第一章 2 第二节 常用逻辑用语（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（湘教版）

该高中数学高考复习课件聚焦常用逻辑用语专题，覆盖充分必要条件判定、全称与存在量词命题、含量词命题否定等高考核心考点，依据课标要求对接高考评价体系，通过分析近三年真题明确充分条件必要条件占比达60%的高频考点，归纳出定义法、集合法等常考题型解法，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题精讲+规律总结+素养提升”模式，如以2024全国甲卷向量题为例，用定义法推导充分必要条件，培养学生逻辑思维和推理能力。特设易错点警示（如区分“充分不必要”与“必要不充分”表述），帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准复习，助力高考冲刺。

第二节　常用逻辑用语 高三一轮复习讲义　湘教版 第一章　集合与逻辑、不等式 课程标准 1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，理解定义、判定定理、性质定理与充要条件、充分条件、必要条件的关系.　 2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.　 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 04 03 考教衔接　精研教材 课时测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.命题 (1)命题：可以判断______的陈述句.成立的命题叫作真命题，不成立的命题叫作假命题. (2)命题的否定：如果p是一个命题，则“p不成立”也是一个命题，叫作p的否定，记作____. (3)逆命题：将一个命题的条件和结论_________后得到的命题.这个命题与原命题是互为逆命题. 真假 ¬p 互换位置 2.充分条件和必要条件 (1)当“若p，则q”成立，即p⇒q时，把p叫作q的_________，q叫作p的_________. (2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，称p是q的_________. 换句话说：如果一个命题和它的逆命题都成立，则此命题的条件和结论互为_________条件. 充分条件 必要条件 充要条件 充分必要 微提醒　区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇏A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇏B)两者的不同. 3.全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 “任意”“所有”“每一个” ____ 存在量词 “存在某个”“至少有一个” ____ 4.全称命题和特称命题 命题名称 定义 命题结构 命题简记 全称命题 含有全称量词的命题 对M中任意一个元素x，有p(x)成立 ____________ 特称命题 含有存在量词的命题 存在M中的某个元素x，使p(x)成立 ____________ ∀ ∃ ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 5.含量词命题的否定 命题 命题的否定 ∀x∈I，p(x) ______________ ∃x∈I，p(x) ______________ ∃x∈I， ¬p(x) ∀x∈I， ¬p(x) 微提醒　对没有量词的命题否定时，要结合命题的含义加上量词，再改变量词. 常用结论 (1)p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件. (2)含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”. (3)命题p和¬p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假. 自主检测 1.(多选)下列结论正确的是 A．p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件 B．“三角形的内角和为180°”是全称量词命题 C．已知集合A，B，A∪B=A∩B的充要条件是A=B D．命题“∃x∈R，sin2+cos2=”是真命题 √ √ √ 2.(多选)对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中假命题是 A．“a=b”是“ac=bc”的充要条件 B．“a>b”是“a2>b2”的充分条件 C．“a<5”是“a<3”的必要条件 D．“a+5是无理数”是“a是无理数”的充分不必要条件 √ √ √ 3.(用结论)命题“∀x∈R，x2+x≥0”的否定是 A．∃x0∈R，+x0≤0　　 B．∃x0∈R，+x0<0 C．∀x∈R，x2+x≤0 D．∀x∈R，x2+x<0 √ 由全称量词命题的否定是存在量词命题知选项B正确. 4.若命题“∀x∈R，x2+1>m”是真命题，则实数m的取值范围是_________.  5.已知A=(－∞，a]，B=(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则实数a的取值范围为_________.  (－∞，1) (－∞，3) 返回 考点探究　提升能力 返回 考点一　充分条件、必要条件的判定 自主练透 1.(2024·全国甲卷)设向量a=，b=，则 A．x=－3是a⊥b的必要条件 B．x=－3是a∥ b的必要条件 C．x=0是a⊥b的充分条件 D．x=－1+是a∥ b的充分条件 √ 对于A，当a⊥b时，则a·b=0，所以x·(x+1)+2x=0，解得x=0或－3，即必要性不成立，故A错误；对于C，当x=0时，a=，b=，故a·b=0，所以a⊥b，即充分性成立，故C正确；对于B，当a∥b时，则2(x+1)=x2，解得x=1±，即必要性不成立，故B错误；对于D，当x= －1+时，不满足2(x+1)=x2，所以a∥ b不成立，即充分性不成立，故D错误.故选C． 2.(2023·新课标Ⅰ卷)设Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列.则 A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 √ 甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，即Sn=na1+d，则=a1+d=n+a1－，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即－=D，=S1+(n－1)D，即Sn=nS1+n(n－1)D，当n≥2时，Sn－1=(n－1)S1+(n－1)(n－2)D，两式相减得：Sn－Sn－1=S1+2(n－1)D，即an=a1+2(n－1)D，当n=1时，上式成立，于是an=a1+2(n－1)D，又an+1－an=a1+2nD－[a1+2(n－1)D]=2D为常数，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选C． 3.(2024·湖北武汉模拟)已知p：ab≤1，q：a+b≤2，则p是q的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 当a=－1，b=4时，p不能推出q；当a=－2，b=－2时，q不能推出p，所以p是q的既不充分也不必要条件.故选D． 4.(2023·全国甲卷)“sin2α+sin2β=1”是“sin α+cos β=0”的 A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 √ 当sin2α+sin2β=1时，例如α=，β=0，但sin α+cos β≠0，即由sin2α+sin2β=1推不出sin α+cos β=0；当sin α+cos β=0时，sin2α+sin2β= (－cos β)2+sin2β=1，即sin α+cos β=0能推出sin2α+sin2β=1.综上可知， “sin2α+sin2β=1”是“sin α+cos β=0”成立的必要不充分条件.故选B． 充分条件、必要条件的两种判定方法 1.定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. 2.集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 规律方法 考点二　充分必要条件的探求与应用 师生共研 典例1 (1)命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是 A．a≥9 B．a≤9 C．a≥10 D．a≤10 √ 命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”⇒“∀x∈[1，3]，x2≤a”⇒9≤a.则“a≥10”是命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件.故选C． (2)已知P={x|x2－8x－20≤0}，非空集合S={x|1－m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________.  [0，3] 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10， 所以P={x|－2≤x≤10}. 因为x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P， 又S≠⌀，所以解得0≤m≤3， 故0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件. 由例题知P={x|－2≤x≤10}. 因为¬P是¬S的必要不充分条件， 所以P是S的充分不必要条件， 所以P⇒S且S⇏ P.所以[－2，10]⫋[1－m，1+m]. 所以所以m≥9， 则m的取值范围是[9，+∞). [9，+∞) 变式探究 1.(变条件)本例(2)中条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“¬P是¬S的必要不充分条件”，其他条件不变，则实数m的取值范围为_________.  2.(变设问)本例(2)条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件?并说明理由. 解：由例题知P={x|－2≤x≤10}. 若x∈P是x∈S的充要条件，则P=S， 所以 这样的m不存在. 根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点 1.把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. 2.要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象. 规律方法 对点练1.若x∈R，下列选项中，使“x2<1”成立的一个必要不充分条件为A．－2<x<1 B．－1<x<1 C．0<x<2 D．－1<x<0 √ 不等式x2<1等价于－1<x<1，使“x2<1”成立的一个必要不充分条件，对应的集合为A，则(－1，1)是A的真子集，由此对照各项，可知只有A项符合题意.故选A． 考点三　全称量词命题与存在量词命题 多维探究 根据含有全称量词命题的否定可知，命题p：∀x≥0，ln≥x－，则命题p的否定为：∃x≥0，ln<x－ .故选B． 典例2 角度1　含有量词的命题的否定 (2024·福建漳州模拟)已知命题p：∀x≥0，ln(1+x)≥x－，则命题p的否定为 A．∀x≥0，ln<x－ B．∃x≥0，ln<x－ C．∀x<0，ln<x－ D．∃x<0，ln<x－ √ (变条件)若将本例中的“∀”改为“∃”，如何选择答案? 解：p：∃x≥0，ln(1+x)≥x－的否定为¬p：∀x≥0，ln(1+x)<x－.故选A． 变式探究 角度2　含量词命题的真假判断 (多选)下列命题中的真命题是 A．∀x∈R，3x－1>0 B．∀x∈N+，(x－1)2>0 C．∃x0∈R，lg x0<1 D．∃x0∈R，tan x0=2 √ √ 当x∈N+时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x=1时取等号，故B不正确；易知A、C、D正确.故选ACD． √ 典例3 典例4 角度3　含量词命题的应用 (1)已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2+2ax+2－a=0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为____________.  (－∞，－2]　 由命题p为真，得a≤0.由命题q为真，得Δ=4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1.综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]. (2)已知函数f(x)=x2－2x+3，g(x)=log2x+m，若对任意x1，x2∈[1，4]，f(x1)>g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是__________.  (－∞，0) f(x)=x2－2x+3=(x－1)2+2，当x∈[1，4]时，f(x)min=f(1)=2，g(x)max=g(4)= 2+m.由题知f(x)min>g(x)max，即2>2+m，解得m<0，故实数m的取值范围是(－∞，0). 含量词命题的解题策略 1.判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假. 2.由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是利用等价命题求参数的范围. 规律方法 3.含有双量词命题的类型 (1)∀x1，x2∈D，f(x1)≤g(x2)恒成立⇔f(x1)max≤g(x2)min. (2)∀x1∈D1，∃x2∈D2，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)min≥g(x2)min. (3)∃x1∈D1，∃x2∈D2，使得f(x1)=g(x2)⇔f(x1)的值域与g(x2)的值域的交集非空. (4)∀x1∈D1，∃x2∈D2，使得f(x1)=g(x2)⇔f(x1)的值域是g(x2)值域的子集. 规律方法 对点练2.(1)(多选)下列命题是真命题的是 A．∀x∈R，－x2－1<0 B．∀n∈Z，∃m∈Z，nm=m C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径 D．存在实数x，使得= √ √ ∀x∈R，－x2≤0，所以－x2－1<0，故A是真命题；当m=0时，nm=m恒成立，故B是真命题；任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C是真命题；因为x2－2x+3=(x－1)2+2≥2，所以≤<，故D是假命题.故选ABC． √ (2)已知命题p：∃x0∈R，+2x0+a≤0，命题q：∀x>0，x+>a.若p假q真，则实数a的取值范围为 A．(1，+∞) B．(－∞，2] C．(1，2) D．(－1，2] √ 命题p：∃x0∈R，+2x0+a≤0为假命题，则∀x∈R，x2+2x+a>0为真命题，满足Δ=22－4a<0，解得a>1.命题q：∀x>0，x+>a为真命题，由x+≥2=2，当且仅当x=1时等号成立，可知a<2.综上，实数a的取值范围为(1，2).故选C． 返回 考教衔接　精研教材 返回 真题再现 1.(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1；命题q：∃x>0，x3=x，则 A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 √ 对于p而言，取x=－1，则有=0<1，故p是假命题，¬p是真命题，对于q而言，取x=1，则有x3=13=1=x，故q是真命题，¬q是假命题，综上，¬p和q都是真命题.故选B． (湘教版必修一P22T10)对下列含有量词的命题作否定，并判断其真假： (1)p：任意有理数都可以写成两个整数之商； (2)q：∃x∈R，x2+2x+3≤0. 点评：该高考试题主要考查全称量词命题、存在量词命题的否定及真假判断，与教材习题角度完全相同. 教材呈现 2.(2024·天津卷)设a，b∈R，则“a3=b3”是“3a=3b”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ a3=b3和3a=3b都当且仅当a=b时等号成立，所以二者互为充要条件.故选C． 真题再现 返回 教材呈现 (湘教版必修一P17例3)从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件” “充要条件”和“既不充分又不必要条件”中选择适当的一种填空. (1)a≥5是a为正数的________；  (2)四边形的两对角线相等是该四边形为矩形的________；  (3)四边形的一组对边平行且相等是四边形的两组对边分别平行的________；  (4)若x∈R，则x2=2是x=2的________.  点评：该高考试题主要考查利用充分、必要条件的意义判断命题间的充分、必要性，与教材例题角度完全一致，且难度小于教材例题. 课 时 测 评 返回 1.命题“∃x>0，x2－2|x|<0”的否定是 A．∃x>0，x2－2|x|≥0 B．∃x≤0，x2－2|x|≥0 C．∀x>0，x2－2|x|≥0 D．∀x≤0，x2－2|x|≥0 √ 由存在量词命题的否定为全称量词命题知“∃x>0，x2－2|x|<0”的否定为“∀x>0，x2－2|x|≥0”.故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 2.(2025·山东德州模拟)在△ABC中，“A>”是“sin A>”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 在△ABC中，A∈(0，π)，由A>，得sin A>0，由sin A>，得<A<π，所以“A>”是“sin A>”的必要不充分条件.故选B． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 3.已知命题：“∀x∈R，方程x2+4x+a=0有解”是真命题，则实数a的取值范围是 A．a<4 B．a≤4 C．a>4 D．a≥4 √ “∀x∈R，方程x2+4x+a=0有解”是真命题，故Δ=16－4a≥0，解得a≤4.故选B． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 4.(2025·河北石家庄模拟)“a≥”是“圆C1：x2+y2=4与圆C2：(x－a)2+(y+a)2=1有公切线”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 圆C1：x2+y2=4的圆心为C1(0，0)，半径为r1=2，圆C2：(x－a)2　+(y+a)2=1的圆心为C2(a，－a)，半径为r2=1.若两圆有公切线，则|C1C2|≥|r1－r2|，即≥1，解得a≤－或a≥，所以“a≥”是“圆C1：x2+y2=4与圆C2：(x－a)2+(y+a)2=1有公切线”的充分而不必要条件.故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 5.(2023·安徽皖南八校三模)给出下列四个命题，其中正确命题为 A．“∀x>0，x2+x>1”的否定是“∃x0>0，+x0<1” B．“α>β”是“sin α>sin β”的必要不充分条件 C．∃α，β∈R，使得sin(α+β)=sin α+sin β D．“a>b”是“2a>2b”的充分不必要条件 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 对于A，“∀x>0，x2+x>1”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，该命题的否定为∃x0>0，+x0≤1，故A错误；对于B，“若sin α>sin β，则α>β”是假命题，如sin>sin，而<，故B错误；对于C，取α=β=0，则sin(α+β)=sin 0=sin 0+sin 0=sin α+sin β，故C正确；对于D，因为函数y=2x是R上的增函数，则“a>b”是“2a>2b”的充要条件，故D错误.故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 6.(2024·山东日照模拟)已知a>0，b>0，则“<”是“ln a>ln b”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 因为y=在定义域上单调递减，所以由<得a>b>0，而y=ln x在定义域上单调递增，故<⇒ln a>ln b，满足充分性；由ln a>ln b得a>b>0，所以<，满足必要性.故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 7.(多选)(2024·湖南常德模拟)下列命题中为真命题的是 A．“a－b=0”的充要条件是“=1” B．“a>b”是“ <”的既不充分也不必要条件 C．命题“∃x∈R，x2－2x<0”的否定是“∀x∉R，x2－2x≥0” D．“a>2，b>2”是“ab>4”的充分不必要条件 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 对于A，由=1⇒a－b=0，但a=b=0⇏=1，所以“=1”是“a－b=0”的充分不必要条件.故A错误；对于B，取a=2，b=－1，满足a>b，但>，所以a>b⇏<；同理取a=－1，b=2，满足<，但a<b，所以<⇏a>b，所以“a>b”是“<”的既不充分也不必要条件.故B正确；对于C，命题“∃x∈R，x2－2x<0”的否定是“∀x∈R，x2－2x≥0”.故C错误；对于D，因为a>2，b>2⇒ab>4，但ab>4⇏a>2，b>2，所以“a>2，b>2”是“ ab>4”的充分不必要条件.故D正确.故选BD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 8.(多选)下列命题是真命题的是 A．所有的素数都是奇数 B．有一个实数x，使x2+2x+3=0 C．“α=β”是“sin α=sin β”成立的充分不必要条件 D．命题“∃x∈R，x+2≤0”的否定是“∀x∈R，x+2>0” √ √ 2是一个素数，但2是偶数，故A是假命题；对于方程x2+2x+3=0，其中Δ=22－4×3=－8<0，所以不存在实数，使得x2+2x+3=0成立，故B是假命题；由α=β ⇒sin α=sin β，但由sin α=sin β不能得到α=β，故“α=β”是“sin α=sin β”成立的充分不必要条件，故C是真命题；命题“∃x∈R，x+2≤0”的否定是“∀x∈R，x+2>0”，故D是真命题.故选CD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 9.(多选)已知关于x的方程x2+(m－3)x+m=0，下列说法正确的是 A．当m=3时，方程的两个实数根之和为0 B．方程无实数根的一个必要条件是m>1 C．方程有两个正根的充要条件是0<m≤1 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是m<0 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 对于A，方程为x2+3=0，方程没有实数根，故A错误；对于B，如果方程没有实数根，则Δ=(m－3)2－4m=m2－10m+9<0，所以1<m<9，m>1是1<m<9的必要条件，故B正确；对于C，因为方程有两个正根，所以所以0<m≤1，所以方程有两个正根的充要条件是0<m≤1，故C正确；对于D，如果方程有一个正根和一个负根，则所以m<0，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是m<0，故D正确.故选BCD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 10.若“∃x∈，sin x<m”是假命题，则实数m的最大值为______.  因为“∃x∈，sin x<m”是假命题，所以“∀x∈，m≤sin x”是真命题，即m≤sin x对于∀x∈恒成立，所以m≤ (sin x)min，因为y=sin x在上单调递增，所以x=－时，y=sin x最小，其最小值为y=sin =－sin =－，所以m≤－，所以实数m的最大值为－. － 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 11.已知p：|x－1|>2，q：x2－2x+1－a2≥0(a>0)，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________.  (0，2] 由题可得p：x>3或x<－1，q：x2－2x+1－a2≥0⇔·≥0，因为a>0，所以1－a<1+a，解得x≥1+a或x≤1－a.因为q是p的必要不充分条件，所以解得0<a≤2，所以实数a的取值范围是(0，2]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 12.(开放题)写出一个使命题“∃x∈(2，3)，mx2－mx－3>0”成立的充分不必要条件____________________(用m的值或范围作答).  m=1(答案不唯一) 当x∈(2，3)时，易知x2－x=－∈.又∃x∈，mx2－mx－3>0⇔∃x∈，m>⇔m>，x∈⇔m>.显然m=1⇒m>，m>⇏m=1，故“m=1”是命题“∃x∈(2，3)，mx2－mx－3>0”成立的充分不必要条件. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 13.(数学文化)南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1，S2，则“S1，S2不总相等”是“V1，V2不相等”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 命题：如果“S1，S2不总相等”，那么“V1，V2不相等”的等价命题是：如果“V1，V2相等”，那么“S1，S2总相等”.根据祖暅原理，当两个截面的面积S1，S2总相等时，这两个几何体的体积V1，V2相等，所以逆命题为真，故是必要条件；当两个三棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积相等，但截得截面面积未必相等，故不是充分条件，所以“S1，S2不总相等”是 “ V1，V2不相等”的必要不充分条件. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 14.(多选)(2025·山西吕梁模拟)下列说法正确的是 A．命题“∀x>1，x2<1”的否定是“∃x≤1，x2≥1” B．“a>10”是“<”的充分不必要条件 C．若函数f的定义域为，则函数f的定义域为 D．记A，B为函数f=图象上的任意两点，则f> √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 对于A， “∀x>1，x2<1”的否定为“∃x>1，x2≥1”，故A错误；对于B，由<，得>0，故a>10或a<0，因此“a>10”是“<”的充分不必要条件，故B正确；对于C，f中，0≤x≤2，f中，0≤2x≤2，即0≤x≤1，故C正确；对于D，f==，因为－=－=≥0，因为x1≠x2，所以>>0，所以>，所以f>，故D正确.故选BCD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 15.(多选)设定义在[1，6]上的函数f(x)=x+，则 A．对任意a，b，c∈[1，6]，f(a)，f(b)，f(c)均能作为一个三角形的三条边长 B．存在a，b，c∈[1，6]，使得f(a)，f(b)，f(c)不能作为一个三角形的三条边长 C．对任意a，b，c∈[1，6]，f(a)，f(b)，f(c)均不能成为一个直角三角形的三条边长 D．存在a，b，c∈[1，6]，使得f(a)，f(b)，f(c)能成为一个直角三角形的三条边长 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 函数f(x)=x+在[1，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，f(x)min=f(2)= 4，f(x)max=f(6)=.对任意a，b，c∈[1，6]，不妨令f(a)≥f(b)≥f(c)，则f(b)+f(c)≥2f≥2f(x)min>f(x)max≥f，即f(a)，f(b)，f(c)均能作为一个三角形的三条边长，A正确，B错误；取a=b=2，c=2+2，满足a，b，c∈[1，6]，则f=f=4，f=4，显然有[f(a)]2+[f(b)]2=[f(c)]2，即存在以f(a)，f(b)，f(c)为边的三角形是直角三角形，C错误，D正确.故选AD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 16.(新角度)(多选)(2025·河南开封模拟)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一.用其名字命名的高斯取整函数为f=表示不超过x的最大整数，例如=－4，=2.下列命题中正确的有 A．∃x∈R，f=x－1 B．∀x∈R，n∈Z，f=f+n C．∀x，y>0，f+f=f D．∃n∈N+，f+f+f+…+f=92 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 返回 对于A，当x∈Z时，f(x)=x，当x∉Z时，f(x)∈Z，而x－1∉Z，因此f(x)≠x－1，故A错误；对于B，∀x∈R，n∈Z，令f(x)=m，则m≤x<m+1，m+n≤x+n<m+n+1，因此f(x+n)=m+n=f(x)+n，故B正确；对于C，取x=，y=2，0<lg 2<1，则f=－1，f(lg 2)=0，f=f(0)=　0，显然f+f(lg 2)≠f，故C错误；对于D，n∈N+，当1≤n≤9时，f(lg n)=0，当10≤n≤99时，f(lg n)=1，而f(lg 100)=2，因此f(lg 1)+f(lg 2)+f(lg 3)+…+f(lg 99)+f(lg 100)=92，此时n=100，故D正确.故选BD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 常用逻辑用语 $