第一章 5 教材拓展1 基本不等式链与柯西不等式（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（湘教版）

该高中数学讲义聚焦基本不等式链与柯西不等式两大高考核心考点，以“知识梳理-真题解析-分层训练”为主线系统架构内容，通过对比调和、算术、几何、平方平均数关系构建不等式链逻辑体系，结合2022新高考Ⅱ卷真题深度剖析考点应用，配套基础对点练与能力提升题，助力学生突破不等式求最值难点。 资料创新融合几何直观与代数推理，如利用半圆模型证明不等式链培养数学眼光，通过柯西不等式多维形式应用训练数学思维，设置“真题精讲-方法总结-即时反馈”教学环节，确保学生在有限时间内掌握高考高频题型解法，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供高效教学支持。

　基本不等式链与柯西不等式 题型一　基本不等式链 若a>0，b>0，则≤≤≤，当且仅当a=b时，等号成立，其中和分别叫作a，b的调和平均数和平方平均数.其几何表示及几何证明如下：如图，在半圆O中，设AC=a，BC=b，且CD⊥AB，CE⊥OD，OF⊥AB， 则R=OD=OF=，OC=R-b=，CF==，在Rt△ADB中，由射影定理得CD=，在Rt△OCD中，由射影定理得CD2=DE·OD，所以DE===，由图可知，DE≤CD≤OD=OF≤CF(当且仅当D与F重合，即a=b时，等号成立)，即不等式≤≤≤(a>0，b>0)成立(当且仅当a=b时，等号成立). (多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y满足x2+y2-xy=1，则 (　　) A．x+y≤1 B．x+y≥-2 C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1 答案：BC 解析：对于选项A，B，由x2+y2-xy=1，得(x+y)2-3xy=1，又xy=-，所以-3=1，即1=+≥，所以-2≤x+y≤2，所以A不正确，B正确；对于选项C，D，由x2+y2-xy=1，得x2+y2-1=xy≤，当且仅当x=y时取等号，所以x2+y2≤2，取x=，y=-，则x2+y2-xy=1满足题意，此时，x2+y2=<1，所以C正确，D不正确.故选BC． (多选)设正实数a，b满足a+b=1，则 (　　) A．有最大值 B．+有最小值3 C．a2+b2有最小值 D．+有最大值 答案：ACD 解析：对于A，由基本不等式可得≤=，当且仅当a=b=时等号成立，故A正确；对于B，由≤==，得+≥，当且仅当a+2b=2a+b，即a=b=时等号成立，故B错误；对于C，由≥=，得a2+b2≥，当且仅当a=b=时等号成立，故C正确；对于D，由≤=，得+≤，当且仅当a=b=时等号成立，故D正确.故选ACD． 利用不等式链求最值、证明不等式等，其关键是要对其灵活变形. 对点练1.已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是 (　　) A． B．+ C． D． 答案：B 解析：因为a，b为互不相等的正实数，所以+><=<< =<，所以最大的是+.故选B． 对点练2.若a>0，b>0，且a+2b=3，则a2+4b2的最小值等于　　　，+的最大值等于　　　.  答案：　 解析：由基本不等式≤，可得≥，所以a2+4b2≥，当且仅当a=2b=时等号成立.≤ =，所以+≤，当且仅当a=2b=时等号成立. 题型二　 柯西不等式 1.二维形式的柯西不等式 若a，b，c，d都是实数，则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，当且仅当ad=bc时，等号成立. 2.三维形式的柯西不等式 (++)(++)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2，当且仅当==时，取等号. (1)设x，y∈R，且2x+3y=13，则x2+y2的最小值为　　　　.  (2)若a，b，c为正实数，且a+b+c=1，则++的最大值为　　　　.  答案：(1)13　(2) 解析：(1)由柯西不等式，得(22+32)(x2+y2)≥(2x+3y)2=132，所以x2+y2≥13，当且仅当=，即x=2，y=3时取等号. (2)由柯西不等式，得(++)2≤(a+b+c)(1+1+1)=3，所以当且仅当a=b=c=时，++的最大值为. 对点练3.若实数x+2y+3z=1，则x2+y2+z2的最小值为 (　　 ) A．14 B． C．29 D． 答案：B 解析：由柯西不等式，得(x2+y2+z2)(1+4+9)≥(x+2y+3z)2=1，即x2+y2+z2≥，当且仅当x=，y=，z=时等号成立.故选B． 对点练4.当<x<时，函数y=+的最大值为　　　　.  答案：2 解析：法一：由柯西不等式，得[()2+()2](1+1)≥(+)2，所以(+)2≤8，即+≤2，当且仅当=，即x=时等号成立. 法二： 由≤ ，得a+b≤2，则y=+≤2=2，当且仅当=，即x=时等号成立. 学生用书⬇第14页 学科网（北京）股份有限公司 $