课时测评84 二项式定理（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

课时测评84　二项式定理 (时间：50分钟　满分：75分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—10题，每小题5分，共50分) 1.(2024·北京卷)在的展开式中，x3的系数为(　　) A.6 B.－6 C.12 D.－12 答案：A 解析：的展开式的通项为Tk＋1＝x4－k＝的通项，令4－＝3，解得k＝2，故所求即为＝6.故选A. 2.＋2＋4＋…＋2n－1＝(　　) A.3n B.2·3n C.－1 D. 答案：D 解析：＋2＋4＋…＋2n－1＝(21＋22＋23＋…＋2n)＝(20＋21＋22＋23＋…＋2n)－＝－＝.故选D. 3.(2022·八省适应性测试)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9 的展开式中x2 的系数是(　　) A. 60 B. 80 C. 84 D. 120 答案：D 解析：因为(1＋x)n 的展开式的通项为Tk＋1＝xk ，所以(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9 的展开式中x2 的系数是＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝…＝＋＝＝＝120(组合数性质＝＋ ，n，m ∈N*，且m≤n 的应用).故选D. 4.(2024·湖北武汉四调)的展开式中x3的系数为(　　) A. －50 B. －10 C. 10 D. 50 答案：A 解析：展开式的通项为Tk＋1＝x5－k，则T3＝10x3，T4＝－10x2，故(2x－3)(x－1)5的展开式中x3的系数为2×＋×10＝－50.故选A. 5.二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为(　　) A.3 B.5 C.6 D.7 答案：D 解析：根据的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20，所以的展开式的通项为Tk＋1＝··＝··，要使x的指数是整数，需k是3的倍数，所以k＝0，3，6，9，12，15，18，所以x的指数是整数的项共有7项.故选D. 6.(多选)(2025·江西重点中学盟校第一次联考)在的展开式中(　　) A. 二项式系数之和为32 B. 第3项的系数最大 C.所有项系数之和为－1 D. 不含常数项 答案：ABD 解析：由于二项式系数之和为＋＋…＋＝25＝32，故A正确；设展开式第k＋1项为Tk＋1＝(2x)5－k＝(－1)k··25－k·x5－2k，k＝0，1，2，…，5，易知T2，T4，T6的系数均小于0，且T1＝32x5，T3＝80x，T5＝10x－3，故第3项的系数最大，为80，故B正确；令x＝1得所有项系数之和为15＝1，故C错误；当5－2k＝0，则k＝，但k＝∉{0，1，2，3，4，5}，故展开式不含常数项，故D正确.故选ABD. 7.(多选)已知(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5，则(　　) A.a0＝－32 B.a2＝－80 C.a3＋4a4＝0 D.a0＋a1＋…＋a5＝1 答案：ABC 解析：令x＝－1，得(－1－1)5＝a0，即a0＝－32，故A正确；令x＝0，得＝a0＋a1＋…＋a5，即a0＋a1＋…＋a5＝－1，故D不正确；令x＋1＝y，则原式就变为(y－2)5＝a0＋a1y＋a2y2＋…＋a5y5，根据二项式定理知，a2即二项式(y－2)5的展开式中y2的系数，Tk＋1＝y5－k，故a2＝＝－80，故B正确；a4＝＝－10，a3＝＝40，所以a3＋4a4＝0，故C正确.故选ABC. 8.(2024·山东泰安模拟)已知二项式(n∈N*)展开式中含有常数项，则n的最小值为　　　　. 答案：6 解析：二项式( x＋)n(n∈N*)展开式的通项为Tk＋1＝xn－k＝xn－6k(n∈N*，k∈N)，因为二项式( x＋)n(n∈N*)展开式中含有常数项，所以n－6k＝0有解，所以n＝6k，则当k＝1时，n最小，且最小值为6. 9.(双空题)(2022·浙江卷)已知多项式(x＋2)(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝　　　　，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝　　　　. 答案：8　 －2 解析：由多项式展开式可知，a2＝2(－1)2＋(－1)3＝12－4＝8.令x＝0 可得a0＝2 ，令x＝1 可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0 ，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2 . 10.(2025·江苏连云港阶段性调研)设n为正整数，展开式的二项式系数的最大值为x，展开式的二项式系数的最大值为y，若9x＝5y，则n＝　　　　. 答案：4 解析：由展开式的二项式系数的最大值为x，则有x＝，由展开式的二项式系数的最大值为y，则有y＝，由9x＝5y，故有9＝5，即9×＝5×，即9×＝5×，即9(n＋1)＝5，解得n＝4. (11—13题，每小题5分，共15分) 11. (2025·山东德州二模)展开式中x2y－2的系数为(　　) A. －840 B. －420 C. 420 D. 840 答案：C 解析：现有8个相乘，从每个中的三项1，x，－各取一项相乘时，若结果为x2y－2的常数倍，则所取的8项中有4个1，2个x，2个－.所以总的选取方法数目就是··＝70×6×1＝420，x2y－2的系数就是全部的选取数420.故选C. 12.(多选)(2025·河北沧州模拟)已知＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025，则(　　) A.展开式中所有项的二项式系数和为22 025 B.展开式中系数最大项为第1 352项 C.a1＋a3＋a5＋…＋a2 025＝ D.＋＋＋…＋＝－1 答案：AD 解析：易知(1－2x)2 025的展开式中所有项的二项式系数和为22 025，故A正确；由二项式通项，知Tk＋1＝＝xk，所以第1 352项的系数为＜0，所以第1 352项不是系数最大项，故B错误；当x＝1时，有a0＋a1＋a2＋…＋a2 025＝－1　①，当x＝－1时，有a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 024－a2 025＝32 025　②，可得，a1＋a3＋a5＋…＋a2 025＝－，故C错误；当x＝0时，a0＝1，当x＝时，a0＋＋＋＋…＋＝0，所以＋＋＋…＋＝－a0＝－1，故D正确.故选AD. 13.已知S＝230＋229＋228＋…＋2，则S除以10所得的余数为　　　　. 答案：8 解析：S＝230＋229＋228＋…＋2＝－1＝915－1＝－1＝×1015×＋×1014×＋…＋×10×＋×－1＝×1015×＋×1014×＋…＋×10×－2，所以S除以10所得的余数为8. (14、15题，每小题5分，共10分) 14.(2025·湖南常德模拟)已知(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8＋a9(x－1)9，则a0＋2a1＋3a2＋…＋9a8＋10a9＝(　　) A.9 B.10 C. 18 D. 19 答案：D 解析：由(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8＋a9(x－1)9得，(x－1)(2x－3)9＝a0(x－1)＋a1(x－1)2＋a2(x－1)3＋…＋a8(x－1)9＋a9(x－1)10，分别对两边进行求导得，(2x－3)9＋18(x－1)(2x－3)8＝a0＋2a1(x－1)＋3a2(x－1)2＋…＋9a8(x－1)8＋10a9(x－1)9，令x＝2，得(2×2－3)9＋18(2－1)(2×2－3)8＝a0＋2a1＋3a2＋…＋9a8＋10a9，得a0＋2a1＋3a2＋…＋9a8＋10a9＝19.故选D. 15.(2023·上海卷)已知(1＋2 023x)100＋(2 023－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，其中a0，a1，a2，…，a100∈R，若0≤k≤100且k∈N，当ak＜0时，k的最大值为　　　　. 答案：49 解析：xk的系数为ak＝2 023k＋2 023100－k·(－1)k＝2 023k[1＋2 023100－2k(－1)k]，k＝0，1，2，…，100，要使ak＜0，则k必为奇数，且2 023100－2k＞1，所以100－2k＞0，即k＜50，所以k的最大值为49. 学科网（北京）股份有限公司 $