课时测评9 函数的奇偶性、周期性（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

课时测评9　函数的奇偶性、周期性 (时间：60分钟　满分：88分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8题，每小题5分，共40分) 1.下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的函数是(　　) A.y＝x3 B.y＝｜x｜＋1 C.y＝－x2＋1 D.y＝2－｜x｜ 答案：B 解析：对于A，令f(x)＝x3，x∈R，有f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，不符合题意；对于B，令f(x)＝｜x｜＋1，x∈R，有f(－x)＝｜－x｜＋1＝｜x｜＋1＝f(x)，所以f(x)为偶函数，x＞0时，f(x)＝x＋1单调递增，符合题意；对于C，令f(x)＝－x2＋1，x∈R，有f(－x)＝－(－x)2＋1＝－x2＋1＝f(x)，所以f(x)为偶函数，x＞0时，f(x)＝－x2＋1单调递减，不符合题意；对于D，令f(x)＝2－｜x｜，x∈R，有f(－x)＝2－｜－x｜＝2－｜x｜＝f(x)，所以f(x)为偶函数，且x＞0时，f(x)＝2－｜x｜＝2－x＝()x单调递减，不符合题意.故选B. 2.已知定义域为[a－4，2a－2]的奇函数f(x)＝x3－2 026sin x＋b＋2，则f(a)＋f(b)＝(　　) A.0 B.1 C.2 D.不能确定 答案：A 解析：依题意得a－4＋2a－2＝0，解得a＝2，由f(0)＝b＋2＝0，得b＝－2，所以f(a)＋f(b)＝f(2)＋f(－2)＝0.故选A. 3.设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　) A.f(π)＞f(－3)＞f(－2) B.f(π)＞f(－2)＞f(－3) C.f(π)＜f(－3)＜f(－2) D.f(π)＜f(－2)＜f(－3) 答案：A 解析：因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2).又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(π)＞f(3)＞f(2)，即f(π)＞f(－3)＞f(－2).故选A. 4.(2024·广西南宁模拟)已知偶函数f(x)对任意的x∈R都有f(x＋2)－f(x)＝f(1)，且f(0)＝8，则f(99)＋f(100)＝(　　) A.0 B.6 C.8 D.16 答案：C 解析：因为f(x)为偶函数，f(x＋2)－f(x)＝f(1)，所以f(－1＋2)－f(－1)＝f(1)，解得f(1)＝f(－1)＝0，所以f(x＋2)＝f(x)，即f(x)的周期为2，所以f(100)＝f(0)＝8，f(99)＝f(1)＝0，故f(99)＋f(100)＝8.故选C. 5.(多选)已知f(x)＝cos 2 025x·g(x)为定义在R上的奇函数，则函数g的解析式可以为(　　) A.g(x)＝lg B.g(x)＝3x－3－x C.g(x)＋ D.g(x)＝ln 答案：BD 解析：因为f(x)＝cos 2 025x·g(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即g(－x)＝－g(x)，所以g(x)是定义在R上的奇函数.对于A，定义域为(－1，1)，所以不满足题意；对于B，定义域为R，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，符合题意；对于C，定义域为R，g(－x)＋＋－≠－g(x)，不符合题意；对于D，定义域为R，g(－x)＝ln，而g(－x)＋g(x)＝ln＋ln0，符合题意.故选BD. 6.(多选)f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(2－x)，则下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)的一个周期为4 B.f(2 025)＝1 C.当x∈[2，3]时，f(x)＝－log2(4－x) D.函数f(x)在[0，2 025]内有1 012个零点 答案：AC 解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为4，故A正确；f(2 025)＝f(4×506＋1)＝f(1)＝0，故B错误；当x∈[2，3]时，x－2∈[0，1]，则f(x)＝－f(x－2)＝－log2[2－(x－2)]＝－log2(4－x)，故C正确；易知f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 023)＝f(2 025)＝0，于是函数f(x)在[0，2 025]内有1 013个零点，故D错误.故选AC. 7.(一题多解)(2025·河南郑州名校联考)函数f－log2是偶函数，则a的值为　　　　. 答案： 解析：法一：因为f是偶函数，所以f－f(－x)＝8ax－log2x＝0，所以a. 法二：由f－log2，得f4x2＋a2－1＋4ax－log2，设g(x)＝4x2＋a2－1，h(x)＝4ax－log2，易知g是偶函数，当h(x)＝4ax－log2(23x＋1)是偶函数时，函数f才能是偶函数，所以h(x)＝log224ax－log2log2log2是偶函数，所以(3－4a)＋(－4a)＝0，解得a. 8.若函数f(x)＝ex－e－x，则不等式f(ln x)＋f(ln x－1)＞0的解集是　　　　. 答案： 解析：因为f(x)＝ex－e－x，定义域为R，且f(－x)＝－－f(x)，故其为奇函数，又y＝ex，y＝－e－x均为增函数，故f(x)为R上的增函数，则原不等式等价于f(ln x)＞f(1－ln x)，也即ln x＞1－ln x，整理得ln x＞，解得x＞，故不等式的解集为. 9.(13分)(教材改编)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数；(3分) (2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；(4分) (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026).(6分) 解：(1)证明：因为f(x＋2)＝－f(x)， 所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是周期为4的周期函数. (2)当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]， 由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2. 又f(x)是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2， 所以f(x)＝x2＋2x. 又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]， 所以f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4). 又f(x)是周期为4的周期函数， 所以f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4) ＝x2－6x＋8. 从而求得x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8. (3)f(0)＝0， f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1. 又f(x)是周期为4的周期函数， 所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)＝0， f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1， 所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026)＝1. (10、11题，每小题5分，共10分) 10.函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)＋2ex是偶函数，y＝f(x)－3ex是奇函数，则f(x)的最小值为(　　) A.e B. C.2 D.2 答案：B 解析：由题意可得 解得f(x)，因为f(x)≥，当且仅当ex＝5e－x，即xln 5时，等号成立，所以f(x)的最小值为.故选B. 11.已知函数f(x)在区间[－3，3]上的最大值为M，最小值为N，则M＋N的值为　　　　. 答案：2 解析：f(x)＋1，令g(x)＝f(x)－1，则g(－x)＝－－g(x)，所以函数g(x)在[－3，3]上为奇函数，则g(x)max＋g(x)min＝0，即M－1＋N－1＝0，所以M＋N＝2. 12.(15分)(一题多问)已知f(x)是定义在[－1，1]上的偶函数，且x∈[－1，0]时，f(x). (1)求函数f(x)的表达式；(3分) (2)判断并证明函数f(x)在区间[0，1]上的单调性；(6分) (3)解不等式f(1－a)－f(3＋a)＜0.(6分) 解：(1)当x∈(0，1]时，－x∈[－1，0)，因为f(x)是定义在[－1，1]上的偶函数， 所以f(x)＝f(－x)＝－，因此f(x) (2)函数f(x)在区间[0，1]上单调递减. 证明如下：设x1，x2是[0，1]上任意两个实数，且x1＜x2，则有0≤x1＜x2≤1，易知当x∈[0，1]时，f(x)＝－， 于是f(x1)－f(x2)＝－－(－). 因为0≤x1＜x2≤1，所以x1－x2＜0，x1x2＜1， 所以f(x1)－f(x2)＞0⇒f(x1)＞f(x2)， 所以函数f(x)在区间[0，1]上单调递减. (3)因为偶函数f(x)在区间[0，1]上单调递减， 所以f(1－a)－f(3＋a)＜0⇒f(1－a)＜f(3＋a)⇒解得a∈⌀，所以不等式f(1－a)－f(3＋a)＜0的解集为空集. (13、14题，每小题5分，共10分) 13.(多选)设函数f(x)的定义域为R，若f(x＋2)，f(x－2)都为奇函数，则下面结论成立的是(　　) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)＝f(x＋8) D.f(x＋6)为奇函数 答案：CD 解析：因为f(x＋2)，f(x－2)都为奇函数，即f(x)的图象关于(2，0)和(－2，0)对称，所以f(－x)＋f(4＋x)＝0，f(－x)＋f(－4＋x)＝0，所以f(－4＋x)＝f(4＋x)，所以f(x)＝f(8＋x)，因为f(x－2)＝－f(－x－2)，所以f(x－2＋8)＝－f(－x－2＋8)，即f(x＋6)＝－f(－x＋6)，所以f(x＋6)为奇函数，f(x)的奇偶性无法判断.故选CD. 14.(多选)已知定义域为R的函数f(x)满足：∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝1，则下列结论正确的是(　　 ) A.f(0)＝2 B.f(x)为偶函数 C.f(x)为奇函数 D.f(2)＝－1 答案：ABD 解析：因为∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，取x＝1，y＝0可得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，又f(1)＝1，所以f(0)＝2，故A正确；取x＝0，y＝x可得f(x)＋f(－x)＝f(0)f(x)，因为f(0)＝2，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故C错误，B正确；取x＝1，y＝1可得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，又f(1)＝1，f(0)＝2，所以f(2)＝－1，故D正确.故选ABD. 学科网（北京）股份有限公司 $