课时测评37 三角函数中ω的求解（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

课时测评37　三角函数中ω的求解 (时间：45分钟　满分：75分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—10题，每小题5分，共50分) 1.已知函数f(x)＝sin＋cos ωx(ω＞0)，f＝0，f＝，且的最小值为π，则ω的值为(　　) A. B. C.1 D.2 答案：B 解析：f＝sin ωx＋cos ωx＝sin(ωx＋)，是函数的最大值，由题意可知，的最小值是个周期，所以×＝π，得ω＝.故选B. 2.若函数f＝sin在区间上单调递增，则ω的最大值是(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：令－＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z，结合ω＞0得－＋≤x≤＋，k∈Z，取k＝0，得－≤x≤.因为函数f在区间上单调递增，所以π≤， 得0＜ω≤，故ω的最大值为.故选C. 3.若函数f＝sin在区间上恰有两条对称轴，则实数ω的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：f＝sin(ω＞0)，令ωx＋＝kπ＋，k∈Z，则x＝，k∈Z，函数f在区间[0，π]上有且仅有2条对称轴，即0≤≤π有2个整数k符合，0≤≤π，得0≤≤1⇒0≤1＋4k≤4ω，则k＝0，1，即1＋4×1≤4ω＜1＋4×2，所以≤ω＜.故选D. 4.若函数f(x)＝sin(ω＞0)在[0，π]上的值域为，则ω的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：因为0≤x≤π，且ω＞0，所以－≤ωx－≤ωπ－，而f(x)在[0，π]上的值域为，f(0)＝sin＝－，所以≤ωπ－≤，整理可得≤ω≤，所以ω的最小值为.故选A. 5.已知函数f(x)＝sin2＋sin ωx－(ω＞0)，x∈R.若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则实数ω的取值范围是(　　) A.(0，］ B.(0，］∪［，1) C.(0，］ D.(0，］∪［，］ 答案：D 解析：f(x)＝(1－cos ωx)＋sin ωx－＝sin(ωx－)，因为x∈(π，2π)，所以ωx－∈(ωπ－，2ωπ－).因为f(x)在(π，2π)内无零点，故≥π，即0＜ω≤1，且(k∈Z).当k＝－1时，解得ω∈(0，］；当k＝0时，解得ω∈［，］，当k＜－1或k≥1时，不满足题意，故ω∈(0，］∪［，］.故选D. 6.(多选)已知函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为x＝，则ω的值可能是(　　) A. B. C.1 D. 答案：ACD 解析：由题意得所以所以ω＝，1，.故选ACD. 7.(多选)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，下列说法中正确的是(　　) A.若ω＝1，则f(x)在(0，)上是增函数 B.若f＝f，则正整数ω的最小值为2 C.若ω＝2，则把函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度所得到的图象关于原点对称 D.若f(x)在(0，π)上有且仅有3个零点，则＜ω≤ 答案：BD 解析：对于A，若ω＝1，则f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin＝2sin，因为x∈，所以x＋∈，不是单调区间，故A错误；对于B，若f＝f，则f(x)的图象关于x＝对称，所以ω·＋＝＋kπ，k∈Z，解得ω＝6k＋2，k∈Z，当k＝0时，正整数ω取得最小值为2，故B正确；对于C，若ω＝2，则f(x)＝2sin(2x＋)，其图象向右平移个单位长度后可得y＝2sin［2(x－)＋］＝2sin的图象，该函数不是奇函数，则图象不关于原点对称，故C错误；对于D，当x∈(0，π)时，ωx＋∈，所以3π＜ωπ＋≤4π，解得＜ω≤，故D正确.故选BD. 8.已知函数f＝sin (ω＞0)在区间上有且仅有2个不同的零点，则实数ω的取值范围为　　　　. 答案： 解析：当x∈时，ωx－∈，函数有且仅有2个不同的零点，则π＜ωπ－≤2π，解得ω∈. 9.若函数f＝sin ωx，x∈，且≤，则实数ω的取值范围是　　　　　　　. 答案：∪ 解析：若＝1，则＝＋kπ，所以ω＝＋3k；若＜1，则＜⇒＜⇒－＜ω＜，所以实数ω的取值范围为∪. 10.(2025·安徽宿州模拟)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ∈(0，2π))的一条对称轴为直线x＝－，且f(x)在上单调，则ω的最大值为　　　　. 答案： 解析：函数y＝sin(ωx＋φ)的对称轴可表示为x＝－，由f(x)在上单调，可得∃k0∈Z，使得解得k0≤ω≤，又因为ω＞0，所以k0＝0，1，2，3，所以当k0＝3时，ω可取最大值为. (11—13题，每小题5分，共15分) 11.已知定义在R上的奇函数f＝2sin (ω＞0，0＜φ＜2π)满足f＝f，若当ω取最小值时，f在区间上是单调函数，则m的最大值为(　　) A.π B. C. D. 答案：C 解析：因为f(x)＝sin(ωx＋φ)为奇函数，且0＜φ＜2π，所以φ＝π，f(x)＝－sin ωx.由f(＋x)＝f(－x)可知f(x)关于x＝对称，所以＝＋kπ，k∈Z，所以ω＝2＋4k，k∈Z.因为ω＞0，所以ω的最小值为2.当ω＝2时，由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以，此时f在区间上单调，又因为f在区间上是单调函数，所以0＜m≤，所以m的最大值为.故选C. 12.(2024·湖北武汉模拟)若函数f＝3cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则实数φ的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：由函数f(x)的最小正周期为π，得＝π，而ω＜0，解得ω＝－2，则f(x)＝3cos(－2x＋φ)＝3cos(2x－φ)，由2kπ≤2x－φ≤2kπ＋π，k∈Z，得2kπ＋φ≤2x≤2kπ＋π＋φ，k∈Z，又f(x)在(－，)上单调递减，因此2kπ＋φ≤－，且≤2kπ＋π＋φ，k∈Z，解得－－2kπ≤φ≤－－2kπ，k∈Z①，由余弦函数的零点，得2x－φ＝nπ＋，n∈Z，即2x＝nπ＋＋φ，n∈Z，而f(x)在(0，)上存在零点，则0＜nπ＋＋φ＜，n∈Z，于是－nπ－＜φ＜－nπ－，n∈Z②，又－＜φ＜，联立①②解得－＜φ≤－，所以实数φ的取值范围是(－，－］.故选B. 13.(多选)已知函数f＝sin (ω＞0)是在区间上的单调减函数，其图象关于直线x＝－对称，且f＋f＝0，则ω的值可以是(　　) A.4 B.12 C.2 D.8 答案：AB 解析：因为函数f＝sin 的图象关于直线x＝－对称，所以－ω·＋φ＝＋nπ，n∈Z，所以φ＝π，n∈Z，根据＜x＜，则＜ωx＜，＋φ＜ωx＋φ＜＋φ，因为f＝sin 是在区间上的单调减函数，所以⇔⇔12≤ω≤6，n∈Z，k∈Z，因为ω＞0，所以2k－n＝0或2k－n＝1，当2k－n＝0时，0＜ω≤6，当2k－n＝1时，ω＝12；由于＜＜＜，f＝sin是在区间上的单调减函数，且f＋f＝0，所以f［＋)］＝f＝0，所以ω×＋φ＝π，m∈Z，ω×＋π＝π，m∈Z，n∈Z，ω＝8＋4，m∈Z，n∈Z，根据0＜ω≤6或ω＝12，可得ω＝4，或ω＝12.故选AB. (14、15题，每小题5分，共10分) 14.设ω∈R，函数f＝g＝ωx.若f(x)在上单调递增，且函数f与g(x)的图象有三个交点，则实数ω的取值范围是(　　) A. B. C. D.∪ 答案：B 解析：当x∈时，ωx＋∈，因为f(x)在上单调递增，所以解得≤ω≤，若在x∈上函数f与g(x)的图象有两个交点， 即方程x2＋4ωx＋＝ωx在x∈上有两个不同的实数根，即方程3x2＋6ωx＋1＝0在x∈上有两个不同的实数根，所以解得ω＞.当ω∈时，当x≥0时，令f(x)－g＝2sin(ωx＋)－ωx，由f－g＝1＞0，当ωx＋＝时，ωx＝，此时，f－g＝2－＜0，结合图象，所以x≥0时，函数f与g(x)的图象只有一个交点，综上所述，ω∈.故选B. 15.(2025·浙江绍兴模拟)已知“＜x＞”表示小于x的最大整数，例如＜5＞＝4，＜－2.1＞＝－3.若sin ωx＝＜x＞恰好有四个解，那么实数ω的取值范围是　　　　　　　　　　. 答案：∪∪ 解析：当ω＞0时，如图为满足题意的两种情况： 即或＝1，解得ω∈∪；当ω＜0时，如图： 则解得ω∈.综上，实数ω的取值范围是∪［2π，)∪. 学科网（北京）股份有限公司 $