)∪(e3，+∞) B．(1，e2) C．(e，e3) D．(e，+∞) √ 因为函数f(x+2)是R上的偶函数，所以f(x)的图象关于直线x=2对称，因为f(x)在[2，+∞)上恒有<0，所以f(x)在[2，+∞)上单调递减，f(x)在(－∞，2)上单调递增，不等式f(ln x)>f(1)需满足|ln x－2| <|1－2|⇒1<ln x<3，解得e<x<e3.故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 7.(多选)若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，则下列说法正确的是 A．f(x)=f(－x) B．f(2+x)+f(2－x)=0 C．f(3)=f(5) D．f(x+2)=f(x－2) √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 因为f(x)为偶函数，则f(x)=f(－x)，故A正确；因为f(x)的图象关于点(2，0)对称，对于f(x)的图象上的点(x，y)关于点(2，0)的对称点(4－x，－y)也在函数图象上，即f(4－x)=－y=－f(x)，用2+x替换x得到，f[4－(2+x)]=－f(2+x)，即f(2+x)+f(2－x)=0，故B正确；由f(2+x)+f(2－x)=0，令x=1，则f(3)=－f(1)，令x=3，则f(5)=－f(－1)=－f(1)，则f(3)=f(5)，故C正确；由B知，f(2+x)=－f(2－x)=－f(x－2)，故D错误.故选ABC． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 8.(多选)已知f(x)是定义在R上的函数，函数f(x－2)的图象关于y轴对称，函数f(x－1)的图象关于原点对称，则下列说法正确的是 A．f(－2)=0 B．对∀x∈R，f(x)=f(x+4)恒成立 C．函数f(x)关于点(－1，0)中心对称 D．f(2 023)=0 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 因为函数f(x－2)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)的图象关于直线x= －2对称，所以f(x－2)=f(－x－2)，则f(x)=f(－x－4)，因为函数f(x－1)的图象关于原点对称，所以函数f(x)的图象关于点(－1，0)中心对称， f(－1)=0，所以f(x－1)=－f(－x－1)，则f(x)=－f(－x－2)，故C正确；因为f(x)=f(－x－4)=－f(－x－2)，所以f(x－4)=－f(x－2)，故f(x)=f(x+4)，故B正确；f(2 023)=f(506×4－1)=f(－1)=0，故D正确；没有条件能确定f(－2)=0，故A错误.故选BCD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 9.(多选)(2024·湖北襄阳模拟)已知函数f(x)定义域为R，f(x+2)为偶函数，f(－3x+1)为奇函数，则下列一定成立的是 A．f(2)=0 B．f(1)=0 C．f(0)=0 D．f(－1)=0 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 因为f(x+2)为偶函数，所以f(x+2)=f(－x+2)，函数f(x)关于x=2对称，因为f(－3x+1)为奇函数，所以f(－3x+1)=－f(3x+1)，函数f(x)关于点(1，0)对称，因为函数f(x)定义域为R，所以f(1)=0，故B正确；又因为函数f(x)关于x=2对称，所以f(3)=0，由f(－3x+1)=－f(3x+1)可得令x=，f=－f(3)=0，故D正确；可构造函数f(x)=cos满足题意，此时f(2)=cos 0=1，f(0)=cos(－π)=－1，故AC错误.故选BD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 x=1 012 10.函数f=+2 025的图象的对称轴方程为__________.  因为f=+2 025=2|x－1 012|+2 025，所以f= 2|2 024－x－1 012|+2 025=2+2 025=f(x)，所以其图象的对称轴方程为x=1 012. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(4－x)+f(x)=2，若f(x)的图象关于直线x=4对称，则f(－2)=______.  1 因为f(4－x)+f(x)=2，令x=2，所以f(4－2)+f(2)=2f(2)=2，所以f(2)=1，又f(x)的图象关于直线x=4对称，所以f(6)=f(2)=1，令x=－2，则f[4－ (－2)]+f(－2)=2⇒f(6)+f(－2)=2，即1+f(－2)=2，所以f(－2)=2－1=1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 12.已知函数f(x)满足f(x+2)是偶函数，若函数y=|x2－4x－5|与函数y=f(x)图象的交点为(x1，y1)，，…，，则横坐标之和x1+x2+…+xn=________.  2n 因为f(x+2)是偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称，因为y=|x2－4x－5|=|(x－2)2－9|，所以函数y=|x2－4x－5|的图象也关于直线x=2对称，所以x1+x2+…+xn=·4=2n. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 13.(多选)设函数f(x)的定义域为R，若f(x+2)，f(x－2)都为奇函数，则下面结论成立的是 A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数 C．f(x)=f(x+8) D．f(x+6)为奇函数 √ √ 因为f(x+2)，f(x－2)都为奇函数，即f(x)的图象关于(－2，0)和(2，0)对称，所以f(－x)+f(4+x)=0，f(－x)+f(－4+x)=0，所以f(－4+x)=f(4+x)，所以f(x)=f(8+x)，因为f(x－2)=－f(－x－2)，所以f(x－2+8)=－f(－x －2+8)，即f(x+6)=－f(－x+6)，所以f(x+6)为奇函数.故选CD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 14.(多选)(2025·海南海口模拟)已知函数 f的定义域为R，其图象关于中心对称，若 =2－x，则 A．=1 B．f+f=4 C．y=f－2为奇函数 D．y=f+2x为偶函数 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 对于A，f的定义域为R，其图象关于中心对称，故f+f=4，故=1，故A正确；对于B，由题意得f+f=4，又=2－x，故=2－x，令x=4得=2－4，即f+f=－8+4=－4，故B错误；对于C，由题意得f+f=4，即f－2=－[f(x+1)－2]，令g=f－2，则g=－g，所以y=f－2为奇函数，故C正确；对于D，因为=2－x，所以=2－x－2=－x，即f(x+2)－f=－4x，故f+2x=f－2x，令h=f+2x，则h=h，故y=f+2x为偶函数，故D正确.故选ACD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 15.(2024·山东德州模拟)已知函数f(x)=若y=f(x)图象上存在关于原点对称的点，则实数a的取值范围是 A．[－1，+∞) B．(－1，+∞) C．[1，+∞) D．(1，+∞) √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 y=x3－x2关于原点对称的函数为－y=－x3－x2，即y=x3+x2， 若函数f(x)图象上存在关于原点对称的点，则y=x2+1－a与 y=x3+x2在(－∞，0)上有交点，所以方程x2+1－a=x3+x2在 (－∞，0)上有实数根，即1－a=x3在(－∞，0)上有实数根， 即y=1－a与g(x)=x3的图象在(－∞，0)有交点，g'(x)=3x2>0， 所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，所以g(x)<g(0)=0，所以1－a<0，所以a>1.故选D． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 16.(多选)(2024·江西南昌模拟)若函数f(x)的定义域为R，且f(2x+1)为偶函数，f(2x－1)的图象关于点成中心对称，当x∈[1，2]时，f(x)=log2x，则下列说法正确的是 A．f(2 023)=2 B．函数f(x)的值域为[0，2] C．直线y=1与函数f(x)的图象在区间[0，8]上有4个交点 D．f(1)+f(2)+f(3)+…+f=19 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 f(x)的定义域为R，由f(2x+1)为偶函数，得f(－2x+1)=f(2x+1)，令2x等价于x，所以f(－x+1)=f(x+1)，即f(－x－1)=f(x+3)，所以f(x)关于x=1对称，由f(2x－1)的图象关于成中心对称，得f[2(－x)－1]+f[2(x+3)－1]=2，于是f(－2x－1)+f(2x+5)=2，令2x等价于x，所以f(－x－1)+f(x+5)=2，所以f(x)关于(2，1)对称，则f(x+3)+f(x+5)=2，因此f(x+1)+f(x+3)=2，所以f(x+1)=f(x+5)，所以f(x)=f(x+4)，则f(x)是周期为4的周期函数，当x∈[1，2]时，f(x)=log2x，f(2 023) =f(3)=2－f(1)=2－log21=2，故A正确；f(x)在x∈[0，4]的图象如图所示， 故B正确； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 直线y=1与函数f(x)的图象在区间[0，8]上有5个交点，故C不正确；当x∈[1，2]时，f(x)=log2x，可得f(1)=log21=0，f(2)=log22=1，f(3)=2－f(1)=2－0=2，f(4)=f(0)=f(2)=1，即f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4，因此f(1)+f(2) +…+f=4[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)+f(3)=16+3=19，故D正确.故选ABD． 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 函数的对称性 $