课时测评12 幂函数与几类常见的特殊函数（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

课时测评12　幂函数与几类常见的特殊函数 (时间：60分钟　满分：88分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8题，每小题5分，共40分) 1.若幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为(　　) A.1或3 B.1 C.3 D.2 答案：B 解析：由题意得m2－4m＋4＝1，且m2－6m＋8＞0，解得m＝1.故选B. 2.已知函数f(x)＝x－3，若a＝f(0.60.6)，b＝f(0.60.4)，c＝f(0.40.6)，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a＜c＜b B.b＜c＜a C.b＜a＜c D.c＜a＜b 答案：C 解析：因为0.40.6＜0.60.6＜0.60.4，又y＝f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，所以b＜a＜c.故选C. 3.函数y的图象与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于(　　 ) A.2 B.4 C.6 D.8 答案：D 解析：函数y与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象均关于点(1，0)成中心对称，从图象可知两函数共有8个交点，均关于点(1，0)成中心对称，即横坐标之和等于8.故选D. 4.已知函数f(x)(a∈R)，方程f(x)＝4在[0，＋∞)有两个解x1，x2，记g(a)＝｜x1－x2｜，则下列结论正确的是(　　 ) A.函数f(x)的值域是[0，＋∞) B.若a＝－1，则f(x)的增区间为[－1，0)和[1，＋∞) C.若a＝2，则g(a)＝0 D.若a＝4，则函数f(x)的最小值为2 答案：B 解析：当a＝1时，f(x)，f(－x)f(x)，即f(x)为偶函数，当x＞0时，f(x)＝x＋，则函数f(x)在(0，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，由偶函数性质知f(x)min＝1＋2，故A错误；当a＝－1时，f(－x)f(x)，则f(x)为偶函数，当x∈(0，1)时，f(x)＝－x＋，易知f(x)在(0，1)上单调递减，当x∈[1，＋∞)时，f(x)＝x－，易知f(x)在[1，＋∞)上单调递增，由偶函数对称性知，f(x)的增区间为[－1，0)，[1，＋∞)，故B正确；若a＝2，f(x)，令f(x)＝4时，则x1＝2＋，x2＝2－，此时g(a)＝2，故C错误；若a＝4，则f(x)＝｜x＋｜，当x＞0时，f(x)＝x＋≥24，又函数f(x)为偶函数，所以f(x)最小值为4，故D错误.故选B. 5.(多选)若幂函数f(x)的图象经过点(9，3)，则下列结论中正确的是(　　) A.f(x)为偶函数 B.f(x)为增函数 C.若x＞1，则f(x)＞1 D.若x1＞x2＞0，则f 答案：BCD 解析：若幂函数f(x)＝xα经过点(9，3)，则9α＝3，则α，则幂函数f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数，故B正确；因为函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，关于原点不对称，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；当x＞1时，f(x)＞1，故C正确；函数f(x)的图象如图，其图象在[0，＋∞)上是上凸的，则有不等式＜f成立，故D正确.故选BCD. 6.(多选)对于函数f(x)(x∈R)，下列结论中正确的是(　　 ) A.f(－x＋1)＋f(x－1)＝0 B.当m∈(0，1)时，方程f(x)＝m有唯一实数解 C.函数f(x)的值域为(－∞，＋∞) D.∀x1≠x2，＞0 答案：ABD 解析：因为f(－x)＋f(x)＋0，故f(x)为奇函数，令t＝x－1，即f(－t)＋f(t)＝f(－x＋1)＋f(x－1)＝0，故A正确；当x＞0时，f(x)1－，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝0，f(x)＜1，且f(x)是奇函数，所以f(x)的值域为(－1，1)，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，故B正确，C错误，故对∀x1≠x2，＞0，故D正确.故选ABD. 7.若f(x)，则不等式f(x)＞f(8x－16)的解集是　　　　. 答案： 解析：因为f(x)在定义域[0，＋∞)内为增函数，且f(x)＞f(8x－16)，所以即2≤x＜，所以不等式的解集为. 8.关于函数f(x)＝ax－(ab≠0)有下列四个命题： ①∃a，b∈R，使f(x)关于y轴对称. ②∀a，b∈R，都有f(x)关于原点对称. ③∃a，b∈R，使f(x)在(0，］上单调递减. ④若x＜0，∃a，b∈R，使f(x)有最大值－2. 其中真命题的序号是　　　　. 答案：②③④ 解析：因为f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝－ax＋－f(x)，且ab≠0，故f(x)为奇函数，①错误，②正确；当a＞0，b＜0时，由对勾函数的性质，可知f(x)＝ax－在(0， ］上单调递减，故③正确；又当x＜0时，若a＞0，b＜0，则f(x)在x＝－处取得最大值为a(－)－－2，故④正确.所以真命题的序号为②③④. 9.(13分)若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点(2，)在幂函数g(x)的图象上. (1)求f(x)和g(x)的解析式；(5分) (2)定义h(x)求函数h(x)的最大值及单调区间.(8分) 解：(1)设f(x)＝xα， 因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，所以()α＝2，解得α＝2，即f(x)＝x2. 设g(x)＝xβ， 因为点(2，)在幂函数g(x)的图象上， 所以2β，解得β＝－1，即g(x)＝x－1. (2)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－1的图象，可得函数h(x)的图象如图实线部分所示. 由题意及图象，可知h(x) 根据函数h(x)的解析式及图象，可知函数h(x)的最大值为1，单调递增区间为(0，1]，单调递减区间为(－∞，0)，(1，＋∞). (10、11题，每小题5分，共10分) 10.已知函数f(x)＝x＋(a＞0)在[2，4]上的最大值比最小值大1，则a＝　　　　. 答案：4或6＋4 解析：由对勾函数的性质，可得f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增.①当≤2，即0＜a≤4时，f(x)在[2，4]上单调递增，f(x)max－f(x)min＝f(4)－f(2)＝4＋－2－2－1，解得a＝4；②当≥4，即a≥16时，f(x)在[2，4]上单调递减，f(x)max－f(x)min＝f(2)－f(4)＝2＋－4－－2＝1，解得a＝12(舍去)；③当2＜＜4，即4＜a＜16时，f(x)在[2，)上单调递减，在(，4]上单调递增，f(x)min＝f()＝2，f(x)max＝f(2)或f(4).当f(x)max＝f(2)时，f(x)max－f(x)min＝f(2)－f()＝2＋－21，解得2＋(舍去)或2－(舍去)，则a＝6＋4，经验证，符合题意.当f(x)max＝f(4)时，f(x)max－f(x)min＝f(4)－f()＝4＋－21，解得6或2，即a＝36(舍去)或a＝4(舍去).综上，a的值为4或6＋4. 11.函数y＝[x]广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x]为不超过实数x的最大整数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝[log2x]，则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝　　　　. 答案：4 107 解析：由题意，当2i＋1≤x≤2i＋1－1，i∈N*时，f(x)＝i，在[2i＋1，2i＋1－1]上奇数共有2i－1个，且f(1)＝0，f(3)＝1，则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝0＋1＋2×2＋3×22＋…＋9×28＋10.设T＝1＋2×2＋3×22＋…＋9×28，则2T＝2＋2×22＋3×23＋…＋8×28＋9×29，两式相减得－T＝1＋2＋22＋…＋28－9×29＝29－1－9×29＝－1－8×29，所以T＝1＋8×29＝4 097.所以f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝4 097＋10＝4 107. 12.(15分)(新定义)若函数f(x)在定义域内的某个区间I上是增函数，且y在区间I上是减函数，则称函数f(x)在区间I上是“弱增函数”. (1)分别判断函数f(x)＝xex，g(x)＝x2＋4x＋2在区间(1，2)上是否是“弱增函数”(不必证明)；(6分) (2)若函数h(x)＝x2＋(m－)x＋b(m，b是常数)在区间(0，1]上是“弱增函数”，求m，b应满足的条件.(9分) 解：(1)因为ex是增函数， 所以f(x)不是“弱增函数”； 因为g(x)＝x2＋4x＋2在(1，2)上单调递增，但x＋＋4在(1，2)上不单调， 所以g(x)在(1，2)上不是“弱增函数”. (2)由题意得h(x)＝x2＋(m－)x＋b在区间(0，1]上是增函数，且x＋＋m－在区间(0，1]上是减函数， 所以－≤0，≥1，所以m≥，b≥1. (13、14题，每小题5分，共10分) 13.因函数f(x)＝x＋(t＞0)的图象形状像对勾，我们称形如“f(x)＝x＋(t＞0)”的函数为“对勾函数”.该函数具有性质：在(0，)上是减函数，在(，＋∞)上是增函数，若对勾函数f(x)＝x＋(t＞0) 对于任意的k∈Z，都有f(k－)≤f(k＋)，则实数t的最大值为　　　　　. 答案： 解析：因为f(k－)≤f(k＋)，则f(k－)－f(k＋)≤0，k－＋－k－－－1≤0，即≤1，当k2－＜0，－＜k＜，因为k∈Z，则k＝0，t≥－.当k2－＞0，即｜k｜＞时，因为k∈Z，则｜k｜≥1，t≤k2－恒成立，所以t≤.综上－≤t≤，所以实数t的最大值为. 14.(多选)对任意实数x，记[x]为不超过x的最大整数，并称函数y＝[x]为高斯函数，又称取整函数.如下m个数：，，，…，可组成一个72元集合，则下列m的取值中不满足要求的有(　　) A.95 B.100 C.105 D.110 答案：ABC 解析：因为＋1，由，，，…，可组成一个72元集合，进而可转化为，，，…，可组成一个72元集合.令－≥1，得n≤44，故，，，…，各不相同，共有45个数，而45，44，43，假设后续数都不相同，则72－45＝27，44－27＋1＝18，故18，故18≤＜19，故＜m≤，又≈106.6，112.5，所以107≤m≤112，m∈N*，故选项D满足要求，选项A、B、C不满足要求.故选ABC. 学科网（北京）股份有限公司 $