课时测评19 函数模型及应用（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

课时测评19　函数模型及应用 (时间：50分钟　满分：58分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—5题，每小题5分，共25分) 1.设甲、乙两地的距离为a(a＞0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(　　) 答案：D 解析：y为小王从出发到返回原地所经过的路程而不是位移，故排除A、C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B.故选D. 2.(2025·陕西榆林模拟预测)“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”(明·《增广贤文》)是勉励人们专心学习的，如果每天的“进步”率都是1％，那么一年后是1.01365；如果每天的“退步”率都是1％，那么一年后是0.99365，一年后“进步”的是“退步”的≈1 481倍.若每天的“进步”率和“退步”率都是20％，则要使“进步”的是“退步”的100倍以上，最少要经过(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　) A.10天 B.11天 C.12天 D.13天 答案：C 解析：设经过x天后，“进步”的是“退步”的100倍以上，则100×≤1.2x，即≥100，所以x≥100≈≈11.36(天).故最少要经过12天.故选C. 3.(2025·浙江绍兴模拟)某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为120°的等腰梯形(如图)，水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为了提高水渠的过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面面积最大时，水渠的深度(即梯形的高)约为(参考数据：≈1.732)(　　) A.0.58米 B.0.87米 C.1.17米 D.1.73米 答案：B 解析：如图，设过水横断面为等腰梯形ABCD，过点B作BE⊥CD于E，∠BAD＝∠ABC＝120°，要使过水横断面面积最大，则此时资金3万元都用完，则100×(AB＋BC＋AD)×100＝30 000，解得AB＋BC＋AD＝3米.设BC＝x，则AB＝3－2x，BEx，CEx，CD＝3－x，且0＜x＜，则梯形ABCD的面积S，当x＝1时，Smax，此时BE≈0.87，即当过水横断面面积最大时，水渠的深度(即梯形的高)约为0.87米.故选B. 4.(多选)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(单位：微克)与时间t(单位：小时)之间的关系近似满足一段曲线，如图所示.据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，对治疗该病有效，则(　　) A.a＝3 B.注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时 C.注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克 D.注射一次治疗该病的有效时间长度为5小时 答案：AD 解析：当t＝1时，y＝4，即4，解得a＝3，且k＝4，所以y故A正确；当4t＝0.125，即t时，药物刚好起效，当0.125，即t＝6时，药物刚好失效，故药物有效时长为6－5小时，药物的有效时间小于6个小时，故B错误，D正确；注射该药物小时后每毫升血液含药量为4×0.5(微克)，故C错误.故选AD. 5.某核电站爆炸导致约8吨的强辐射物严重泄漏，事故所在地被严重污染.主要辐射物是锶90，它每年的衰减率为2.47％，经专家模拟估计，辐射物中锶90的剩余量低于原有的8.46％时，事故所在地才能再次成为人类居住的安全区，则事故所在地至少经过　　　　年才能再次成为人类居住的安全区.参考数据：ln 0.084 6≈－2.47，ln 0.975 3≈－0.03.(结果保留整数) 答案：83 解析：设辐射物中原有的锶90有a(0＜a＜8)吨.经过t年后辐射物中锶90的剩余量为P(t)吨，则P(t)＝a(1－2.47％)t，化简得P(t)＝0.975 3ta，由题意得，0.975 3ta＜0.084 6a，不等式两边同时取对数，得ln 0.975 3t＜ln 0.084 6，即tln 0.975 3＜ln 0.084 6，由参考数据得－0.03t＜－2.47，所以t＞≈82.3，所以事故所在地至少经过83年才能再次成为人类居住的安全区. 6.(13分)某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元.根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P＝4－6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元). (1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益；(5分) (2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？(8分) 解：(1)当x＝128，即甲城市投资128万元时，乙城市投资112万元， 所以f(128)＝4×－6＋×112＋2＝88(万元). 因此，此时公司的总收益为88万元. (2)由题意知，甲城市投资x万元，则乙城市投资(240－x)万元， 依题意得解之得80≤x≤160， 当80≤x＜120，即120＜240－x≤160时， f(x)＝4－6＋32＝4＋26＜26＋16； 当120≤x≤160，即80≤240－x≤120时， f(x)＝4－6＋(240－x)＋2＝－x＋4＋56. 令t，则t∈[2，4]， 所以y＝－t2＋4t＋56＝－(t－8)2＋88. 当t＝8，即x＝128时，y取最大值88. 因为88－(26＋16)＝2×(31－8)＞0， 故f(x)的最大值为88. 因此，当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大，且最大收益为88万元. 7.(15分)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4＜x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年. (1)当0＜x≤20时，求v关于x的函数解析式；(6分) (2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值.(9分) 解：(1)由题意得当0＜x≤4时，v＝2； 当4＜x≤20时，设v＝ax＋b(a≠0)， 显然v＝ax＋b在(4，20]内单调递减， 由已知得解得 所以v＝－x＋. 故函数v (2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得f(x) 当0＜x≤4时，f(x)单调递增， 故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8； 当4＜x≤20时，f(x)＝－x2＋x＝－(x2－20x)＝－＋，f(x)max＝f12.5. 所以当0＜x≤20时，f(x)的最大值为12.5. 即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米. 8.(5分)(多选)(2025·河南郑州一模)溶液酸碱度是通过pH来计量的.pH的计算公式为pH＝－lg，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.例如纯净水中氢离子的浓度为10－7摩尔/升，则纯净水的pH是7.当pH＜7时，溶液呈酸性，当pH＞7时，溶液呈碱性，当pH＝7(例如：纯净水)时，溶液呈中性.我国规定饮用水的pH值在6.5－8.5之间，则下列选项正确的是(　　) (参考数据：取lg 2≈0.3) A.若苏打水的pH是8，则苏打水中的氢离子浓度为10－8摩尔/升 B.若胃酸中氢离子的浓度为2.5×10－2摩尔/升，则胃酸的pH是1.6 C.若海水的氢离子浓度是纯净水的10－1.6倍，则海水的pH是8.6 D.若某种水中氢离子的浓度为4×10－7摩尔/升，则该种水适合饮用 答案：ABC 解析：对于A，若苏打水的pH是8，即pH＝－lg[H＋]＝8，所以10－8，即苏打水中的氢离子浓度为10－8摩尔/升，故A正确；对于B，若胃酸中氢离子的浓度为2.5×10－2摩尔/升，则pH＝－lg(2.5×10－2)＝－lg 2.5－lg 10－2＝2－(lg 10－lg 4)＝1＋2lg 2≈1.6，故B正确；对于C，若海水的氢离子浓度是纯净水的10－1.6倍，则海水的氢离子浓度是10－1.6·10－7＝10－8.6，因此pH＝－lg 10－8.6＝8.6，即海水的pH是8.6，故C正确；对于D，若某种水中氢离子的浓度为4×10－7摩尔/升，则pH＝－lg(4×10－7)＝－lg 4－lg 10－7＝7－2lg 2≈6.4；而6.4不在6.5－8.5范围内，即该种水不适合饮用，故D错误.故选ABC. 学科网（北京）股份有限公司 $