课时测评10 函数的对称性（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

课时测评10　函数的对称性 (时间：45分钟　满分：75分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—10题，每小题5分，共50分) 1.设函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2 025)是偶函数，则f(x)图象(　　) A.关于点(2 025，0)中心对称 B.关于点(－2 025，0)中心对称 C.关于直线x＝2 025对称 D.关于直线x＝－2 025对称 答案：C 解析：因为f(x＋2 025)为偶函数，所以f(x＋2 025)＝f(－x＋2 025)，所以函数f(x)图象关于x＝2 025对称.故选C. 2.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点(1，0)对称，则b等于(　　 ) A.1 B.－1 C.3 D.－3 答案：A 解析：因为f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以f(x)＋f(2－x)＝0，又f(2－x)＝(2－x)3＋a(2－x)2＋(2－x)＋b＝－x3＋(a＋6)x2－(4a＋13)x＋10＋4a＋b，所以f(x)＋f(2－x)＝(2a＋6)x2－(4a＋12)x＋10＋4a＋2b＝0，所以解得a＝－3，b＝1.故选A. 3.定义在R上的函数y＝f(x)在区间(－∞，2)上是增函数，且函数y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝1对称，则(　　) A.f(1)＜f(5) B.f(1)＞f(5) C.f(1)＝f(5) D.f(0)＝f(5) 答案：C 解析：因为y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝1对称，所以f(－x＋2)＝f(2＋x＋2)＝f(4＋x)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝3对称，故f(1)＝f(5).又函数y＝f(x)在(－∞，2)上单调递增，所以f(5)＝f(1)＞f(0).故选C. 4.函数f(x)－e2－x的图象关于(　　) A.点(－2，0)对称 B.点(2，0)对称 C.直线x＝－2对称 D.直线x＝2对称 答案：B 解析：因为f(x)－e2－x，所以f(2＋x)＝e2＋x－2－e2－(2＋x)＝ex－e－x，f(2－x)＝e2－x－2－e2－(2－x)＝e－x－ex，所以f(2＋x)＋f(2－x)＝0，所以函数f(x)的图象关于点(2，0)对称.故选B. 5.已知函数f(x)若y＝f(x)的图象上存在两个点A，B关于原点对称，则实数a的取值范围是(　　) A.[1，＋∞) B.(1，＋∞) C.[－1，＋∞) D.(－1，＋∞) 答案：D 解析：由函数解析式可得，函数图象如图所示.要使y＝f(x)的图象上存在两个点A，B关于原点对称，只需1＋a＞0，则a＞－1，所以实数a的取值范围是(－1，＋∞).故选D. 6.(多选)若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)＝f(－x) B.f(2＋x)＋f(2－x)＝0 C.f(3)＝f(5) D.f(x＋2)＝f(x－2) 答案：ABC 解析：因为f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x)，故A正确；因为f(x)的图象关于点(2，0)对称，对于f(x)图象上的点(x，y)，关于点(2，0)的对称点(4－x，－y)也在函数图象上，即f(4－x)＝－y＝－f(x)，用2＋x替换x，得到f(4－(2＋x))＝－f(2＋x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故B正确；由f(2＋x)＋f(2－x)＝0，令x＝1，则f(3)＝－f(1)，令x＝3，则f(5)＝－f(－1)＝－f(1)，则f(3)＝f(5)，故C正确；由B知，f(2＋x)＝－f(2－x)＝－f(x－2)，故D错误.故选ABC. 7.(多选)已知函数f(x)的定义域为R，则下列说法正确的是(　　) A.若f(x＋2)＝－f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称 B.函数y＝－f(2－x)与函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称 C.函数y＝f(－1＋x)－f(1－x)的图象关于点(1，0)对称 D.函数y＝f(1＋x)－f(1－x)的图象关于点(1，0)对称 答案：ABC 解析：若f(x＋2)＝－f(－x)，即f(x＋2)＋f(－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，故A正确；若点(x，y)在y＝f(x)上，则点(2－x，－y)在y＝－f(2－x)的图象上，且点(x，y)与点(2－x，－y)关于点(1，0)对称，则函数y＝－f(2－x)与函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，故B正确；设g(x)＝f(－1＋x)－f(1－x)，则g(2－x)＋g(x)＝f(1－x)－f(x－1)＋f(－1＋x)－f(1－x)＝0，故函数y＝f(－1＋x)－f(1－x)的图象关于点(1，0)对称，故C正确；令g(x)＝f(1＋x)－f(1－x)，则g(2－x)＋g(x)＝f(3－x)－f(x－1)＋f(1＋x)－f(1－x)不恒为0，故函数y＝f(1＋x)－f(1－x)的图象不关于点(1，0)对称，故D错误.故选ABC. 8.函数y的图象关于点(3，c)中心对称，则b＋c＝　　　　. 答案：4 解析：因为f(x)1＋，所以该函数图象的对称中心为(b，1)，由已知可知该函数的图象关于点(3，c)中心对称，所以有b＝3，c＝1⇒b＋c＝4. 9.函数f＋2 025的图象的对称轴方程为　　　　　　. 答案：x＝1 012 解析：因为f＋2 025＝2｜x－1 012｜＋2 025，所以f2｜2 024－x－1 012｜＋2 025＝2＋2 025＝f(x)，所以其图象的对称轴方程为x＝1 012. 10.(开放题)(2025·山东潍坊模拟)请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式f　　　　　. ①ff；②f至少有两个零点；③f有最小值. 答案：x2－2x(答案不唯一) 解析：取fx2－2x，其对称轴为x＝1，满足①ff；令fx2－2x＝0，解得x＝0或2，满足②f至少有两个零点；fx2－2x－1，当x＝1时，f－1，满足③f有最小值.(答案不唯一) (11—13题，每小题5分，共15分) 11.已知函数f(x＋2)是R上的偶函数，且f(x)在[2，＋∞)上恒有＜0，则不等式f(ln x)＞f(1)的解集为(　　) A.(－∞，e)∪(e3，＋∞) B.(1，e2) C.(e，e3) D.(e，＋∞) 答案：C 解析：因为函数f(x＋2)是R上的偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，因为f(x)在[2，＋∞)上恒有＜0，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，f(x)在(－∞，2)上单调递增，不等式f(ln x)＞f(1)需满足｜ln x－2｜＜｜1－2｜⇒1＜ln x＜3，解得e＜x＜e3.故选C. 12.(一题多解)(2021·新高考Ⅱ卷)设函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则(　　 ) A.f0 B.f(－1)＝0 C.f(2)＝0 D.f(4)＝0 答案：B 解析：法一(通法)：因为f(x＋2)是偶函数，所以f(－x＋2)＝f(x＋2)，f(x)的图象关于直线x＝2对称，又因为f(2x＋1)是奇函数，所以f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)，得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以易知函数f(x)周期为4，由F(x)＝f(2x＋1)是奇函数，可得F(0)＝f(1)＝0，所以f(－1)＝－f(3)＝－f(1)＝0，且其他几个不一定为0，B正确.故选B. 法二(构造特殊函数)：由f(x＋2)是偶函数，f(2x＋1)是奇函数，可构造f(x)＝cos (x－2)符合题意，f(－)＝－，f(－1)＝0，f(2)＝1，f(4)＝－1.故选B. 13.已知函数f(x)满足f(x＋2)是偶函数，若函数y＝｜x2－4x－5｜与函数y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则横坐标之和x1＋x2＋…＋xn＝　　　　. 答案：2n 解析：因为f(x＋2)是偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，因为y＝｜x2－4x－5｜＝｜(x－2)2－9｜，所以函数y＝｜x2－4x－5｜的图象也关于直线x＝2对称，所以x1＋x2＋…＋xn·4＝2n. (14、15题，每小题5分，共10分) 14.(新角度)“肝胆两相照，然诺安能忘.”(《承左虞燕京惠诗却寄》，明•朱察卿)若A，B两点关于点P成中心对称，则称为一对“然诺点”，同时把和视为同一对“然诺点”.已知a∈Z，f(x)的图象上有两对“然诺点”，则a等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 解析：当x＞1时，f(x)＝ax－2关于点P(1，1)对称的函数为y＝ax－2a＋4(x＜1)，由题知y＝ax－2a＋4与y＝(x－2)e－x在x∈(－∞，1)上有两个交点，由消y得到ax－2a＋4＝(x－2)e－x，又x＜1，得到＋a＝e－x，即a＝e－x－，令g(x)＝e－x－(x＜1)，y＝a，则g(x)的图象与直线y＝a有两个不同的交点，g'(x)＝－e－x＋，令h(x)＝g'(x)＝－e－x＋，则h'(x)＝e－x－＞0(x＜1)， 所以h(x)在(－∞，1)上递增，即g'(x)在(－∞，1)上递增，因为g'(0)＝－1＋1＝0，所以当x＜0时，g'(x)＜0，当0＜x＜1时，g'(x)＞0，所以g(x)在(－∞，0)上递减，在(0，1)上递增，所以g(x)≥g(0)＝3，当x→－∞时，g(x)→＋∞，g(1)＝e－1＋4，所以g(x)的大致图象如图所示，由图可知当3＜a＜4＋e－1时，g(x)的图象与直线y＝a有两个不同的交点，因为a∈Z，所以a＝4.故选C. 15.(多选)(2025·海南海口模拟)已知函数 f的定义域为R，其图象关于中心对称，若 2－x，则(　　) A.1 B.f＋f4 C.y＝f－2为奇函数 D.y＝f＋2x为偶函数 答案：ACD 解析：对于A，f的定义域为R，其图象关于中心对称，故f＋f4，故1，故A正确；对于B，由题意得f＋f4，又2－x，故2－x，令x＝4得2－4，即f＋f－8＋4＝－4，故B错误；对于C，由题意得f＋f4，即f－2＝－，令gf－2，则g－g，所以y＝f－2为奇函数，故C正确；对于D，因为2－x，所以2－x－2＝－x，即f－f－4x，故f＋2x＝f－2x，令hf＋2x，则hh，故y＝f＋2x为偶函数，故D正确.故选ACD. 学科网（北京）股份有限公司 $