第二章 5 培优课1 函数性质的综合应用（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（湘教版）

该高中数学讲义聚焦函数性质综合应用高考核心考点，系统整合奇偶性、单调性、周期性、对称性四大性质，按“性质组合”逻辑分题型构建知识网络。通过考点梳理（题型分类解析）、方法指导（解题技巧总结）、真题训练（模拟题与对点练结合）三环节，帮助学生突破综合应用难点，体现复习系统性与针对性。 资料采用题型化专题设计，创新运用构造函数法（如构造奇函数转化不等式）培养抽象能力，通过步骤化逻辑解析（如奇偶性判断→单调性分析→不等式求解）发展推理意识。分层对点练巩固核心方法，可快速提升学生解题效率，为教师把控复习节奏、落实核心素养提供实战支撑。

培优课1　函数性质的综合应用 题型一　函数的奇偶性与单调性 (2025·四川自贡模拟)已知函数f(x)=+3x+3，且f(a2)+f(3a-4)>6，则实数a的取值范围为(　　) A．(-4，1) B．(-3，2) C．(0，5) D．(-∞，-4)∪(1，+∞) 答案：D 解析：令g(x)=+3x，则有g(x)=f(x)-3，因为x∈R，g(x)+g(-x)=+3x+-3x=+=0，所以g(x)为奇函数，又因为g(x)=1-+3x，由复合函数的单调性知g(x)为R上的增函数，因为f(a2)+f(3a-4)>6，则f(a2)-3+f(3a-4)-3>0，所以g(a2)+g(3a-4)>0，g(a2)>-g(3a-4)=g(4-3a)，所以a2>4-3a，解得a<-4或a>1，故a∈(-∞，-4)∪(1，+∞).故选D． 综合应用函数奇偶性与单调性解题的技巧 1.比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小. 2.对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式求解. 对点练1.(2024·安徽安庆模拟)函数y=f(x)是偶函数且在(-∞，0]上单调递减，f(-2)=0，则f(2-3x)>0的解集为 (　　) A．∪ B． C． D．∪ 答案：D 解析：因为函数y=f(x)是偶函数且在(-∞，0]上单调递减，则该函数在[0，+∞)上单调递增，且f(2)=f(-2)=0，由f(2-3x)>0可得f(|3x-2|)>f(2)，所以|3x-2|>2，可得3x-2<-2或3x-2>2，解得x<0或x>.因此，不等式f(2-3x)>0的解集为(-∞，0)∪.故选D． 题型二　函数的奇偶性与周期性 (2024·沈阳质量监测(三))已知f(x)是定义在R上的函数，且f(2x-1)为偶函数，f(x-2)是奇函数，当x∈[0，1]时，f(x)=2x-1，则f(7)等于(　　) A．-1 B．- C． D．1 答案：A 解析：因为f(2x-1)为偶函数，所以f(-2x-1)=f(2x-1)，即f(x-1)=f(-x-1)， 所以f(x)=f(-x-2)，又f(x-2)是奇函数，所以f(-x-2)=-f(x-2)，即f(x)=-f(x-2)，所以f(x+2)=-f(x)，则f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，又当x∈时，f(x)=2x-1，所以f(1)=21-1=1，则f(-1)=-f(1)=-1，所以f(7)=f(-1)=-1.故选A． 学生用书⬇第29页 综合应用函数奇偶性与周期性解题的思路 1.根据已知条件及相关函数的奇偶性推得函数的周期. 2.利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值，直到自变量的值进入已知解析式的区间内或与已知的函数值相联系，必要时可再次运用奇偶性将自变量的符号进行转化. 3.代入已知的解析式求解即得要求的函数值. 对点练2.(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x-1)=-f，f(0)=-2，且f为奇函数，则 (　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数 C．f(x)是一个周期为3的周期函数 D．f(2 025)=-2 答案：BCD 解析：函数f(x)的定义域为R，且f(0)=-2，则f(x)不可能是奇函数，故A错误；定义在R上的函数f(x)满足f(x-1)=-f，变形可得f(x)=-f，而f为奇函数，则f=-f，则f(-x)=-f，则有f(-x)=f(x)，即函数f(x)为偶函数，故B正确；已知函数f(x)满足f(x-1)=-f，即f(x)=-f，则有f(x+3)=-f=f(x)，即函数f(x)是一个周期为3的周期函数，故C正确；因为f(x)周期为3，则f(2 025)=f(0)=-2，故D正确.故选BCD． 题型三　函数的奇偶性与对称性 (多选)(2024·河北石家庄模拟)对于定义在R上的函数f(x)，若f(x+1)是奇函数，f(x+2)是偶函数，且在[1，2]上单调递减，则(　　) A．f(3)=0 B．f(0)=f(4) C．f=f D．f(x)在[3，4]上单调递减 答案：AB 解析：令g(x)=f(x+1)，由f(x+1)是奇函数，则g(-x)=f(-x+1)=-g(x)=-f(x+1)，即f(-x+1)=-f(x+1)，f(x)图象关于(1，0)对称.令h(x)=f(x+2)，由f(x+2)是偶函数，则h(-x)=f(-x+2)=h(x)=f(x+2)，即f(-x+2)=f(x+2)，f(x)图象关于直线x=2对称.对于A，令x=0，可得f(1)=-f(1)⇒f(1)=0，又令x=1，可得f(1)=f(3)=0，故A正确；对于B，令x=2，可得f(0)=f(4)，故B正确；对于C，令x=，可得f=-f⇒f+f=0，又因为f(x)在[1，2]上单调递减，由图象关于(1，0)对称，则f(x)在[0，1)上单调递减，即f(x)在[0，2]上单调递减，故f>f.故C错误；对于D，由f(x)在[0，2]上单调递减，结合f(x)图象关于直线x=2对称，则f(x)在(2，4]上单调递增.故D错误.故选AB． 由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等. 对点练3.已知函数f(x)是R上的偶函数，且f(x)的图象关于点(1，0)对称，当x∈[0，1]时，f(x)=2-2x，则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 026)的值为(　　) A．-2 B．-1 C．0 D．1 答案：C 解析：因为f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以f(-x)=-f(2+x)，又f(x)为R上的偶函数，所以f(x)=f(-x)，所以f(x+2)=-f(-x)=-f(x)，所以f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，所以f(3)=f(-1)=f(1)=2-2=0，又f(0)=1，f(2)=-f(0)=-1，所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 026)=506[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]+f(2 024)+f(2 025)+f(2 026)=506×(1+0-1+0)+f(0)+f(1)+f(2)=0.故选C． 题型四　函数的周期性与对称性 (多选)已知定义域为R的函数f(x)在(-1，0]上单调递增，f(1+x)=f(1-x)，且图象关于点(2，0)对称，则下列结论正确的是(　　) A．f(0)=f(2) B．f(x)的最小正周期T=2 C．f(x)在(1，2]上单调递减 D．f(2 024)>f(2 025)>f(2 026) 答案：AC 解析：由f(1+x)=f(1-x)知，f(x)图象的对称轴为直线x=1，所以f(0)=f(2)，故A正确； 由f(1+x)=f(1-x)知，f(2+x)=f(-x)，又图象关于点(2，0)对称，即f(2+x)=-f(2-x)，故f(4+x)=-f(-x)，所以-f(2+x)=f(4+x)，即-f(x)=f(2+x)，所以f(x)=f(x+4)，f(x)的最小正周期为4，故B错误；因为f(x)在(-1，0]上单调递增，且T=4，所以f(x)在(3，4]上单调递增，又图象关于点(2，0)对称，所以f(x)在[0，1)上单调递增，因为f(x)的图象关于直线x=1对称，所以f(x)在(1，2]上单调递减，故C正确；根据f(x)的周期为4，可得f(2 024)=f(0)，f(2 025)=f(1)，f(2 026)=f(2)，因为f(x)的图象关于直线x=1对称，所以f(2)=f(0)，即f(2 024)=f(2 026)，故D错误.故选AC． 综合应用函数对称性与周期性解题的技巧 函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b-x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆. 对点练4.(多选)已知f(x)是定义域为R的函数，满足f(x+1)=f(x-3)，f(1+x)=f(3-x)，当0≤x≤2时，f(x)=x2-x，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的周期为4 B．f(x)的图象关于直线x=2对称 C．当0≤x≤4时，函数f(x)的最大值为2 D．当6≤x≤8时，函数f(x)的最小值为- 答案：ABC 解析：对于A，因为f(x+1)=f(x-3)，所以f(x+3+1)=f(x+3-3)，则f(x)=f(x+4)，即f(x)的周期为4，故A正确；对于B，由f(1+x)=f(3-x)知f(x)的图象关于直线x=2对称，故B正确；对于C，当0≤x≤2时，f(x)=x2-x在上单调递减，在上单调递增，根据对称性可知，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，则函数f(x)在[0，4]上的最大值为f(2)=4-2=2，故C正确；对于D，根据周期性以及单调性可知，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，则函数f(x)在[6，8]上的最小值为f=f=f=f=-=-，故D错误.故选ABC． 学科网（北京）股份有限公司 $