课时测评22 导数与函数的极值、最值（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

课时测评22　导数与函数的极值、最值 (时间：60分钟　满分：88分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8题，每小题5分，共40分) 1.已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f'(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解析：由函数极值的定义和导函数的图象可知，f'(x)在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x＝0不是函数f(x)的极值点.其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个.故选B. 2.已知函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f(x)的极大值为(　　) A.2 B.－ C.3＋ln 2 D.－2＋2ln 2 答案：B 解析：f'(x)＋2ax－3，因为f(x)在x＝2处取得极小值，所以f'(2)＝4a－2＝0，解得a，所以f(x)＝2ln x＋x2－3x，f'(x)＋x－3，所以f(x)在(0，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以f(x)的极大值为f(1)－3＝－.故选B. 3.(2022·全国乙卷)函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为(　　 ) A.－， B.－， C.－，＋2 D.－，＋2 答案：D 解析：f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1，x∈[0，2π]，则f'(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)cos x＝(x＋1)cos x，x∈[0，2π].令f'(x)＝0，解得x＝－1(舍去)或x或x.因为fcos ＋sin ＋1＝2＋，fcos ＋sin ＋1＝－，又f(0)＝cos 0＋(0＋1)sin 0＋1＝2，f(2π)＝cos 2π＋(2π＋1)sin 2π＋1＝2，所以f(x)max＝f2＋，f(x)min＝f－.故选D. 4.(2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f(x)＝aln x＋取得最大值－2，则f'(2)＝(　　 ) A.－1 B.－ C. D.1 答案：B 解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，依题意可知而f'(x)－，所以即所以f'(x)＝－＋，因此函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，当x＝1时取最大值，满足题意.所以f'(2)＝－1＋－.故选B. 5.(多选)下列说法正确的是(　　) A.f(x)＝x＋的最小值为1 B.f(x)(x＞0)的最小值为1 C.f(x)＝x－ln x(x＞0)的最小值为1 D.f(x)＝x(x＞0)的最小值为1 答案：AC 解析：f(x)＝x＋，f'(x)＝1－，函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)的最小值为f(0)＝1，故A正确；f(x)(x＞0)，f'(x)，函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)的最小值为f(1)＝e，故B错误；f(x)＝x－ln x(x＞0)，f'(x)＝1－，函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)的最小值为f(1)＝1，故C正确；f(x)＝x(x＞0)，f'(x)＋x·，函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)的最小值为f(1)＝e，故D错误.故选AC. 6.(多选)(2024·湖南永州一模)对于函数f(x)，则(　　) A.f(x)有极大值，没有极小值 B.f(x)有极小值，没有极大值 C.函数f(x)与y＝－x＋2的图象有两个交点 D.函数g(x)＝f(x)－有两个零点 答案：AD 解析：由题意得f'(x)－，因为ex＞0在x∈R恒成立，所以当x＞0时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；当x＜0时，f'(x)＞0，f(x)单调递增， 所以f(x)在x＝0处有极大值，没有极小值，故A正确，B错误；根据f(x)的单调性，画出函数f(x)及y＝－x＋2的图象，如图①所示： 由图可知，函数f(x)与y＝－x＋2的图象只有一个交点，故C错误；函数g(x)＝f(x)－的零点个数即为函数f(x)与y的图象交点个数，画出函数f(x)及y的图象，如图②所示：由图可知，函数f(x)与y的图象有两个交点，即函数g(x)＝f(x)－有两个零点，故D正确.故选AD. 7.(开放题)写出一个存在极值的偶函数f(x)＝　　　　. 答案：cos x(答案不唯一) 解析：余弦函数f(x)＝cos x为偶函数，且存在极值. 8.甲、乙两地相距240 km，汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为元.为使全程运输成本最小，汽车应以　　　　km/h的速度行驶. 答案：80 解析：设全程运输成本为y元，由题意，得y240，v＞0，y'＝240(－＋).令y'＝0，得v＝80.当v＞80时，y'＞0；当0＜v＜80时，y'＜0.所以函数y(160＋)在(0，80)上单调递减，在(80，＋∞)上单调递增，所以当v＝80时，全程运输成本最小. 9.(13分)已知函数f(x)＝excos x－x. (1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(5分) (2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.(8分) 解：(1)因为f(x)＝excos x－x，所以f'(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f'(0)＝0. 又因为f(0)＝1， 所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1. (2)设h(x)＝f'(x)＝ex－1， 则h'(x)＝ex(cos x－sin x－sin x－cos x)＝－2exsin x. 当x∈时，h'(x)≤0， 所以h(x)在区间上单调递减， 所以对任意x∈有h(x)≤h(0)＝0， 即f'(x)≤0， 所以函数f(x)在区间上单调递减. 因此f(x)在区间上的最大值为f(0)＝1，最小值为f－. (10、11题，每小题5分，共10分) 10.(2025·江苏扬州第二次调研)若函数f(x)＝eax＋2x有大于零的极值点，则实数a的取值范围为(　　) A.a＞－2 B.a＞－ C.a＜－2 D.a＜－ 答案：C 解析：函数f(x)＝eax＋2x，可得f'aeax＋2，若a≥0，f'＞0，此时f单调递增，无极值点，故a＜0，令f'aeax＋2＝0，解得xln(－)，当x＞ln(－)时，f'＞0，当x＜ln(－)时，f'＜0，故xln(－)是f(x)＝eax＋2x的极值点.由于函数f(x)＝eax＋2x有大于零的极值点，所以ln(－)＞0⇒ln(－)＜0⇒0＜－＜1，解得a＜－2.故选C. 11.(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)若函数f(x)＝aln x＋＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　 ) A.bc＞0 B.ab＞0 C.b2＋8ac＞0 D.ac＜0 答案：BCD 解析：函数f(x)＝aln x＋＋的定义域为(0，＋∞)，则f'(x)－－，因为函数f(x)既有极大值也有极小值，则函数f'(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，而a≠0，因此方程ax2－bx－2c＝0有两个不相等的正实数根x1，x2，于是即有b2＋8ac＞0，ab＞0，ac＜0，显然a2bc＜0，即bc＜0，故A错误，B、C、D正确.故选BCD. 12.(15分)(2024·河南洛平许济质检四)已知函数fx－－aln x. (1)当a＝2时，求曲线y＝f在点处的切线方程；(5分) (2)若f有两个极值点b，c，记过两点B，C的直线的斜率为k，是否存在实数a，使k＋a＝2成立？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由.(10分) 解：(1)由题意得，函数f(x)的导函数f'1＋－. 当a＝2时，f'0，f0，即切点为， 所以曲线y＝f在处的切线方程为y－0＝0×，即y＝0. (2)假设存在a，使得k＋a＝2. 由题意可知，b，c是方程f'0的两个不等实数根，即b＋c＝a且bc＝1，不妨令b＞c，则b＞1， 因为k2－，所以由k＋a＝2，得b－－2ln b＝0. 构造函数hx－－2ln x，而h'＞0恒成立， 所以h在上单调递增，即h＞h0. 所以当b＞1时，b－－2ln b＞0恒成立，即b－－2ln b＝0无解. 所以，不存在实数a，使得k＋a＝2. (13、14题，每小题5分，共10分) 13.(2024·江苏南京、盐城一模)(新定义)用min表示x，y中的最小数.已知函数f，则min的最大值为(　　) A. B. C. D.ln 2 答案：C 解析：因为f，所以f'，根据导数易知f在上单调递增，在上单调递减；由题意令ff(x＋ln 2)，即，解得x＝ln 2；作出图象，则min的最大值为两函数图象交点处函数值，为.故选C. 14.(多选)已知函数f(x)＝xln x＋x2，x0是函数f(x)的极值点，以下几个结论中正确的是(　　) A.0＜x0＜ B.x0＞ C.f(x0)＋2x0＜0 D.f(x0)＋2x0＞0 答案：AD 解析：函数f(x)＝xln x＋x2(x＞0)，所以f'(x)＝ln x＋1＋2x，因为x0是函数f(x)的极值点，所以f'(x0)＝0，即ln x0＋1＋2x0＝0，又函数f'(x)＝ln x＋1＋2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f'＞0＝f'，所以0＜x0＜，即A正确，B不正确；f＋2x0＝x0ln x0＋＋2x0＝x0(ln x0＋x0＋2)＝x0(1－x0)＞0，即D正确，C不正确.故选AD. 学科网（北京）股份有限公司 $