第一章 3 第三节 等式性质与不等式性质（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（湘教版）

该高中数学高考复习课件聚焦“等式性质与不等式性质”核心考点，依据课程标准要求掌握等式性质、比较大小及不等式性质应用。通过梳理比较大小的作差作商法、不等式性质及推论，对接高考评价体系，分析近五年高频考点分布，归纳数式大小比较、性质判断等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题演练+方法归纳+素养提升”，精选2024-2025年模拟题如山东济南、湖南永州真题，通过作差法、构造函数法（如比较\(e^\pi \cdot \pi^e\)与\(e^e \cdot \pi^\pi\)）培养数学思维与推理能力。设“易错陷阱警示”和“规律方法总结”，帮助学生掌握取值范围求解等技巧，教师可据此精准教学，助力高效冲刺。

第三节　等式性质与不等式性质 高三一轮复习讲义　湘教版 第一章　集合与逻辑、不等式 课程标准 1.掌握等式性质.　 2.会比较两个数的大小.　 3.理解不等式的性质，并能简单应用. 03 课时测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.两个实数比较大小的方法(基本事实) a>b a=b a<b a>b a=b a<b 2.不等式的基本性质 (1)对称性：a>b⇔b<a. (2)传递性：a>b，b>c⇒______. (3)可加性：a>b⇒a+c__b+c， 推论1　a+b>c⇔a>c－b 推论2　a>b，c>d⇒a+c__b+d. (4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc，a>b，c<0⇒ac<bc， 推论3　a>b>0，c>d>0⇒ac>bd. 推论4　a>b>0⇒an__bn(n∈N，n≥2). a>c > > > 微提醒　(1)同向不等式可以相加，不能相减.(2)一个不等式的两边同乘以同一正数，不等号方向不变；同乘以同一负数，不等号方向改变. (5)可开方：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2). (6)可倒数：a>b，且ab>0⇒，a>b，且ab<0⇒. < > 常用结论 若b>a>0，m>0，则 (1)<<(a－m>0)(真分数越加越大，越减越小)； (2)<<(a－m>0)(假分数越加越小，越减越大). 自主检测 1.(多选)下列说法正确的是 A．两个实数a，b之间，有且只有a>b，a=b，a<b三种关系中的一种 B．若>1，则a>b C．同向不等式具有可加性和可乘性 D．两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母 √ √ 2.若M=(x－3)2，N=(x－2)(x－4)，则有   A．M >N B．M ≥N C．M<N D．M≤N √ 因为M－N=(x－3)2－(x－2)(x－4)=1>0，所以M >N.故选A． 3.如果a<b<0，那么下列不等式成立的是 A．< B．ab<b2 C．ab>a2 D．－<－ √ 因为a<b<0，由不等式的性质可知，－a>－b>0，ab>0，所以－< －，所以>，故A错误，D正确；由a<b<0，可得ab>b2>0，a2>ab>0，故B、C错误.故选D． 返回 4.实数x，y满足x>y，则下列不等式成立的是 A．<1 B．2－x<2－y C．lg(x－y)>0 D．x2>y2 √ 考点探究　提升能力 返回 考点一　数(式)的大小比较 自主练透 因为M－N=(2p+1)(p－3)－[(p－6)(p+3)+10]=p2－2p+5=(p－1)2+4>0，所以M >N.故选B． 1.已知p∈R，M=(2p+1)(p－3)，N=(p－6)(p+3)+10，则M，N的大小关系为A．M<N B．M >N C．M≤N D．M ≥N √ 2.若a=，b=，则a______b.(填“>”或“<”)  < 法一：易知a，b都是正数，====log89>1，故a<b. 法二：令f(x)=，所以f'=，当x∈(e，+∞)时，f'(x)<0，所以f(x)在(e，+∞)上单调递减，所以f(4)<f(3)，即=<，故a<b. 3.设a，b∈[0，+∞)，A=+，B=，则A，B的大小关系是 A．A≤B B．A≥B C．A<B D．A>B √ 由题意得，B2－A2=－2≤0，又A≥0，B≥0，所以A≥B.故选B． 4.eπ·πe与ee·ππ的大小关系为_______________.  eπ·πe<ee·ππ ==， 又0<<1，0<π－e<1，所以<1，即<1，即eπ·πe<ee·ππ. 数(式)比较大小的常用方法 1.作差法：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)得出结论. 2.作商法：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小关系； (4)得出结论. 3.构造函数法：利用函数的单调性比较大小. 规律方法 考点二　不等式的性质 师生共研 典例1 (1)(多选)(2025·湖南永州模拟)已知a，b，c∈R，下列命题为真命题的是 A．若b<a<0，则bc2<ac2 B．若b>a>0>c，则< C．若c>b>a>0，则> D．若a>b>c>0，则> √ √ 对于A，ac2－bc2=c2(a－b)，因为b<a<0，所以a－b>0，又c2≥0，所以c2(a－b)≥0，则bc2≤ac2，故A错误；对于B，－=，因为b>a>0>c，所以c(b－a)<0，ab>0，所以－=<0，即<，故B正确；对于C，－=，因为c>b>a>0，所以c－a>0，c－b　>0，a－b<0，所以－=<0，即<，故C错误；对于D，－==，因为a>b>c>0，所以a－b>0，b+c>0，所以>0，即>，故D正确.故选BD． (2)(多选)若a>0>b>－a，c<d<0，则下列结论正确的是 A．ad>bc B．+<0 C．a－c>b－d D．a(d－c)>b(d－c) √ √ 因为a>0>b，c<d<0，所以ad<0，bc>0，所以ad<bc，故A错误；因为0>b>－a，所以a>－b>0，因为c<d<0， 所以－c>－d>0，所以a(－c)>(－b)(－d)，所以ac+bd<0，cd>0，所以=+<0，故B正确；因为c<d，所以－c>－d，因为a>b，所以a+(－c) >b+(－d)，即a－c>b－d，故C正确； 因为a>0>b，d－c>0，所以a(d－c)>b(d－c)，故D正确.故选BCD． √ 判断不等式的常用方法 1.利用不等式的性质逐个验证. 2.利用特殊值法排除错误选项. 3.作差法. 4.构造函数，利用函数的单调性验证. 规律方法 对点练1.(1)已知a，b∈R，满足ab<0，a+b>0，a>b，则 A．< B．+>0 C．a2>b2 D．a<|b| √ 因为ab<0，a>b，则a>0，b<0，>0，<0，故A不正确；<0，<0，则+<0，故B不正确；又a+b>0，即a>－b>0，则a2>(－b)2，即a2>b2，故C正确；由a>－b>0得a>|b|，故D不正确.故选C． (2)(多选)对于任意实数a，b，c，d，下列命题中是真命题的是 A．若ac2>bc2，则a>b B．若bc－ad≥0，bd>0，则≤ C．若a<b<0，则> D．若a>b，>，则a>0，b<0 √ √ √ 对于A，若ac2>bc2，则c2>0，所以a>b，故A正确；对于B，若bc－ad≥0，bd>0，则≥0，化为≥，可得≤，故B正确；对于C，若a<b<0，则a2>b2>0，ab>0，可得－=<0，故<，故C错误；对于D，若a>b，>，则－=>0，所以ab<0，所以a>0，b<0，故D正确.故选ABD． 考点三　不等式性质的应用 师生共研 典例2 (1)已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x+2y的取值范围是________.  (－4，2) (1，18) 因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以－4<x－y<2.由－1<　x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以1<3x+2y<18. (2)已知3<a<8，4<b<9，则的取值范围是________.  因为4<b<9，所以<<，又3<a<8， 所以×3<<×8，即<<2. (变条件)若将本例(1)中条件改为“－1<x+y<4，2<x－y<3”，求3x+2y的取值范围. 解：设3x+2y=m(x+y)+n(x－y)， 则即3x+2y=(x+y)+(x－y)， 又因为－1<x+y<4，2<x－y<3， 变式探究 所以－<(x+y)<10，1<(x－y)<， 所以－<(x+y)+(x－y)<，即－<3x+2y<，所以3x+2y的取值范围为. 根据不等式的性质求取值范围的策略 1.严格运用不等式的性质，注意其成立的条件. 2.同向不等式的两边可以相加，如果在解题过程中多次使用这种转化，就会扩大其取值范围. 3.建立待求范围式子的整体与已知范围式子的整体的关系，最后一次性运用不等式的性质求得取值范围. 规律方法 对点练2.(1)已知0<β<α<，则α－β的取值范围是________.  　 因为0<β<，所以－<－β<0，又0<α<，所以－<α－β<，又β<α，所以α－β>0，即0<α－β<. (2)已知a>b>c，2a+b+c=0，则的取值范围是__________.  (－3，－1) 因为a>b>c，2a+b+c=0，所以a>0，c<0，b=－2a－c.因为a>b>c，所以 －2a－c<a，即3a>－c，解得>－3，将b=－2a－c代入b>c中，得－2a－c>c，即c< －a，得<－1，所以－3<<－1. 返回 课 时 测 评 返回 1.已知0<a1<1，0<a2<1，记M=a1a2，N=a1+a2－1，则M与N的大小关系是A．M<N B．M>N C．M=N D．M≥N √ 因为0<a1<1，0<a2<1，所以－1<a1－1<0，－1<a2－1<0，所以M－N　=a1a2－(a1+a2－1)=a1a2－a1－a2+1=a1(a2－1)－(a2－1)=(a1－1)(a2－1)　>0，所以M >N.故选B． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 2.(2025·北京朝阳模拟)若a>0>b，则 A．a3>b3 B．|a|>|b| C．< D．ln(a－b)>0 √ 因为a>0>b，所以a3>0，b3<0，即a3>b3，故A正确；取a=1，b=－2，则|a|>|b|不成立，<不成立，故B、C错误；取a=，b=－，则ln(a－b)=ln 1 =0，故D错误.故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 3.(2025·山东青岛模拟)若a>b，则 A．> B．> C．> D．> √ 取a=2，b=1，显然<，故A错误；<，故B错误；若a，b<0，则无意义，故C错误；若a>b，则>，故D正确.故选D． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 4.(2025·福建福州模拟) “0<a<b”是“a－<b－”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 因为y=x－在(－∞，0)和(0，+∞)上均为增函数，所以当0<a<b时，a－<b－，充分性成立；当a<b<0时，a－<b－成立，即不能推出0<a<b，必要性不成立，所以“0<a<b”是“a－<b－”的充分不必要条件.故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 5.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=” 作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a，b，c∈R，则下列命题正确的是 A．若a>b，则ac2>bc2 B．若>，则a<b C．若a<b<c<0，则< D．若a>b，则a2>b2 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 对于A，当c=0时不满足，故A错误；对于B，由不等式性质知，>两边同时乘以c2>0，可得a>b，故B错误；对于C，若a<b<c<0，则a+c<0，b－a>0，(b－a)c<0，a(a+c)>0，故－= = <0，即<，故C正确；对于D，取a=－1，b=－2，可得a2<b2，故D错误.故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 6.已知a>b+1>1，则下列不等式一定成立的是 A．|b－a|>b B．a+>b+ C．< D．a+ln b<b+ln a √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 取a=10，b=8，则|b－a|<b，故A错误；取a=3，b=，a+=b+，故B错误；取a=3，b=1，则a+ln b=3，b+ln a=1+ln 3<1+ln e2=3，即a+ln b>b+ln a，故D错误；对于C，证明一个不等式：ex≥x+1，令y=ex－x－1，则y'=ex－1，于是x>0时，y'>0，y=ex－x－1单调递增；x<0时，y'<0，y=ex－x－1单调递减，所以x=0时，y有极小值，也是最小值e0－0－1=0，于是y=ex－x－1≥0，当且仅当x=0时取等号.ex≥x+1，当x>－1时，两边同时取以e为底的对数可得，x≥ln(x+1)，用(x－1)替换x，得到x－1≥ln x，当且仅当x=1时取等号，因为a>b+1>1，所以eb>b+1，ln a<a－1，>1>，即<，故C正确.故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 7.(多选)(2024·山东济南模拟)已知实数a，b，c满足a>b>c，且a+b+c=0，则下列说法正确的是 A．> B．a－c>2b C．a2>b2 D．ab+bc>0 √ √ 对于A，因为a>b>c，所以a－c>b－c>0，所以<，故A错误；对于B，因为a>b>c，a+b+c=0，所以a>0，c<0，a－b>0，所以b+c=－a<0，所以a－b>b+c，即a－c>2b，故B正确；对于C，因为a－b>0，a+b= －c>0，所以a2－b2=(a+b)(a－b)>0，即a2>b2，故C正确；对于D，ab+bc=b(a+c)=－b2≤0，故D错误.故选BC． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 8.(多选)(2024·山东潍坊模拟)已知实数a>b>0，则 A．< B．a+>b+ C．ab>ba D．lg> √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 对于A，因为a>b>0，所以b－a<0，所以－=<0，则<，故A正确；对于B，因为a>b>0，所以a－b>0，所以a+－b－　=+=(a－b) >0，则a+>b+，故B正确；对于C，当a=4，b=2时，ab=ba，故C错误；对于D，由>>0，得lg> lg= lg=，故D正确.故选ABD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 9.(多选)设a，b，c，d为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等式正确的有 A．c2<cd B．a－c<b－d C．ac<bd D．－>0 √ √ 因为a>b>0>c>d，所以a>b>0，0>c>d，对于A，因为0>c>d，由不等式的性质可得c2<cd.故选项A正确；对于B，取a=2，b=1，c=－1，d=－2，则a－c=3，b－d=3，所以a－c=b－d.故选项B错误；对于C，取a=2，b=1，c=－1，d=－2，则ac=－2，bd=－2，所以ac=bd.故选项C错误；对于D，因为a>b>0，d<c<0，则ad<bc，所以>，故－>0.故选项D正确.故选AD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 10.能够说明“设a，b，c是任意实数.若a2>b2>c2，则a+b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为___________________________.  －3，－1，0(答案不唯一) 令a=－3，b=－1，c=0，则a2>b2>c2，此时a+b=－4<0，所以a+b>c是假命题. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 11.若1<α<3，－4<β<2，则2α+|β|的取值范围是________.  (2，10) 因为－4<β<2，所以0≤|β|<4，又1<α<3，所以2<2α<6，所以2<2α+|β|<10. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 12.已知a+b>0，则+与+的大小关系是________________.  +≥+ +－=+=(a－b)·=.因为a+b>0，(a－b)2 ≥0，所以≥0.所以+≥+. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 13.(多选)(2025·湖南长沙模拟)已知非零实数a，b满足a>|b|+1，则下列不等关系一定成立的是  A．a2>b2+1 B．2a>2b+1 C．a2>4b D．||>b+1 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 对于非零实数a，b满足a>|b|+1， 则a2>(|b|+1)2， 即a2>b2+2|b|+1>b2+1，故A一定成立； 因为a>|b|+1≥b+1⇒2a>2b+1，故B一定成立； 又(|b|－1)2≥0，即b2+1≥2|b|， 所以a2>4|b|≥4b，故C一定成立； 令a=5，b=3，满足a>|b|+1， 此时=<b+1=4，故D不一定成立. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 14.实数a，b，c，d满足下列三个条件： ①d>c；②a+b=c+d；③a+d<b+c. 那么a，b，c，d的大小关系是___________.  b>d>c>a 由题意知d>c①，由②+③得2a+b+d<2c+b+d，化简得a<c④，由②式a+b=c+d及a<c可得b>d⑤成立，综合①④⑤式得到b>d>c>a. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 15.(新设问)给出三个不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③ >－.能够使以上三个不等式同时成立的一个条件是_____________________.(答案不唯一，写出一个即可)  a>b>0(答案不唯一) 使三个不等式同时成立的一个条件是a>b>0，当a>b>0时，①②显然成立，对于③，()2－(－)2=2－2b=2(－)，因为a>b>0，所以2(－)>0，所以()2－(－)2>0，即>－. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 16.(2024·九省适应性测试)以maxM表示数集M中最大的数.设0<a<b<c<1， 已知b≥2a或a+b≤1，则max{b－a，c－b，1－c}的最小值为________.  2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 返回 令b－a=m，c－b=n，1－c=p，其中m，n，p>0，所以①若b≥2a，则1－n－p≥2(1－m－n－p)，故2m+n+p≥1. 令M=max{b－a，c－b，1－c}=max{m，n，p}，因此故4M ≥2m+n+p≥1，则M ≥，当2m=n=p时，等号成立.②若a+b≤1，则(1－n－p)+(1－m－n－p)≤1，即m+2n+2p≥1，令M=max{b－a，c－b，1－c}=max{m，n，p}，则故5M ≥m+2n+2p　≥1，则M ≥，当m=2n=2p时，等号成立.综上可知max{b－a，c－b，1－c}的最小值为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 等式性质与不等式性质 $