第二章 11 第八节 函数的图象（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（湘教版）

该高中数学高考复习资料聚焦函数图象核心考点，涵盖作图方法、变换规律、对称性及应用等高考必备内容，按“基础梳理-考点突破-真题应用”逻辑组织知识，通过自主检测、方法指导、师生共研等环节帮助学生构建知识网络，突破图象识别与性质应用难点。 资料以“数学眼光”整合图象变换与对称性结论，通过“微提醒”辨析平移规律，“常用结论”系统归纳对称关系，培养学生几何直观与逻辑推理能力。设计分层练习与真题对比（如2024新课标Ⅰ卷与教材例题关联），助力教师精准把控复习节奏，提升学生快速解题与知识迁移能力。

第八节　函数的图象 【课程标准】　1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.　2.会运用函数图象理解和研究函数的性质. 1.描点法作图的流程 2.函数图象的四种变换 [微提醒]　函数图象的左右变换都针对自变量“x”而言，如从f(-2x)的图象到f(-2x+1)的图象是向右平移个单位长度，其中是把x变成x-. 【常用结论】 (1)函数图象自身的轴对称 ①f(-x)=f(x)⇔函数y=f(x)的图象关于y轴对称. ②函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(-x)=f(2a+x). ③若函数y=f(x)的定义域为R，且有f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=对称. (2)两个函数图象之间的对称关系 ①函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线x=对称(由a+x=b-x得对称轴方程). ②函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称. ③函数y=f(x)与y=2b-f(-x)的图象关于点(0，b)对称. ④函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a，b)对称. 【自主检测】 1.(多选)下列结论错误的是(　　) A．函数y=f(1-x)的图象，可由y=f(-x)的图象向左平移1个单位得到 B．当x∈(0，+∞)时，函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同 C．函数y=f(x)的图象关于y轴对称即函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称 D．若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称 答案：ABC 2.下列图象是函数y=的图象的是(　　) 答案：C 学生用书⬇第46页 3.在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是(　　) 答案：B 4.函数y=f(x)的图象与y=ex的图象关于y轴对称，再把y=f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y=g(x)的图象，则g(x)=　　　　.  答案：e-x+1 5.(用结论)已知y=f(x)，x∈R，有下列4个命题： ①若f(1+2x)=f(1-2x)，则f(x)的图象关于直线x=1对称； ②y=f(x-2)与y=f(2-x)的图象关于直线x=2对称； ③若f(x)为偶函数，且f(2+x)=-f(x)，则f(x)的图象关于直线x=2对称； ④若f(x)为奇函数，且f(x)=f(-x-2)，则f(x)的图象关于直线x=1对称. 其中正确的命题为　　　　.(填序号)  答案：①②③④ 解析：由结论(1)知①正确；由结论(2)知②正确；对于③，因为f(2+x)=-f(x)，所以f(4+x)=f(x)=f(-x)，所以f(x)的图象关于直线x=2对称，③正确；对于④，因为f(x)为奇函数，可得f(x+2)=-f(-x-2)=-f(x)=f(-x)，所以f(x)的图象关于直线x=1对称，④正确. 考点一　作函数的图象自主练透 作出下列各函数的图象： (1)y=|log2(x+1)|； (2)y=； (3)y=x2-2|x|-1. 解：(1)将函数y=log2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象，如图①所示. (2)原函数解析式可化为y=2+，故函数图象可由函数y=的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图②所示. (3)因为y=且函数为偶函数，先用描点法作出[0，+∞)上的图象，再根据对称性作出(-∞，0)上的图象，最后得函数图象如图③所示. 函数图象的画法 1.直接法 当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象. 2.转化法 含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象. 3.图象变换法 若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 注意：画函数的图象一定要注意定义域. 考点二　函数图象的识别师生共研 (1)(2024·全国甲卷)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sin x在区间[-2.8，2.8]的图象大致为(　　) 学生用书⬇第47页 (2)(2023·天津卷)函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)= B．f(x)= C．f(x)= D．f(x)= 答案：(1)B　(2)D 解析：(1)f=-x2+sin=-x2+sin x=f，又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A，C，又f(1)=-1+sin 1>-1+sin=-1->->0，故可排除D．故选B． (2)由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且f(-2)=f(2)<0，由=-且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；当x>0时>0，>0，即A，C中(0，+∞)上函数值为正，排除.故选D． 1.由函数解析式确定函数图象的两个关键点 (1)利用函数的解析式，判断函数的奇偶性，再根据奇偶函数图象的对称性，排除不合适的选项. (2)利用特值法，根据函数在某区间上的函数值的符号或极限思想，对不适合的选项进行排除. 2.由函数图象判断其解析式的关键 会观图，从图象的左右位置，判断函数的定义域；从图象的上下位置，判断函数的值域；从图象的变化趋势，判断函数的单调性；从图象的对称性，判断函数的奇偶性.从而把不合适的解析式排除. 对点练1.(2025·河北保定二模)函数f(x)=·cos 2x的部分图象大致为(　　) 答案：A 解析：设g=，则g===-g，所以g为奇函数，设h=cos 2x，可知h为偶函数，所以f=cos 2x为奇函数，故B、C错误，易知f=0，故A正确，D错误.故选A． 对点练2.(2025·安徽马鞍山三模)已知函数y=f(x)的大致图象如图所示，则y=f(x)的解析式可能为 (　　) A．f(x)= B．f(x)= C．f(x)= D．f(x)= 答案：D 解析：对于A，因为f(1)=>0，与图象不符，故A错误；对于B，因为f(1)=>0，与图象不符，故B错误；对于C，因为f(1)=>0，与图象不符，故C错误；对于D，f(0)=0，f(-x)=-f(x)，x→+∞时，f(x)→0，符合图象.故选D． 考点三　函数图象的应用多维探究 角度1　研究函数的性质 (多选)(2025·四川成都模拟)对任意两个实数a，b，定义min=若f(x)=2-x2，g(x)=x2，F(x)=min{f(x)，g(x)}，则(　　) A．F(x)是偶函数 B．方程F(x)=0有三个解 C．F(x)在区间[-1，1]上单调递增 D．F(x)有4个单调区间 答案：ABD 解析：根据函数f(x)=2-x2与g(x)=x2，画出函数F(x)=min{f(x)，g(x)}的图象，如图，由图象可知，函数F(x)=min{f(x)，g(x)}的图象关于y轴对称，故A正确；函数F(x)的图象与x轴有三个交点，所以方程F(x)=0有三个解，故B正确；函数F(x)在(-∞，-1]上单调递增，在(-1，0)上单调递减，在[0，1]上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，故C错误，D正确.故选ABD． 根据函数的图象研究函数性质的方法 1.观察函数图象是否连续，左右范围以及最高点和最低点，确定定义域、值域. 2.观察函数图象是否关于原点或y轴对称，确定函数的奇偶性. 3.根据函数图象上升和下降的情况，确定单调性. 角度2　解不等式 已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，+∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为 (　　) 学生用书⬇第48页 A．∪ B．(-∞，-2)∪(2，+∞) C．∪∪ D．∪∪ 答案：C 解析：根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(-∞，0)上的图象，如图所示， 由x2f(x)>2f(x)，得(x2-2)f(x)>0， 则或解得x<-2或<x<2或-<x<0，故不等式的解集为∪∪.故选C． 利用函数图象研究不等式问题的方法 当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式问题转化为两函数图象(图象易得)的上、下关系问题，利用图象法求解.若函数为抽象函数，可根据题目画出大致图象，再结合图象求解. 角度3　求参数的范围 (2024·北京昌平二模)已知函数f=若对任意的x都有≥ax恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：因为f=令g(x)=，作出g(x)的图象，如图所示，令h(x)=ax，由图知，要使对任意的x都有≥ax恒成立，则必有a≤0，当x≤0时，y1=x2-4x，由消y得到x2-(4+a)x=0，由Δ=0，得到(4+a)2=0，即a=-4，由图可知-4≤a≤0.故选B． 　　利用函数图象解决参数的取值范围问题时，一般先准确地作出函数图象，再利用函数图象的直观性，结合其性质，求解参数的取值范围. 对点练3.已知函数f(x)=2x-x-1，则不等式f(x)>0的解集是(　　) A．(-1，1) B．(-∞，-1)∪(1，+∞) C．(0，1) D．(-∞，0)∪(1，+∞) 答案：D 解析：不等式f(x)>0等价于不等式2x>x+1，作出函数y=2x和函数y=x+1的图象，如图所示，易知两个函数图象的交点坐标为(0，1)和(1，2)，观察函数图象可知，当x<0或x>1时，函数y=2x的图象在函数y=x+1图象的上方，此时2x>x+1，故不等式f(x)>0的解集为(-∞，0)∪(1，+∞).故选D． 对点练4.(多选)(2024·江苏南通模拟)某同学在研究函数f(x)=时，给出了下面几个结论，其中正确的是(　　) A．f(x)的图象关于点(-1，1)对称 B．f(x)是单调函数 C．f(x)的值域为(-1，1) D．函数g(x)=f(x)-x有且只有一个零点 答案：BCD 解析：作出y=f(x)的图象，如图所示，对于A，f(x)的图象关于(0，0)对称，不关于点(-1，1)对称，故A错误；对于B，f(x)是R上的增函数，故B正确；对于C，由图知，f(x)的值域为(-1，1)，故C正确；对于D，令g(x)=f(x)-x=0，得x=0，解得x=0，所以函数g(x)=f(x)-x有且只有一个零点，故D正确.故选BCD． 对点练5.设函数f(x)=|x2-2x|-ax-a，其中a>0，若只存在两个整数x，使得f(x)<0，则a的取值范围是　　　　.  答案： 解析：f(x)=|x2-2x|-ax-a<0，则|x2-2x|<ax+a，分别画出y=|x2-2x|与y=a(x+1)的图象，如图所示.因为只存在两个整数x，使得f(x)<0，所以当x=1时，|12-2|=1，令2a=1，解得a=，此时有2个整数使f(x)<0，即x=0或x=2，结合图象可得a的取值范围为. [真题再现]　(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 答案：C 解析：因为函数y=2sin的最小正周期T=，所以函数y=2sin在[0，2π]上的图象恰好是三个周期的图象，所以作出函数y=2sin与y=sin x在[0，2π]上的图象如图所示， 由图可知，这两个图象共有6个交点.故选C． [教材呈现]　 (湘教版必修一P190例3)作出函数y=3sin x在长度为一个周期的闭区间上的简图，并说明y=3sin x的图象是由函数y=sin x的图象经过怎样的变化而得到的. 点评：2024新课标Ⅰ卷高考题是典型的源于教材的题目，是教材例题的简单改编题，考查了数形结合的思想方法的应用. 学科网（北京）股份有限公司 $