第二章 2 第二节 函数的单调性与最值（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（湘教版）

该高中数学高考复习课件聚焦函数单调性与最值核心考点，依据课程标准要求，对接高考评价体系，梳理了单调性定义、单调区间、最值求解及应用等考查维度。通过分析近五年真题，明确单调性判断、参数范围求解等高频考点权重，归纳复合函数、分段函数等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题引领+规律总结+素养提升”，精选2023北京卷、2024新课标Ⅰ卷等真题，通过定义法证明单调性的“取值作差变形定号判断”五步流程，复合函数“同增异减”法则等技巧指导，培养学生数学思维与逻辑推理能力。设易错点警示（如单调区间不用“∪”连接），助力学生高效得分，为教师提供精准复习教学方案。

第二节　函数的单调性与最值 高三一轮复习讲义　湘教版 第二章　函数与基本初等函数 课程标准 1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.　 2.掌握函数单调性的简单应用. 04 03 考教衔接　精研教材 课时测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.函数单调性的定义 (1)单调函数的定义 条件 设D是函数f(x)的定义域，I是D的一个非空的子集.如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时 都有___________ 都有_____________ 结论 就称f(x)是区间I上的_______ 就称f(x)是区间I上的_______ 图示 f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 增函数 减函数 微提醒　(1)求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域.(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.(3)“函数的单调区间为M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M. (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间I上是_______或_______，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，_______叫作y=f(x)的单调区间. 增函数 减函数 区间I 2.函数的最大(小)值 前提 设D是函数y=f(x)的定义域，如果有a∈D， 条件 (1)∀x∈D，都有__________； (2)∃a∈D，使得________ (1)∀x∈D，都有___________； (2)∃a∈D，使得________ 结论 称M是函数f(x)的最____值，a为f(x)的最大值点 称M是函数f(x)的最____值，a为f(x)的最小值点 f(x)≤f(a) M=f(a) f(x)≥f(a) M=f(a) 大 小 常用结论 (1)函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈I(x1≠x2)，则 ①>0(或(x1－x2)[f(x1)－f]>0)⇔f(x)在I上单调递增. ②<0(或(x1－x2)[f(x1)－f]<0)⇔f(x)在I上单调递减. (2)若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质 ①当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)+g(x)是增(减)函数. ②若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反. ③函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=－f(x)，y=的单调性相反. ④复合函数y=f(g(x))的单调性与y=f(u)和u=g(x)的单调性有关.简记为：“同增异减”. 自主检测 1.(多选)下列结论错误的是 A．因为f(x)在[－3，2]上是增函数，则f(－3)<f(2) B．函数f(x)在(－2，3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－2，3) C．若函数f(x)在区间(1，2]和(2，3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1，3)上为增函数 D．函数y=的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，+∞) √ √ √ 2.(多选)下列函数中，在区间(0，+∞)上单调递减的是 A．y=－x B．y=x2－x C．y=－x2－2x D．y=ex √ √ 3.(用结论)设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是 A．y=在R上为减函数 B．y=|f(x)|在R上为增函数 C．y=－在R上为增函数 D．y=－f(x)在R上为减函数 √ 返回 4.函数f(x)=在区间[1，5]上的最大值为_____，最小值为_____.  5.已知函数f(x)=x2－2kx+4在[5，20]上单调，则实数k的取值范围是____________________.  3　 (－∞，5]∪[20，+∞) 考点探究　提升能力 返回 考点一　确定函数的单调性 多维探究 由x2－2x－8>0，得f(x)的定义域为{x|x>4或x<－2}.设t=x2－2x－8，则y=ln t为增函数.要求函数f(x)的增区间，即求函数t=x2－2x－8的增区间(定义域内).因为函数t=x2－2x－8在(4，+∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，所以函数f(x)的增区间为(4，+∞).故选D． 角度1　求函数的单调区间 1.函数f(x)=ln(x2－2x－8)的增区间是 A．(－∞，－2) B．(－∞，1) C．(1，+∞) D．(4，+∞) √ 2.函数y=|－x2+2x+1|的增区间是____________________________.  作出函数的图象如图所示，由图象知，其增区间是. 求函数的单调区间的方法 1.图象法：如果f(x)是以图象给出的，或者f(x)的图象易作出，可由函数图象直观地写出它的单调区间. 2.复合函数法： (1)求函数的定义域. (2)求简单函数的单调区间. (3)求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”. 规律方法 角度2　利用定义证明函数的单调性 (1)(2023·北京卷)下列函数中，在区间(0，+∞)上单调递增的是 A．f(x)=－ln x B．f(x)= C．f(x)=－ D．f(x)=3|x－1| √ 典例1 对于A，因为y=ln x在上单调递增，所以f=－ln x在上单调递减，故A错误；对于B，因为y=2x在上单调递增，所以f=上单调递减，故B错误；对于C，因为y=上单调递减，所以f=－上单调递增，故C正确；对于D，因为f===，f==30=1，f　==3，显然f=上不单调，故D错误.故选C． (2)试讨论函数f(x)=(a≠0)在(－1，1)上的单调性. 解：设－1<x1<x2<1， f(x)=a=a， f(x1)－f(x2)=a－a=， 由于－1<x1<x2<1， 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递增. 定义法证明或判断函数单调性的步骤 注意：判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等. 规律方法 对点练1.(1)(多选)在下列函数中，满足对任意x1，x2∈<0的是 A．f(x)=－2(x－1)2－2 B．f(x)=3x+5 C．f(x)=1+ D．f(x)=|x－4| √ √ 由题意可知，函数f(x)在(1，+∞)上单调递减.对于A，f(x)=－2(x－1)2－2，其图象开口向下，对称轴为直线x=1，故f(x)在(1，+∞)上单调递减，满足题意；对于B，f(x)=3x+5为一次函数，且k=3>0，故f(x)在(1，+∞)上单调递增，不满足题意；对于C，f(x)=1+在(1，+∞)上单调递减，满足题意；对于D，f(x)=|x－4|=显然f(x)在(1，4)上单调递减，在[4，+∞)上单调递增，不满足题意.故选AC． (2)函数f(x)=的增区间是___________.  (－1，1) 当x≠0时，f(x)=，因为y=x+在(－1，0)，(0，1)上单调递减，所以f(x)在(－1，1)上单调递增，即f(x)的增区间是(－1，1). 对点练2.设f(x)是定义在R上的函数，∀m，n∈R，f(m+n)=f(m)·f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且当x>0时，0<f(x)<1.求证： (1)f(0)=1； 证明：根据题意，令m=0，可得f(0+n)=f(0)·f(n). 因为f(n)≠0，所以f(0)=1. (2)x∈R时，恒有f(x)>0； 证明：由题意知x>0时，0<f(x)<1； 当x=0时，f(0)=1>0； 当x<0时，－x>0，所以0<f(－x)<1. 因为f(x+(－x))=f(x)·f(－x)，所以f(x)·f(－x)=1，所以f(x)=>0. 故x∈R时，恒有f(x)>0. (3)f(x)在R上是减函数. 证明：任取x1，x2∈R，且x1<x2， 则f(x2)=f(x1+(x2－x1))， 所以f(x2)－f(x1)=f(x1+(x2－x1))－f(x1)=f(x1)·f(x2－x1)－f(x1)=f(x1)[f(x2－x1) －1]. 由(2)知f(x1)>0， 又x2－x1>0，所以0<f(x2－x1)<1， 故f(x2)－f(x1)<0，故f(x)在R上是减函数. 考点二　求函数的最值 师生共研 (1)函数f(x)=－log2在区间[－2，2]上的最大值为____.  8　 因为函数y=，y=－log2(x+4)在区间[－2，2]上都单调递减，所以函数f(x)=－log2在区间[－2，2]上单调递减，所以函数f(x)的最大值为f=－log2=9－1=8. 典例2 (2)对于任意实数a，b，定义min=设函数f(x)=－x+3，g(x)=log2x，则函数h(x)=min{f(x)，g(x)}的最大值是________.  1 法一：在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象， 依题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分. 易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)=1. 法二：依题意h(x)= 当0<x≤2时，h(x)=log2x是增函数； 当x>2时，h(x)=3－x是减函数， 因此h(x)在x=2时取得最大值h(2)=1. 求函数最值的三种常用方法 规律方法 对点练3.(1)函数y=x+的最小值为________.  1 法一：(换元法)令t=，且t≥0，则x=t2+1，所以原函数变为y=t2+1+t，t≥0，配方得y=+.又因为t≥0，所以y≥+=1，故函数y=x+的最小值为1. 法二：(单调性法)由题易得x－1≥0，即x≥1.因为函数y=x和y=在定义域内均为增函数，故函数y=x+在[1，+∞)上为增函数，所以ymin=1. 　 (2)设f(x)=则f(x)的最小值为_________.  2－3 当x≥1时，f(x)=x+－3在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)在x=时取得最小值，即f(x)min=2－3；当x<1时，f(x)=x2+1在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，所以f(x)在x=0时取得最小值，即f(x)min=1.综上，f(x)的最小值为2－3. 考点三　函数单调性的应用 多维探究 典例3 角度1　比较函数值的大小 (2023·全国甲卷)已知函数f(x)=.记a=f，b=f，c=f，则 A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b √ 令g(x)=－(x－1)2，则g(x)开口向下，对称轴为x=1，因为－1－=－，而(+)2－42=9+6－16=6－7>0，所以－1－=－>0，即－1>1－，由二次函数的性质知g<g，因为－1－=－，而(+)2－42　=8+4－16=4－8=4(－2)<0，即－1<1－，所以g>g，综上，g<g<g，又y=ex为增函数，故a<c<b，即b>c>a.故选A． 利用单调性比较函数值大小的方法 比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，或采用插值法比较大小. 规律方法 典例4 角度2　利用单调性解不等式 已知函数f(x)=ln x+2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是______________________.  因为函数f(x)=ln x+2x在定义域(0，+∞)上单调递增，且f(1)=ln 1+2=2，所以由f(x2－4)<2，得f(x2－4)<f(1)，所以0<x2－4<1，解得－<x<－2或2<x<. (－，－2)∪(2，) 利用单调性解不等式应注意四点 1.准确判断函数的单调性. 2.不等式的一边没有“f”而是常数时应将其化为函数值f(x0)的形式. 3.注意利用函数性质(奇偶性、对称性)对函数值进行转化. 4.勿忘定义域对变量的限制. 规律方法 典例5 角度3　求参数的取值(范围) (1)(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)=2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是 A．(－∞，－2] B．[－2，0) C．(0，2] D．[2，+∞) √ 函数y=2x在R上单调递增，而函数f(x)=2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则有函数y=x(x－a)=－在区间(0，1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，+∞).故选D． (2)已知函数f(x)=是R上的增函数，则实数a的取值范围是 A． B． C．(0，1) D．(0，1] √ 因为函数f(x)=是定义在R上的增函数，所以解得0<a≤，所以实数a的取值范围为.故选B． 利用函数的单调性求参数的方法 1.根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解. 2.对于分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值. 规律方法 对点练4.若函数f(x)=在(a，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________.  [1，2) f(x)===1+，因为f(x)在(a，+∞)上单调递增，所以⇒1≤a<2. 返回 考教衔接　精研教材 返回 真题再现 (2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=在R上单调递增，则实数a的取值范围是 A．(－∞，0] B．[－1，0] C．[－1，1] D．[0，+∞) √ 因为f在R上单调递增，且x≥0时，f(x)=ex+ln单调递增，则需满足解得－1≤a≤0，即实数a的范围是[－1，0].故选B． 返回 教材呈现 (湘教版必修一P92T16)若函数f(x)=2x+在区间(0，2]上是减函数，求实数m的取值范围. 点评：该高考题主要考查已知函数的单调性求参数，与教材习题角度相同，只不过将函数换为分段函数，源于教材而高于教材. 课 时 测 评 返回 1.下列函数在区间(0，1)上为单调递增函数的是 A．y=－x3+1 B．y=cos x C．y=lox D．y=x－ √ y=－x3+1，y=cos x，y=lox在(0，1)上都为单调递减函数，y=x－在(0，1)上为单调递增函数.故选D． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 2.函数f(x)=在 A．(－∞，1)∪(1，+∞)上是增函数 B．(－∞，1)∪(1，+∞)上是减函数 C．(－∞，1)和(1，+∞)上是增函数 D．(－∞，1)和(1，+∞)上是减函数 √ 函数f(x)的定义域为{x|x≠1}.f(x)==－1，根据函数y=－的单调性及有关性质，可知f(x)在(－∞，1)和(1，+∞)上是增函数.故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 3.若函数f(x)=，则f(x)的值域为 A．(－∞，3] B．(2，3) C．(2，3] D．[3，+∞) √ f(x)==2+，因为x2≥0，所以x2+1≥1，所以0<≤1，所以f(x)∈(2，3].故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 4.(2024·安徽阜阳模拟)已知函数f(x)=若a=50.01，b=log32，c=log20.9，则有 A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(a)>f(c) C．f(a)>f(c)>f(b) D．f(c)>f(a)>f(b) √ 因为y=ex是增函数，y=e－x是减函数，所以f(x)=ex－e－x在(0，+∞)上单调递增，且f(x)>0.又f(x)=－x2在(－∞，0]上单调递增，且f(x)≤0，所以f(x)在R上单调递增.又c=log20.9<0，0<b=log32<1，a=50.01>1，即a>b>c，所以f(a)>f(b)>f(c).故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 5.(多选)已知函数f(x)=x－，下列说法正确的是 A．当a>0时，f(x)在定义域上单调递增 B．当a=－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，+∞) C．当a=－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，+∞) D．当a>0时，f(x)的值域为R √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 当a>0时，f(x)=x－，定义域为(－∞，0)∪(0，+∞).因为f(x)在(－∞，0)，(0，+∞)上单调递增，故A错误；又当x→－∞时，f(x)→－∞，当x→0－时，f(x)→+∞，所以f(x)的值域为R，故D正确；当a=－4时，f(x)=x+，由其图象(图略)可知，B、C正确.故选BCD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 6.(多选)已知函数f(x)=则下列结论正确的是 A．f(x)在R上为增函数 B．f(e)>f(2) C．若f(x)在(a，a+1)上单调递增，则a≤－1或a≥0 D．当x∈[－1，1]时，f(x)的值域为[1，2] √ √ 易知f(x)在(－∞，0]，(0，+∞)上单调递增，故A错误，B正确；若f(x)在(a，a+1)上单调递增，则a≥0或a+1≤0，即a≥0或a≤－1，故C正确；当x∈[－1，0]时，f(x)∈[1，2]，当x∈(0，1]时，f(x)∈(－∞，2]，故x∈[－1，1]时，f(x)∈(－∞，2]，故D错误.故选BC． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 7.函数y=－x2+2|x|+1的单调递增区间为___________________，单调递减区间为____________________.  (－∞，－1]和[0，1]　 (－1，0)和(1，+∞) 由于y=即y= 画出函数的图象如图所示， 所以单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为(－1，0)和(1，+∞). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 8.已知函数f(x)=在区间[－1，a－2]上单调递增，则实数a的取值范围为__________.  (1，2] 由分段函数解析式知：f(x)在[－2，0]上单调递增，由f(x)在[－1，a－2]上单调递增，得－1<a－2≤0，即a∈(1，2]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 9.(新设问)已知命题p：“若f(x)<f(4)对任意的x∈(0，4)都成立，则f(x)在(0，4)上单调递增”.能说明命题p为假命题的一个函数是_____________ ______________________________________________________________.  由题意知，f(x)=(x－1)2，x∈(0，4)，则函数f(x)的图象在(0，4)上先单调递减再单调递增，当x=1时，函数值最小，且f(x)<f(4)，满足题意，所以函数f(x)=(x－1)2，x∈(0，4)可以说明命题p为假命题. f(x)=(x－1)2， x∈(0，4)(答案不唯一，如f(x)=只要满足题意即可) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 10.(13分)已知函数f(x)=x|x－4|. (1)把f(x)写成分段函数，并在直角坐标系内画出函数f(x)的大致图象；(6分) 解：f(x)=x|x－4|=函数图象如图所示. (2)写出函数f(x)的单调递减区间.(7分) 解：由(1)中函数的图象可知，函数f(x)的单调递减区间为(2，4). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 11.(14分)已知f(x)=. (1)若a=－2，试证明：f(x)在(－∞，－2)上单调递增；(5分) 证明：当a=－2时，f(x)=. 任取x1，x2∈(－∞，－2)，且x1<x2， 则f－f=－=. 因为(x1+2)(x2+2)>0，x1－x2<0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 (2)若a>0，且f(x)在(1，+∞)上单调递减，求实数a的取值范围.(9分) 解：任取x1，x2∈(1，+∞)，且x1<x2， 则f－f=－=. 因为a>0，x2－x1>0， 所以要使f(x1)－f(x2)>0， 只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立， 所以a≤1. 综上所述，实数a的取值范围是(0，1]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 12.已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有> －1，则下列说法正确的是 A．y=f(x)+x是增函数 B．y=f(x)+x是减函数 C．y=f(x)是增函数 D．y=f(x)是减函数 √ 不妨令x1<x2，所以x1－x2<0，因为>－1⇔f－f<－(x1－x2)⇔f+x1<f+x2，令g(x)=f(x)+x，所以g(x1)<g(x2)，又x1<x2，所以g(x)=f(x)+x是增函数.故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 13.设函数f(x)=若函数f(x)在区间(a，a+1)上单调递增，则实数a的取值范围是____________________.  (－∞，1]∪[4，+∞) 函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a+1)上单调递增，需满足a≥4或a+1≤2，即a≤1或a≥4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 14.(2024·安徽安庆模拟)设a∈R，函数f(x)=若f(x)的最小值为f(1)，则实数a的取值范围为 A．[1，2] B．[1，3] C．[0，2] D．[2，3] √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 当x>1时，x2+－3a=x2++－3a≥3－3a=12－3a，当且仅当x2=，即x=2时等号成立；当x≤1时，f(x)=x2－2ax+9=(x－a)2+9－a2，要使得函数f(x)的最小值为f(1)，则解得1≤a≤2，即实数a的取值范围是[1，2].故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 15.(新定义)(多选)对于定义域为D的函数y=f(x)，若同时满足下列条件：①f(x)在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]，那么把y=f(x)(x∈D)称为闭函数，下列结论正确的是 A．函数y=x2+1是闭函数 B．函数y=－x3是闭函数 C．函数f(x)=是闭函数 D．k=－2时，函数y=k+是闭函数 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 对于A，因为y=x2+1在定义域内不是单调函数，所以函数y=x2+1不是闭函数，故A错误；对于B，函数y=－x3在定义域内是减函数，设[a，b]⊆R，则所以存在区间[－1，1]，使得y=－x3在[－1，1]上的值域为[－1，1]，所以函数y=－x3是闭函数，故B正确；对于C，y==1－在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，+∞)上单调递增，但在定义域上不单调，所以函数f(x)=不是闭函数，故C错误； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 对于D，y=－2+的定义域为[－2，+∞)，并且在[－2，+∞)上为增函数，若y=－2+是闭函数，则存在区间[a，b]，使函数的值域为[a，b]，即所以a，b是方程x=－2+的两个不相等的实根，整理方程得x2+3x+2=0，解得x=－2或x=－1，所以存在区间[－2，－1]⊆[－2，+∞)，使得函数y=－2+的值域为[－2，－1]，所以函数y=－2+是闭函数，故D正确.故选BD． 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 函数的单调性与最值 $