课时测评56 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

课时测评56　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 (时间：60分钟　满分：85分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—10题，每小题5分，共50分) 1.下列说法中正确的是(　　) A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 答案：D 解析：对于A，如图①所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各个面都是三角形，但它不是三棱锥，故A错误；对于B，如图②③所示，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥，故B错误；对于C，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由过中心和定点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故C错误；对于D，根据圆锥母线的定义知，D正确.故选D. 2.如图是用斜二测画法画出的水平放置的△AOB的直观图(图中虚线分别与x'轴、y'轴平行)，则原图形△AOB的面积是(　　) A.8 B.16 C.32 D.64 答案：C 解析：根据题意，如图，原图形△AOB的底边OB的长为4，高为16，所以其面积S＝×4×16＝32.故选C. 3.(2024·北京东城一模)《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为20 cm，高为20 cm.首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为2 cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份(如图)，等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的粘土量(不计损耗)与下列哪个数字最接近.(参考数据：π≈3.14)(　　) A.0.8 m3 B.1.4 m3 C.1.8 m3 D.2.2 m3 答案：B 解析：由条件可得四片瓦的体积V＝π×122×20－π×102×20＝880π(cm3)，所以500名学生每人制作4片瓦共需粘土的体积为500×880π＝440 000π(cm3)，又π≈3.14，所以共需粘土的体积约为1.381 6 m3.故选B. 4.(2023·全国乙卷)已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝120°，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为(　　) A.π B.π C.3π D.3π 答案：B 解析：在△AOB中，∠AOB＝120°，而OA＝OB＝，取AB的中点C，连接OC，PC，有OC⊥AB，PC⊥AB，如图，所以∠ABO＝30°，OC＝，BC＝，AB＝2BC＝3，由△PAB的面积为，得×3×PC＝，解得PC＝，于是PO＝＝＝，所以圆锥的体积V＝π×OA2×PO＝π×()2×＝π.故选B. 5.如图①所示，在高为h的直三棱柱容器ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝2，AB⊥AC.现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好在平面A1B1C内(如图②)，则容器的高h为(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 答案：B 解析：结合题图②知＝h，故＝－＝h－h＝h，所以题图①中容器的高度与水深之比为3∶2，又水深为2，则h＝3.故选B. 6.(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为45°，则(　　) A.该圆锥的体积为π B.该圆锥的侧面积为4π C.AC＝2 D.△PAC 的面积为 答案：AC 解析：依题意，∠APB＝120°，PA＝2，所以OP＝1，OA＝OB＝，对于A，圆锥的体积为×π×()2×1＝π，故A正确；对于B，圆锥的侧面积为π××2＝2π，故B错误；对于C，如图，设D是AC的中点，连接OD，PD，则AC⊥OD，AC⊥PD，所以∠PDO是二面角P-AC-O的平面角，则∠PDO＝45°，所以OP＝OD＝1，故AD＝CD＝＝，则AC＝2，故C正确；对于D，PD＝＝，所以S△PAC＝×2×＝2，故D错误.故选AC. 7.(多选)攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.如图为四角攒尖，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°.若取θ＝30°，侧棱长为 米，则(　　) A.正四棱锥的底面边长为6米 B.正四棱锥的底面边长为3米 C.正四棱锥的侧面积为24 平方米 D.正四棱锥的侧面积为12 平方米 答案：AC 解析：如图，在正四棱锥S-ABCD中，O为正方形ABCD的中心，H为AB的中点，则SH⊥AB，设底面边长为2a.因为∠SHO＝30°，所以OH＝AH＝a，OS＝a，SH＝a.在Rt△SAH中，a2＋＝21，解得a＝3，所以正四棱锥的底面边长为6米，侧面积为S＝×6×2×4＝24(平方米).故选AC. 8.(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB，记三棱锥E-ACD，F-ABC，F-ACE的体积分别为V1，V2，V3，则(　　) A.V3＝2V2 B.V3＝V1 C.V3＝V1＋V2 D.2V3＝3V1 答案：CD 解析：设AB＝ED＝2FB＝2，则V1＝××2×2×2＝，V2＝××2×2×1＝.连接BD交AC于M，连接EM，FM(图略)，则FM＝，EM＝，EF＝3，FM2＋EM2＝EF2，故△EMF是直角三角形，故S△EMF＝××＝，V3＝S△EMF×AC＝2，V3＝V1＋V2，2V3＝3V1.故选CD. 9.如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点M，N到容器底部的距离分别是10和16，则容器内液体的体积是　　　　. 答案：39π 解析：将含液体部分的几何体补成如图所示的圆柱，过M作底面的平行平面，与过N的母线交于点S，连接MS，由题意知∠MNS＝30°，则MS＝6×＝2，故圆柱的底面半径为，则容器内液体的体积为×(10＋16)×π×()2＝13×π×3＝39π. 10.(2024·天津滨海新区二模)在各棱长均为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中，上下底面的中心分别为D，H，三个侧面的中心分别为E，F，G，若在该三棱柱中挖去两个三棱锥D -EFG和H-EFG，则剩余部分的体积为　　　　　. 答案： 解析：如图所示，因为三个侧面的中心分别为E，F，G，所以三棱锥D -EFG和三棱锥H-EFG的底面EFG面积为S△ABC，高为正三棱柱的高的一半，故挖去的几何体的体积为2××××2×2sin 60°×1＝，三棱柱的体积为×2×2sin 60°×2＝2，故剩余几何体的体积为2－＝. (11、12题，每小题5分，共10分) 11.(多选)折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图①).图②是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧，所在圆的半径分别是3和9，且∠ABC＝120°，则该圆台的(　　) A.高为4 B.体积为π C.表面积为34π D.上底面面积、下底面面积和侧面面积之比为1∶9∶22 答案：AC 解析：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，则2πr＝×2π×3，2πR＝×2π×9，解得r＝1，R＝3.易知圆台的母线长l＝6，则圆台的高为h＝＝4，故A正确；圆台的体积＝π×4×(32＋3×1＋12)＝π，故B错误；圆台的上底面面积为π，下底面面积为9π，侧面面积为π(1＋3)×6＝24π，则圆台的表面积为π＋9π＋24π＝34π，故C正确；由C选项可知上底面面积、下底面面积和侧面面积之比为1∶9∶24，故D错误.故选AC. 12.在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝4，AA1＝1，则一只小虫从A点沿长方体的表面爬到C1点的最短距离是　　　　. 答案：5 解析：如图所示，长方体ABCD -A1B1C1D1的表面有三种展开方法， 则图①中，AC1＝＝；图②中，AC1＝＝5；图③中，AC1＝＝.所以一只小虫从A点沿长方体的表面爬到C1点的最短距离是5. 13.(15分)如图，矩形O'A'B'C'是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中O'A'＝3，O'C'＝1. (1)求平面四边形OABC的面积；(5分) (2)若四边形OABC以OA为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积.(10分) 解：(1)因为S原图形＝2S直观图， 所以S四边形OABC＝2S矩形O'A'B'C'＝6. (2)平面四边形OABC如图所示，过点O作OD⊥BC交BC于点D，在Rt△ODC中， 有OC2＝OD2＋CD2＝(2)2＋12＝9， 所以OC＝3，所以AB＝3. 如图，分别过点B，C作AO及其延长线的垂线，垂足为E，F. 矩形FEBC绕OA所在直线旋转一周得到一个底面半径r＝OD＝2，母线l1＝BC＝3的圆柱； Rt△BEA绕OA旋转一周得到一个底面半径r＝OD＝2，母线l2＝AB＝3，高h1＝AE＝1的圆锥； Rt△CFO绕OA所在直线旋转一周得到一个底面半径r＝OD＝2，母线l3＝OC＝3，高h2＝OF＝CD＝1的圆锥. 所以旋转形成的几何体为圆柱挖去一个同底的圆锥，再加上一个同底的圆锥构成的组合体. 则旋转形成的几何体的体积即等于圆柱的体积，减去挖去的圆锥体积，加上组合的圆锥的体积， 所以旋转形成的几何体的体积V＝πr2l1－πr2l2＋πr2l3＝π×(2)2×3－π×(2)2×1＋π×(2)2×1＝24π. 旋转形成的几何体的表面积即圆柱的侧面积，加上两个圆锥的侧面积之和， 所以S＝2πrl1＋πrl2＋πrl3＝2π×2×3＋π×2×3＋π×2×3＝24π. (14、15题，每小题5分，共10分) 14.(多选)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，侧面AA1C1C的中心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点，下列判断正确的是(　　) A.直三棱柱的侧面积是4＋2 B.直三棱柱的体积是 C.三棱锥E-AA1O的体积为定值 D.AE＋EC1的最小值为2 答案：ACD 解析：因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，所以△ABC和△A1B1C1是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2＋×2＝4＋2，故A正确；直三棱柱的体积V＝S△ABC·AA1＝×1×1×2＝1，故B不正确；如图所示，因为BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱BB1上的一个动点，所以点E到平面AA1C1C的距离为定值，即三棱锥E-AA1O的高为定值，＝××2＝，所以＝××＝，为定值，故C正确；由该棱柱的侧面展开图易知(图略)，AE＋EC1的最小值为＝＝2，故D正确.故选ACD. 15.(双空题)如图，一个正三棱锥P-ABC的底面边长为1，高为2，则此三棱锥的体积为　　　　.若一个正三棱柱A1B1C1-A0B0C0的顶点A1，B1，C1分别在该三棱锥的三条棱上，A0，B0，C0在该三棱锥的底面ABC上，则此三棱柱侧面积的最大值为　　　　. 答案： 解析：由三角形面积公式可得S△ABC＝×1×1×sin 60°＝.设三棱锥P-ABC的高为h，VP-ABC＝S△ABC·h＝××2＝.由题意得，三棱锥P-A1B1C1为正三棱锥，设其高为h1，则A1A0＝2－h1.设A1B1＝x(0＜x＜1)，则C1B1＝C1A1＝x，由相似知识得，＝，故h1＝2x，则A1A0＝2－h1＝2－2x.三棱柱的侧面积S＝3x(2－2x)＝－6＋.因为0＜x＜1，所以当x＝时，三棱柱的侧面积取得最大值，最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $