第一章 3 第三节 不等式的性质（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“不等式的性质”核心考点，依据高考评价体系梳理比较大小、性质应用、取值范围确定等考查要求，通过教材夯实与考点探究，归纳作差法、整体代换等高频方法，对接近5年模拟题中占比30%的比较大小题型和25%的范围求解题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题情境+逻辑推理+素养提升”的设计，如以2025年浙江模拟题为例，用作商法比较指数式大小，培养数学思维与运算能力，规律方法模块强调性质应用的条件严谨性，帮助学生突破“多次不等式运算致误”易错点，教师可依托课时测评精准把握学情，助力高效冲刺。

第三节　不等式的性质 高三一轮复习讲义 北师大版 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 课标研读 1.理解用作差法比较两个实数的大小的理论依据.　 2.理解不等式的概念与性质，掌握不等式性质的简单应用. 03 课时测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.两个实数比较大小的方法 a＞b a＝b a＜b a＞b a＝b a＜b 2.不等式的性质 性质1　传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； 性质2　可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c； 性质3　可乘性：a＞b，c＞0⇒________；a＞b，c＜0⇒ac＜bc； 性质4　同向可加性：a＞b，c＞d⇒____________； 性质5　同向同正可乘性： (1)a＞b＞0，c＞d＞0⇒________； (2)a＞b＞0，c＜d＜0⇒________； (3)同正可乘方性：a＞b＞0⇒________(n∈N＋，n≥2)； 性质6　同正可开方性：a＞b＞0⇒(n∈N＋，n≥2). ac＞bc a＋c＞b＋d ac＞bd ac＜bd an＞bn 常用结论 (1)若ab＞0，且a＞b⇔＜. (2)若a＞b＞0，m＞0⇒＜；若b＞a＞0，m＞0⇒＞. √ √ 自主检测 1.(多选题)下列说法正确的是 A.两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种 B.若＞1，则a＞b C.同向不等式具有可加性和可乘性 D.两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母 √ C中，若a＝－2，b＝－1，则a2＞ab＞b2.故C错误. 2.(多选题)(链接北师必修一P30A组T1，改编)下列命题为真命题的是 A.若ac2＞bc2，则a＞b B.若a＞b＞0，则a2＞b2 C.若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D.若a＜b＜0，则＞ √ √ √ 3.(链接北师必修一P26T2，改编)如图两种广告牌，其中图①是由两个等腰直角三角形构成的，图②是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b的不等式表示出来 A.＞ab B.＜ab C.ab D.≤ab 图①是由两个等腰直角三角形构成的，面积S1＝a2＋b2.图②是一个矩形，面积S2＝ab.可得(a2＋b2)＞ab(a≠b).故选A. M－N＝x2＋y2＋1－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0.故M＞N. 返回 4.(链接北师必修一P25例1)设M＝x2＋y2＋1，N＝2(x＋y－1)，则M与N的大小关系为__________. M ＞N 考点探究　提升能力 返回 考点一　比较数(式)的大小 自主练透 p－q＝＋－a－b＝＋＝(b2－a2)·＝＝，因为a＜0，b＜0，所以a＋b＜0，ab＞0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q＜0，故p＜q.综上，p≤q.故选B. √ 1.若a＜0，b＜0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为 A.p＜q B.p≤q C.p＞q D.p≥q 根据题意得，M＝，N＝，P＝＝＝.对于A， N－P＝－＝，因为a＞b＞c，所以a－c＞0，b－c＞0，所以a＋b－2c＞0，所以N－P＝＞0，所以N＞P，故A错误； √ 2.(2025·浙江金华模拟)设a，b，c的平均数为M，a与b的平均数为N，N与c的平均数为P.若a＞b＞c，则 A.N＜P B.P＜M C.N＜M D.M＋N＜2P 对于B，M－P＝－＝，因为a＞b＞c，所以a－c＞0，b－c＞0，所以a＋b－2c＞0，所以M－P＝＞0，所以M＞P，故B正确；对于C，M－N＝－＝，因为a＞b＞c，所以c－a＜0，c－b＜0，所以2c－a－b＜0，所以M－N＝＜0，所以 M＜N，故C错误；对于D，因为M＞P，N＞P，所以M＋N＞2P，故D错误.故选B. ＝＝，又0＜＜1，0＜π－e＜1，所以 ＜1，即＜1，即eπ·πe＜ee·ππ. 3.eπ·πe与ee·ππ的大小关系为_____________. eπ·πe＜ee·ππ 比较大小的常用方法 规律方法 考点二　不等式的性质 师生共研 对于A， －2＜－1＜0，而－＞－1，故A不成立；对于B，－2＜－1＜0，而×＞，故B不成立；对于C，－＝，因为a＜b＜0，所以ab＞0，a2＞b2，－＜0，即＜，故C不成立；对于D，－1＝，因为a＜b＜0，所以＞0，即＞1，故D成立.故选D. 典例1 √ (1)(2025·江西景德镇模拟)已知a＜b＜0，那么下列不等式成立的是 A.＜ B.ab＜b2 C.＞ D.＞1 当b为负数时，例如－2＞－3＞－4，但－2＋＞－4是错误的，故A错误；因为a＞b＞0，根据不等式性质可得a2＞b2＞c2，故B正确；因为a＜b＜0，所以＞0，所以a·＜b·＜0，即＜＜0，所以＞＞0，故C错误；因为a＞b＞c＞0，所以－＝＝＜0，所以＜，故D正确.故选BD. √ (2)(多选题)(2025·安徽淮北模拟)已知a，b，c∈R，下列命题为真命题的是 A.若a＞b＞c，则a＋b＞c B.若a＞b＞，则a2＞b2＞c2 C.若a＜b＜c＜0，则＞ D.若a＞b＞c＞0，则＜ √ 解决不等式性质有关问题常用的两种方法 规律方法 因为x＞y，所以－x＜－y，所以－x＋1＜－y＋1，即1－x＜1－y，故A正确；当x＝－1，y＝－2时，满足x＞y，但x2＝1，y2＝4，此时x2＜y2，＝＝＜1，故B，C错误；当z＜0时，由x＞y可得xz＜yz，故D错误.故选A. √ 对点练1.(1)已知x＞y，则下列不等式正确的是 A.1－x＜1－y B.x2＞y2 C.＞1 D.xz＞yz 对于A，由0＞c＞d和不等式性质可得c2＜cd，故A正确；对于B、C，因为a＞b＞0＞c＞d，若取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则a－c＝ b－d，故B错误；ac＝bd，故C错误；对于D，因为a＞b＞0，则0＜＜，又因为0＞c＞d，则0＜－c＜－d，由不等式的同向同正可乘性，得－＜－，故－＞0，故D正确.故选AD. √ (2)(多选题)(2025·湖南长沙模拟)设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式正确的有 A.c2＜cd B.a－c＜b－d C.ac＜bd D.－＞0 √ 考点三　不等式性质的应用 师生共研 因为－1＜x＜4，2＜y＜3，所以－3＜－y＜－2，所以－4＜x－y＜2，则x－y的取值范围是(－4，2).由－1＜x＜4，2＜y＜3，得－3＜3x＜12，4＜2y＜6，所以1＜3x＋2y＜18，则3x＋2y的取值范围是(1，18). 典例2 (一题多变)已知－1＜x＜4，2＜y＜3，则x－y的取值范围是__________，3x＋2y的取值范围是__________. (－4，2) (1，18) 由题意0≤｜x｜＜4，＜＜，则0≤＜2. 1.(变结论)本例条件不变，则的取值范围是__________. [0，2) 变式探究 设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，则即3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y)，又因为－1＜x＋y＜4，2＜x－y＜3，所以－＜(x＋y)＜10，1＜(x－y)＜，所以－＜(x＋y)＋(x－y)＜，即－＜3x＋2y＜，所以3x＋2y的取值范围为. 2.(变条件)若将本例中条件改为－1＜x＋y＜4，2＜x－y＜3，则3x＋2y的取值范 围为______________. 利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点 1.必须严格运用不等式的性质. 2.在多次运用不等式的性质时，一般利用整体代换建立待求范围式子与已知范围式子的关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 规律方法 因为－1≤x＋y≤3，4≤2x－y≤9，所以3≤3x≤12，所以1≤x≤4，故A正确；因为所以－2≤－3y≤11，解得－≤y≤，故B错误；因为4x＋y＝2(x＋y)＋(2x－y)，－2≤2(x＋y)≤6，4≤2x－y≤9，所以2≤4x＋y≤15，故C正确；因为x－y＝－(x＋y)＋(2x－y)，－1≤－(x＋y)≤，(2x－y)≤6，所以≤x－y≤，故D错误.故选AC. 对点练2.(1)(多选题)已知实数x，y满足－1≤x＋y≤3，4≤2x－y≤9，则 A.1≤x≤4 B.－2≤y≤1 C.2≤4x＋y≤15 D.≤x－y≤6 √ √ 由于a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，所以a＞0，c＜0，b＝－a－c，－a－c ＜a，2a＞－c，＞－2，－a－c＞c，－a＞2c，＜－，所以－2＜ ＜－，即. (2)已知实数a，b，c满足a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，那么的取值范围是 _____________. 返回 课 时 测 评 返回 M2－N2＝(a＋b)－(a＋b＋2)＝－2＜0，所以M＜N.故选B. √ 1.已知a＞0，b＞0，M＝，N＝＋，则M与N的大小关系为 A.M＞N B.M＜N C.M≤N D.M，N大小关系不确定 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ 由不等式的加法性质可得a＋c＜b＋c成立，故A正确；由倒数的性质，可知＞，故B错误；当c＝0时，ac＜bc显然不成立，故C错误；选项D显然错误.故选A. 2.(2025·安徽亳州期末)若a＜b＜0，则下列不等式中一定成立的是 A.a＋c＜b＋c B.＜ C.ac＜bc D.＜ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ 设3x－y＝m＋n＝x＋y，所以则3x－y＝＋2，因为－1≤x＋y≤1，1≤x－y＜3，所以3x－y＝＋2∈.故选D. 3.(2025·江西南昌模拟)已知－1≤x＋y≤1，1≤x－y＜3，则3x－y的取值范围是 A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 对于A，若a2＜b2，可能有b＜a＜0，故A错误；对于B，当c＜0时，若a＜b，则ac＞bc，故B错误；对于C，当a＜b＜0，c＜d＜0时，则 ac＞bd，故C错误；对于D，若a＜b，c＜d，则a＋c＜b＋d，故D正确.故选D. √ 4.(2025·上海松江期末)英国数学家哈利奥特最先使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.对于任意实数a，b，c，d，下列命题是真命题的是 A.若a2＜b2，则a＜b B.若a＜b，则ac＜bc C.若a＜b，c＜d，则ac＜bd D.若a＜b，c＜d，则a＋c＜b＋d 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ 5.(2025·安徽芜湖模拟)若正实数a，b，c满足不等式组则a，b，c的大小关系为 A.b＜a＜c B.b＜c＜a C.c＜b＜a D.c＜a＜b 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 由不等式组因为a，b，c均为正实数，于是＞3＞＞＞＞＞，所以b＜c＜a.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ √ 对于A，当c＝0时，ac2＞bc2不成立，故A错误；对于B，由＞－＝＞0，又a＞b⇔a－b＞0，所以可得ab＜0，故B正确； 6.(多选题)(2025·山东青岛期末)已知a＞b，则下列结论正确的是 A.对任意实数c，ac2＞bc2 B.若＞，则ab＜0 C.若a2＞b2，则a＞0 D.若b＞0，则a＋＞b＋ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 对于C，因为a2＞b2⇔(a－b)(a＋b)＞0，又a＞b，所以a－b＞0，可得a＋b＞0，所以a＞0，故C正确；对于D，a＋－＝a－b＋＝，又因为a＞b，b＞0，所以ab－1的符号不确定，故的符号不确定，故D错误.故选BC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ √ 对于A，由a＜b＜c及a＋2b＋3c＝0，得6a＝a＋2a＋3a＜a＋2b＋3c＝0，所以a＜0，又0＝a＋2b＋3c＜c＋2c＋3c＝6c，所以c＞0，故A正确；对于B，由a＜b＜c及a＋2b＋3c＝0，得a＋2c＋3c＞0，所以a＋5c＞0，得c＞－＞0，所以c2＞，得a2－25c2＜0，故B错误； 7.(多选题)(2025·湖北武汉期末)已知a＜b＜c，且a＋2b＋3c＝0，则 A.a＜0＜c B.∃a，c使得a2－25c2＝0 C.a＋c可能大于0 D.＜－ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 对于C，由a＜b＜c及a＋2b＋3c＝0，得3a＋3c＜a＋2b＋3c＝0，所以a＋c＜0，故C错误；对于D，由a＋2b＋3c＝0，得a＋c＝－2，所以＝＝＋＝－＋.因为a＋c＜0，c＞0，所以＜0，所以＜－，故D正确.故选AD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 若＜，则由a＞b⇒ab＞0，因此假命题时，只要满足a＞0，b＜0或a＞0，b＝0或a＝0，b＜0即可，如a＝1，b＝－1(答案不唯一). 8.(开放题)(2025·北京海淀期中)能说明“若a＞b，则＜”为假命题的一组a，b的值依次为a＝____； b＝____________________________________ ________________________. 1 －1(答案不唯一，只要a＞0，b＜0或a＞0， b＝0或a＝0，b＜0均可) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 根据题意，结合不等式性质分别判断①，②，③作为结论的命题的真假性即可.由不等式性质，得⇒⇒bc＞ad；⇒＞；⇒⇒ab＞0.故可组成3个真命题. 9.(2025·重庆模拟)已知三个不等式：①ab＞0，②＞，③bc＞ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成____个真命题. 3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 法一：M－N＝－＝＝＝＞0，所以M＞N. 法二：令f (x)＝＝＝＋，显然f (x)是R上的减 函数， 所以f (2 024)＞f (2 025)，即M ＞N. 10.已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为__________. M ＞N 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ 11.(2025·湖南长沙模拟)设互不相等的三个实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是 A.b＞a＞c B.b＞c＞a C.c＞a＞b D.c＞b＞a 由b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，得b＝1＋a2，于是b－a＝1＋a2－a＝＋＞0，即b＞a，而c－b＝(2－a)2≥0，且三个实数a，b，c互不相等，因此c＞b，所以a，b，c的大小关系是c＞b＞a.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 12.(多选题)(2025·安徽蚌埠模拟)已知实数a，b满足0＜a＜b＜1，则 A.＜ B.a＋b＞ab C.ab＜ba D.2a－2b＜loa－lob √ √ √ 对于A，由0＜a＜b＜1，可得－＝＞0，故A错误；对于B，由a＋b－ab＝a＋b(1－a)＞0，则a＋b＞ab，故B正确；对于C，由0＜a＜b＜1，可得ab＜aa＜ba，所以ab＜ba，故C正确；对于D，由函数g(x)＝2x－lox在上单调递增，因为0＜a＜b＜1，则g(a)＜g(b)，即2a－loa＜2b－lob，故D正确.故选BCD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 13.(新情境)(2025·江苏淮安模拟)希罗平均数(Heronianmean)是两个非负实数的一种平均数，若a，b是两个非负实数，则它们的希罗平均数H＝.记A＝，G＝，则A，G，H从小到大的关系为__________.(用“≤”连接) G≤H≤A 由基本不等式可知，G≤A，当且仅当a＝b时等号成立；因为H－G＝－＝＝0，当且仅当＝，即a＝b时等号成立，所以H≥G；因为H－A＝－＝＝－≤0，当且仅当＝，即a＝b时等号成立，所以H≤A；综上所述，G≤H≤A，当且仅当a＝b时等号成立. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 √ 14.(新定义)(2025·江西宜春开学考)设m，n∈R，定义运算“Δ”和“▽”如下：mΔn＝m▽n＝若正数m，n，p，q满足mn≥4，p＋q≤4，则 A.mΔn≥2，pΔq≤2 B.m▽n≥2，p▽q≤2 C.mΔn≥2，p▽q≤2 D.m▽n≥2，pΔq≤2 对于A，C，不妨取m＝1，n＝5，则mΔn＝1，排除A，C；对于B，取p＝1，q＝3，则p▽q＝3，可排除B；对于D，假设m＜2且n＜2，则mn＜4(矛盾)，故m，n至少有一个大于等于2，所以m▽n≥2.假设p＞2且q＞2，则p＋q＞4(矛盾)，故p，q至少有一个小于等于2，故pΔq≤2.综上，D正确.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 15.(2024·九省适应性测试)以maxM表示数集M中最大的数.设0＜a＜b＜c＜1，已知b≥2a或a＋b≤1，则max{b－a，c－b，1－c}的最小值为_____. 令b－a＝m，c－b＝n，1－c＝p，其中m，n，p＞0，所以①若b≥2a，则1－n－p≥2(1－m－n－p)，故2m＋n＋p≥1. 令M＝max{b－a，c－b，1－c}＝max{m，n，p}，因此故4M ≥2m＋n＋p≥1，则M ，当2m＝n＝p时，等号成立. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 返回 ②若a＋b≤1，则(1－n－p)＋(1－m－n－p)≤1，即m＋2n＋2p≥1，令M＝max{b－a，c－b，1－c}＝max{m，n，p}，则故5M ≥m＋2n＋2p≥1，则M≥，当m＝2n＝2p时，等号成立.综上可知max{b－a，c－b，1－c}的最小值为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 不等式的性质 $